假设检验的基本概念

§8.1假设检验的基本概念若对参数有所了解但有怀疑猜测需要证实之时用假设检验的方法来处理若对参数一无所知用参数估计的方法处理

假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设.所作假设可以是正确的,也可以是错误的.

为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒绝所作假设的决定.何为假设检验?假设检验所以可行,其理论背景为实际推断原理,即“小概率原理”假设检验的内容参数检验非参数检验总体均值,均值差的检验总体方差,方差比的检验分布拟合检验符号检验秩和检验假设检验的理论依据

引例1

某产品出厂检验规定:次品率p不超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品,问能否出厂？解

假设这是小概率事件,一般在一次试验中是不会发生的,现一次试验竟然发生,故认为原假设不成立,即该批产品次品率,则该批产品不能出厂.引例1这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受原假设,即该批产品可以出厂.若不用假设检验,按理不能出厂.注1直接算注2本检验方法是概率意义下的反证法，故拒绝原假设是有说服力的,而接受原假设是没有说服力的.因此应把希望否定的假设作为原假设.对总体提出假设要求利用样本观察值对提供的信息作出接受(可出厂),还是接受(不准出厂)的判断.出厂检验问题的数学模型

某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2,而实际生产的强度X服N(,3.62).若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:H0:=68称为原假设或零假设

原假设的对立面:H1:

68称为备择假设引例2假设检验的任务必须在原假设与备择假设之间作一选择若原假设正确,则因而

,即偏离68不应该太远,故取较大值是小概率事件.可以确定一个常数c使得因此,取,则现从整批螺钉中取容量为36的样本,其均值为

,问原假设是否正确?由为检验的接受域(实际上没理由拒绝),现落入接受域,则接受原假设即区间(,66.824

)与(69.18,+)为检验的拒绝域称的取值区间(66.824,69.18)H0:=68由引例2可见,在给定的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值,因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：第一类错误弃真错误第二类错误取伪错误正确确正确确假设设检检验验的的两两类类错错误误犯第第一一类类错错误误的的概概率率通通常常记记为为犯第第二二类类错错误误的的概概率率通通常常记记为为H0

为真H0

为假真实情况所作判断接受H0拒绝H0第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)任何何检检验验方方法法都都不不能能完完全全排排除除犯犯错错假设设检检验验的的指指导导思思想想是是控控制制犯犯第第一一类类误的的可可能能性性.理理想想的的检检验验方方法法应应使使犯犯两两类类错误误的的概概率率都都很很小小,但但在在样样本本容容量量给给定定的的情形形下下,不不可可能能使使两两者者都都很很小小,降降低低一一个个,往往使另另一个增增大.错误的概概率不超超过,然后后,若有有必要,通过增大样样本容量量的方法法来减少少.P(拒绝H0|H0为真)若H0为真,则

所以,拒拒绝H0的概率为为,又称为显著性水水平,越大,犯犯第一类类错误的的概率越越大,即即越显显著.引例2中，犯第一类类错误的的概率H0不真,即即68,可能小于于68,也可能能大于68,的大小取取决于的真值的的大小.下面计算算犯第二二类错误误的概率率设=P(接受H0|H0不真)14/2/2H0真H0不真一般,作作假设检检验时,先控制制犯第一一类错误误的概率率,在此基基础上使使尽量地小小.要降降低一般要增增大样本本容量.当H0不真时,参数值值越接近近真值,越大.备择假设设可以是是单侧,也可以以双侧.H0:=68；H1:>68注1º注2º引例2中中的备择择假设是是双侧的的.若根根据以往生产情情况,0=68.现采用用了新工工艺,关关心的是新新工艺能能否提高高螺钉强强度,越大越好.此此时可作作如下的的右边假假设检验验:关于原假假设与备备择假设设的选取取H0与H1地位应平平等,但但在控制制犯第一一类错误误的概率率的原则下下,使得得采取拒拒绝H0的决策变变得较慎慎重,即即H0得到特别别的保护护.因而,通通常把有有把握的的、有经经验的结结论作为为原假设设,或者者尽可能能使后果果严重的的错误成成为第一一类错误误.注3º假设检验验步骤(三部曲)其中根据实际际问题所所关心的的内容,建立H0与H1在H0为真时,选择合合适的统统计量V,由H1确给定显著著性水平平,其对应应的拒绝绝域双侧检验左边检验定拒绝域域形式根据样本本值计算算,并作出相相应的判判断.右边检验§8.2一个个正态总总体的假假设检验验设总体为为x~N(m,s2).关关于总体体参数m,s2的假设检检验问题题,本本节介绍绍下列三三种:(1)已已知方方差s2,检验验假设H0:m=m0;(2)未未知方方差s2,检验验假设H0:m=m0;(3)未未知期期望m,检验验假设H0:s2=s02;其中H0中的s02,m0都是已知知数.19方差已知知对期望望值m的检验步步骤:(3)根根据检检验水平平a,查表表确定临临界值,使使(1)提提出待待检假设设H0:m=m0(m0已知);

(2)选选取样本本(X1,...,Xn)的统计计量,如如H0成立,则则即(4)根据样本观察值计算统计量Z的值z并与临界值比较(5)若|z|>

则否定H0,否则接收H0.20例1根据长期期经验和和资料的的分析,某砖砖瓦厂生生产砖的的"抗断断强度"x服从正态态分布,方差差s2=1.21.从从该厂厂产品中中随机抽抽取6块块,测测得抗断断强度如如下(单单位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03

检验验这批砖砖的平均均抗断强强度为32.50kg/cm2是否成立立(a=0.05)?21解设H0:m=32.50.如果果H0正确,则则样本本(X1,...,X6)来自正正态总体体N(32.50,1.12),令令因此否否定H0,即即不能能认为为这批批产品品的平平均抗抗断强强度是是32.50kg/cm2.96.105.36/1.150.3213.31||21)(,)|(|96.1,05.0)1,0(~6/1.150.32>»-=-=F=>==-=zZzzZPzNXZ的样本值为计算求出即使查表得对给定的aaaa/2a/2a/222例2假定某某厂生生产一一种钢钢索,它它的断断裂强强度x(kg/m2)服从从正态态分布布N(m,402).从从中中选取取一个个容量量为9的样样本,得得=780kg/m2.能能否据据此样样本认认为这这批钢钢索的的断裂裂强度度为800kg/cm2(a=0.05)可以接接受H0,认认为断断裂强强度为为800kg/cm223方差未未知对对期望望值m的检验验步骤骤:(3)根根据检检验水水平a,查查表确确定临临界值值ta/2,使使P(|T|>ta/2)=a;(4)根根据样样本观观察值值计算算统计计量T的值t并与临临界值值ta/2比较;(5)若若|t|>ta/2则否定定H0,否否则接接收H0.(1)提提出待待检假假设H0:m=m0(m0已知);(2)选选取取样本本(X1,...,Xn)的统统计量量,如如H0成立,则24例3从1975年的的新生生儿(女)中随随机地地抽取取20个,测测得其其平均均体重重为3160克克,样样本本标准准差为为300克克.而而根根据过过去统统计资资料,新新生儿儿(女女)平平均本本重为为3140克.问问现在在与过过去的的新生生儿(女)体重重有无无显著著差异异(假假设新新生儿儿体重重服从从正态态分布布)?(a=0.01)若把所所有1975年年新生生儿(女)体重重体现现为一一个正正态总总体N(m,s2),问问题题就是是判断断m=Ex=3140是否否成立立?25解待检假假设H0:m=3140.由由于于s2未知,自自然想想到用用S2代表s2.则则如果果H0成立,则则26未知期期望对对正态态总体体方差差的假假设检检验步步骤:(3)由由给定定的检检验水水平a查表求求ca2,cb2满足:(4)计计算c2的值与与ca2,cb2比较;(5)若若c2>cb2或c2<ca2拒绝H0否则接接收H0;(1)建建立立待检检假设设H0:s2=s02;(2)如如H0成立,则则27例4某某炼炼铁厂厂的铁铁水含含碳量量x在正常常情况况下服服从正正态分分布.现现对操操作工工艺进进行了了某些些改进进,从从中中抽取取5炉炉铁水水测得得含碳碳量数数据如如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683据据此是是否可可以认认为新新工艺艺炼出出的铁铁水含含碳量量的方方差仍仍为0.1082(a=0.05).解：建建立立待检检假设设H0:s2=0.1082;在在H0成立时时,样样本本来自自总体体N(m,0.1082),这这时时28因而应应拒绝绝H0,即即方差差不能能认为为是0.1082299、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。03:49:5103:49:5103:4912/29/20223:49:51AM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。12月-2203:49:5103:49Dec-2229-Dec-2212、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。03:49:5103:49:5103:49Thursday,December29,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2203:49:5103:49:51December29,202214、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。29十十二二月20223:49:51上上午03:49:5112月月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。十二二月月223:49上上午午12月月-2203:49December29,202216、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2022/12/293:49:5103:49:5129December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。3:49:51上上午3:49上上午03:49:5112月-229、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。03:49:5103:49:5103:4912/29/20223:49:51AM11、成成功功就就是是日日复复一一日日那那一一点点点点小小小小努努力力的的积积累累。。。。12月月-2203:49:5103:49Dec-2229-Dec-2212、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。03:49:5103:49:5103:49Thursday,December29,202213、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。12月月-2212月月-2203:49:5103:49:51December29,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。29十十二月20223:49:51上午午03:49:5112月-2215、楚塞塞三湘湘接，，荆门门九派派通。。。。十二月月223:49上上午午12月月-2203:49December29,202216、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2022/12/293:49:5103:49:5129December202217、空空山山新新雨雨后后，，天天气气晚晚来来秋秋。。。。3:49:51上上午午3:49上上午午03:49:5112月月-229、杨柳散和和风，青山山澹吾虑。。。12月-2212月-22Thursday,December29,202210、阅读一切切好书如同同和过去最最杰出的人人谈话。03:49: