2018-2019数学新学案同步必修四人教A版（浙江专用版）讲义：第一章 三角函数1.1.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1.1任意角和弧度制1．1。1任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3。熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些?答案角的构成要素有始边、顶点、终边．思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向．梳理(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．（2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点二象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外）可能落在什么位置？答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角．知识点三终边相同的角思考1假设60°的终边是OB,那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角．思考2如何表示与60°终边相同的角？答案60°＋k·360°（k∈Z）．梳理终边相同角的表示:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．1．经过1小时，时针转过30°.(×)提示因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.2．终边与始边重合的角是零角．（×）提示终边与始边重合的角是k·360°（k∈Z）．3．小于90°的角是锐角．(×)提示锐角是指大于0°且小于90°的角．4．钝角是第二象限角．（√）5．第二象限角是钝角．（×）提示第二象限角不一定是钝角．类型一任意角概念的理解例1（2018·牌头中学月考)下列命题正确的是（）A．第一象限角是锐角B．钝角是第二象限角C．终边相同的角一定相等D．不相等的角，它们终边必不相同考点任意角的概念题点任意角的概念答案B反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小．跟踪训练1写出下列说法所表示的角．（1）顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角．考点任意角的概念题点任意角的概念解（1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为－720°。（2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角为900°.类型二象限角的判定例2(1）已知下列各角:①－120°;②－240°；③180°；④495°。其中是第二象限角的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④考点象限角、轴线角题点象限角答案D解析－120°为第三象限角,①错；－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；180°为轴线角；495°＝360°＋135°,∵135°为第二象限角,∴495°为第二象限角，故④对．故选D。（2)已知α为第三象限角，则eq\f（α,2）是第几象限角?考点象限角、轴线角题点象限角解因为α为第三象限角，所以k·360°＋180°〈α〈k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°<eq\f(α,2）〈k·180°＋135°,k∈Z,当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，n·360°＋90°〈eq\f（α，2）〈n·360°＋135°，n∈Z，所以eq\f（α,2)终边在第二象限,当k为奇数时,记k＝2n＋1，n∈Z，n·360°＋270°<eq\f（α,2）〈n·360°＋315°，n∈Z，所以eq\f（α,2）终边在第四象限．综上可知,eq\f（α,2)是第二象限角或第四象限角．反思与感悟（1)判断象限角的步骤①当0°≤α<360°时,直接写出结果；②当α〈0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β（k∈Z，0°≤β〈360°),转化为判断角β所属的象限．（2）一般地，要确定eq\f(α,n）所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，…,4n,标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，eq\f(α，n)的终边所落在的区域，如此,eq\f(α，n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．跟踪训练2在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2）650°；（3)－950°15′。考点象限角、轴线角题点象限角解（1）因为－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．（2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内,与－950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角．类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1）最大的负角；（2）最小的正角;(3)[360°,720°）的角．考点终边相同的角题点终边相同的角解与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z),（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.（3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．考点终边相同的角题点终边相同的角解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z｝．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f（11，36)≤k＜6eq\f（11,36)(k∈Z），故取k＝4,5,6。当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°;当k＝5时,β＝5×360°－1910°＝－110°；当k＝6时,β＝6×360°－1910°＝250°。命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合．考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在y＝－eq\r（3)x（x<0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z};终边在y＝－eq\r(3）x（x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α|α＝120°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝｛α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪｛α|α＝120°＋(2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝．故终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z}．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想,即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝eq\f(\r(3）,3）x上的角的集合．考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在y＝eq\f（\r（3），3）x(x≥0）上的角的集合是S1＝｛α|α＝30°＋k·360°，k∈Z｝;终边在y＝eq\f(\r(3）,3)x(x〈0）上的角的集合是S2＝｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝eq\f（\r（3)，3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪｛α｜α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪{α｜α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z｝＝{α｜α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝eq\f（\r(3）,3）x上的角的集合是S＝{α｜α＝30°＋n·180°，n∈Z｝。1．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第四象限角一定是负角D．小于90°的角都是锐角考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案B2．与－457°角终边相同的角的集合是（)A．{α｜α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α｜α＝k·360°＋97°，k∈Z｝C．｛α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α｜α＝k·360°－263°，k∈Z}考点终边相同的角题点终边相同的角答案C解析－457°＝－2×360°＋263°，故选C。3．2018°是（)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角考点象限角、轴线角题点象限角答案C解析2018°＝5×360°＋218°,故2018°是第三象限角．4．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________．考点任意角的概念题点任意角的概念答案1110°解析3×360°＋30°＝1110°.5.如图所示．(1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分(包括边界）的角的集合．考点终边相同的角题点终边相同的角解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α｜α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是｛α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是｛α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°,k∈Z｝．1．对角的理解，初中阶段是以“静止"的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向"决定角的“正负”，“旋转幅度"决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角,连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：（1）α为任意角；（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α)；（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4）k∈Z这一条件不能少．一、选择题1．（2017·甘肃兰州一中期末)下列命题正确的是(）A．终边在x轴非正半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°（k∈Z）,则α与β终边相同考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案D解析终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°,k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角,但不是钝角，所以B错误;285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.2．（2017·济宁高一检测)下列各角中，与60°角终边相同的角是（）A．－300° B．－60°C．600° D．1380°考点终边相同的角题点终边相同的角答案A解析与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z,令k＝－1，则α＝－300°.3．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（）A．315°－5×360° B．45°－4×360°C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°考点终边相同的角题点终边相同的角答案A解析可以估算－1485°介于－5×360°与－4×360°之间．∵0°≤α＜360°,∴k＝－5，则α＝315°。4．（2017·河北邯郸一中月考）已知A＝｛第一象限角｝,B＝{锐角},C＝{小于90°的角｝,则A,B，C关系正确的是（)A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．AC D． A＝B＝C考点象限角、轴线角题点象限角答案B解析由题意得B(A∩C),故A错误;BC，所以B∪C＝C,故B正确；A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误．5．若α是第四象限角，则180°－α是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角考点象限角、轴线角题点象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是（）A．80° B．－80°C．960° D．－960°考点任意角的概念题点任意角的概念答案D解析分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2＋\f(40,60））)＝－960°.7．（2017·临沂高一检测）角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为(）A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z考点终边相同的角题点终边相同的角答案B解析方法一(特殊值法）令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°。方法二(直接法）因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β＝180°－α＋k·360°,k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.8．设集合A＝｛α｜α＝45°＋k·180°,k∈Z｝∪｛α|α＝135°＋k·180°，k∈Z｝，集合B＝｛β｜β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(）A．A∩B＝∅ B．ABC．BA D．A＝B考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案D解析对于集合A,α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋（2k＋1）·90°。∵k∈Z,∴2k表示所有的偶数,2k＋1表示所有的奇数,∴集合A＝｛α|α＝45°＋n·90°，n∈Z｝，又集合B＝｛β|β＝45°＋k·90°，k∈Z｝，∴A＝B。故选D。二、填空题9．已知角α＝－3000°,则与α终边相同的最小正角是________．考点终边相同的角题点终边相同的角答案240°解析与α＝－3000°终边相同的角的集合为｛θ｜θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，令－3000°＋k·360°〉0°，解得k〉eq\f（25，3）,故当k＝9时，θ＝240°满足条件．10．若α＝k·360°＋45°,k∈Z，则eq\f(α,2）是第________象限角．考点象限角、轴线角题点象限角答案一或三解析∵α＝k·360°＋45°，k∈Z,∴eq\f(α,2)＝k·180°＋22.5°，k∈Z.当k为偶数,即k＝2n，n∈Z时,eq\f(α,2)＝n·360°＋22。5°，n∈Z，∴eq\f(α，2)为第一象限角；当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时,eq\f(α,2)＝n·360°＋202。5°，n∈Z,∴eq\f（α，2)为第三象限角．综上，eq\f(α,2)是第一或第三象限角．11。如图,终边落在OA的位置上的角的集合是________________；终边落在OB的位置上，且在－360°~360°内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界)的角的集合是____________________．考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}｛315°,－45°｝{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z｝解析终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°,k∈Z}．终边落在OB的位置上的角的集合是{α｜α＝315°＋k·360°，k∈Z｝,取k＝0,－1得α＝315°，－45°。故终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}．终边落在阴影部分的角的集合是｛α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．12．集合A＝｛α｜α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β〈180°｝,则A∩B＝________________.考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案{－126°,－36°,54°，144°｝解析当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时,α＝144°.∴A∩B＝｛－126°，－36°,54°，144°}．13．已知角β的终边在直线eq\r（3)x－y＝0上．则角β的集合S为__________．考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案{β｜β＝60°＋n·180°，n∈Z｝解析如图,直线eq\r（3）x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝｛β|β＝240°＋k·360°，k∈Z｝，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝｛β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z｝∪{β｜β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z｝＝{β|β＝60°＋2k·