2021-2022学年江西省宜春实验中学高二年级上册学期期末质量检测数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年江西省宜春实验中学高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题1．抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（

）A．频率分布直方图中第三组的频数为15人 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【答案】D【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解.【详解】分数在内的频率为，所以第三组的频数为（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为，，所以中位数位为：，故C正确；样本平均数的估计值为：（分），故D错误.故选：D.3．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分为90分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得100分，却记成了70分，乙实得80分，却记了110分，更正后平均分和方差分别是（

）A．90，75 B．90，63 C．95，75 D．95，63【答案】B【分析】根据甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，再由方差公式以及更正前的方差得出更正后的方差.【详解】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为，由题意得，，而更正前有：，化简整理得.故选：B.4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.【详解】由题意可得“”是真命题，故或.故选：A.5．双曲线的渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由双曲线标准方程直接求解即可.【详解】由双曲线方程可得所以双曲线的渐近线为，故选：C6．若x，y满足不等式组则的最大值为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据几何意义求最值即可.【详解】该不等式组表示的平面区域如下图所示可化为，由图可知当直线过点时，取最大值此时故选：C7．设，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值.故选：D8．某农科院计划派遣4名专家和4名技术员到3个乡镇对小麦病虫害防治进行科学指导，每个乡镇至少派遣1名专家和1名技术员，则甲镇恰好派遣2名专家和1名技术员的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分组分配的原则求得4名专家和4名技术员分到3个乡镇的总的分法，再分别求得甲镇恰好派遣2名专家和1名技术员的派遣方法，最后利用古典概型公式求概率.【详解】由题可得，4名专家派到3个乡镇，每个乡镇至少派遣1名，共有种派遣方法，甲镇恰好派遣2名专家，共有种派遣方法；同理，4名技术员派到3个乡镇，每个乡镇至少派遣1名，共有36种派遣方法，甲镇恰好派遣1名技术员，共有种派遣方法.所以甲镇恰好派遣2名专家和1名技术员的概率，故选:C.9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（

）A．？ B．？ C．？ D．？【答案】C【分析】根据程序框图的循环逻辑及输出结果，写出执行步骤，进而确定判断框内的条件.【详解】由程序框图的执行逻辑，步骤如下：1、：，，执行循环；2、：，，执行循环；3、：，，执行循环；4、：，，执行循环；5、：，，执行循环；6、：，，执行循环；7、：，，跳出循环，输出；∴C选项符合要求.故选：C.10．如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设可得，直线的方程为，点线距离公式表示到直线的距离，又联立解得即可得出答案.【详解】且，则△是等边三角形，设，则①，∴直线的方程为，即，∴到直线的距离为②，又③，联立①②③，解得，，故椭圆方程为.故选：D.11．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据是等腰三角形且为锐角三角形，得到，即，解得离心率范围.【详解】，当时，，，不妨取，，是等腰三角形且为锐角三角形，则，即，，即，，解得，故.故选：B.12．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5个快递送到5个地方有种方法，全送错的方法：第一步A送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A送错的地方对应的快递，如送到丙地，第二步考虑快递，而送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成．【详解】5个快递送到5个地方有种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．故选：C．【点睛】本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好．二、双空题13．袋中有个红球，个白球共个球，现有一个游戏：从袋中任取个球，两个球颜色恰好相同则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是______；有个人参与这个游戏，则至少有人获奖的概率是______．【答案】

【分析】分别求得任取个球的取法种数和两个球颜色相同的取法种数，根据古典概型概率公式可求得获奖的概率；根据独立事件概率乘法公式可求得恰有人获奖和恰有人获奖的概率，加和可得至少有人获奖的概率.【详解】从袋中任取个球共有种取法；两个球颜色相同共有种取法；获奖的概率；若恰有人获奖，则对应概率；若恰有人获奖，则对应概率，至少有人获奖的概率为.故答案为：；.三、填空题14．若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.【答案】【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.【详解】解：关于x的不等式（）的解集为，所以，是一元二次方程的实数根，所以，且，.又因为，所以，又，解得.故答案为：.15．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，两条渐近线的夹角为，且点在双曲线上，则的面积为_______.【答案】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，设其中一条渐近线的倾斜角为，根据题意可得或，即可得，的关系，再将点代入双曲线方程，解方程求出，，的值，再由即可求解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为，设其中一条渐近线的倾斜角为，因为两条渐近线的夹角为，则或，即或，当时，，即，则双曲线的方程可化为：，即，代入得，此方程无解；当时，，即，则双曲线的方程可化为，即，代入得，解得，故，，所以，故答案为：.16．从1，3，5，7，9中任取2个不同的数字，从0，2，4，6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为___________.(用最简分数作答)【答案】【解析】针对选出的四个数中有和无进行分类讨论，分别计算出两类情况下组成的四位数的个数及四位奇数的个数，然后根据古典概率模型概率的计算方法求解.【详解】若选出的个数中有，则组成的四位无重复的数字共有个，其中奇数有个；若选出的个数中无，则组成的无重复数字的四位数有个，其中奇数有个，所以，组成的四位数为奇数的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查排列与组合的综合运用，考查古典概率模型概率的计算，难度较大，解答时注意分类讨论思想的运用.四、解答题17．已知集合，集合.(1)若，求实数的取值范围.(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先解一元二次不等式，求出集合，再对分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；（2）由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的非空真子集，即可得到不等式组，解得即可；【详解】（1）解：由，即，解得，所以，因为，①当时，，可得，满足，符合题意.②当时，若，则或解得：或无解综上所述，若，实数的取值范围为：.（2）解：由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的非空真子集，所以，解得，又因为①②不同时取等号，所以实数的取值范围为.18．如图所示，在平行六面体中，，，，.(1)求；(2)求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义求解即可.（2）利用空间向量的线性运算以及空间向量数量积的定义求解即可.【详解】（1）解：由题意可得，，，所以；（2）解：，所以线段的长为.19．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差（实际成绩平均分偏差）.在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差（单位：分）与物理偏差（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差20151332-5-10-18物理偏差6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5(1)若与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.（下面是参考数据和参考公式），回归直线方程为，其中【答案】(1)(2)【分析】（1）根据最小二乘法即可求出关于的线性回归方程；（2）设该同学的物理成绩为，则物理偏差为，数学偏差为，根据回归方程可知，，即可解出．【详解】（1）由题意可得，，，，所以，故线性回归方程为.（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：.而数学偏差为128-120=8，∴，解得，所以，可以预测这位同学的物理成绩为94.20．已知椭圆：，直线与椭圆交于两点，为坐标原点.(1)若线段的中点坐标为，求直线的方程：(2)若直线过点，且面积为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用点差法可求得，由直线点斜式整理可得直线方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，根据，代入韦达定理的形式可构造方程求得，由此可得直线方程.【详解】（1）设，，则，两式作差得：，整理可得：，又线段的中点坐标为，则，，，直线的方程为：，即.（2）当直线斜率为时，三点共线，不合题意，则直线斜率不为，可设，由得：，设，，则，，解得：，直线方程为：或，即或.21．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析整理.【详解】（1）连接，如图，∵O、M分别是、的中点，是矩形，则，且，∴四边形是平行四边形，则，平面，平面，∴平面.（2）连接，∵正方形的边长为2，，∴，，，则，故，