2021-2022学年上海市西南位育中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市西南位育中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．在中，，则这个三角形的形状为()A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【详解】解：2．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】函数可变为，再根据左右平移原理即可得出答案.【详解】解：由函数，则为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位即可.故选：D.3．用数学归纳法证明：“”，设，从到时（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.【详解】因为，则，即.故选：B.4．关于问题：“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（

）A．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项B．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项C．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项D．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项【答案】C【分析】先求出定义域，再对定义域上的函数最值进行分析即可.其实就是函数的定义域为正整数集的函数.【详解】，定义域为，所以且在和上单调递减，故AB错误；此时有：，故最小，最大；所以函数无最大、最小值，数列有最大、最小项.故选：C.二、填空题5．若，则____________【答案】.【分析】最简三角方程公式的应用【详解】根据的解为：知：本题要求，则。故答案为：6．已知，则________【答案】【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以故答案为：7．已知，则_____________【答案】【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求解即可.【详解】因为，所以，,所以.故答案为：8．函数的定义域是_________【答案】【分析】根据反余弦函数的定义即得.【详解】因为函数所以，即函数的定义域是.故答案为：.9．方程的解是_________【答案】【分析】根据正切函数的周期及特殊角的三角函数值求解即可.【详解】因为，所以，解得，故答案为：10．已知数列首项为2，且，则__________【答案】【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可.【详解】由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，故答案为：11．等差数列中，若，则_________【答案】180【分析】根据等差数列的性质得到，再计算即得.【详解】因为等差数列中，，所以，所以.故答案为：.12．等差数列的首项，公差，则使数列的前项和最大的正整数的值是__________【答案】5【分析】根据等差数列的求和公式及二次函数的性质即得.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以，所以时，数列的前项和最大.故答案为：5.13．若一无穷等比数列各项和为2，则首项的范围为_____．【答案】且【分析】设公比为，利用公式可求无穷等比数列各项和，利用可求的范围.【详解】设无穷等比数列的公比为，因为无穷等比数列各项和为2，故且，此时无穷等比数列各项和为，故，所以，故，故且.故答案为：且.【点睛】本题考查无穷等比数列的各项和，注意只有当公比时，无穷等比数列才会有和且和为，本题属于中档题.14．已知数列，其前项和为，则_______【答案】.【分析】先用裂项相消法求出，再求其极限即可.【详解】，.故答案为：15．对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则_______【答案】100【分析】根据题意可得，然后根据条件及求和公式即得.【详解】因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，；，所以．故答案为：100.16．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，都有且，则_______【答案】0【分析】由题可得函数的周期为，然后根据赋值法可得，的值，进而即得.【详解】因为对任意的，都有且，令得，∴，∴，，即，所以，即的周期为，且，，令得，即，令得，所以，，即0.故答案为：0.17．已知函数.若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【分析】利用和差化积公式来处理，得到等号成立时需要满足的条件，进而求得其最小值。【详解】所以，而，故等号成立当且仅当，又因为，所以的最小值为。【点睛】此题考查三角函数的运算，属于中档题。18．已知，，则的最大值等于__________【答案】4【分析】根据余弦函数的单调区间，分类讨论去掉绝对值号，利用相加相消法求出和，由三角函数的最值求最大值即可.【详解】因为，，所以存在，当，函数单调递减，此时，则，当，函数单调递增，此时，，同理可得，所以即的最大值等于4.故答案为：419．无穷数列有个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为____________【答案】3【分析】根据集合与元素的关系，数列中与的关系求解即可.【详解】∵对任意,∴，∴或，当时,，∴可能的值只有0，1，−1，三种情况，故数列{an}最多有0，1，−1，3个数字组成，故答案为：3.20．设的内角所对的边为,则下列命题正确的是_____．①若，则；

②若，则；③若，则；

④若，则．【答案】①②③．【分析】利用余弦定理、三角形的性质及基本不等式等知识，对选项逐一证明或找反例，从而得出正确选项.【详解】解：选项①：因为的内角所对的边为所以当且仅当“”时取“=”，因为，故，因为函数在为单调减函数，所以，故选项①正确；选项②：因为，所以，即，故，所以，因为函数在上为单调减函数，所以，故选项②正确；选项③：假设，则，即，所以（1），因为，所以，故，同理，对（1）式两边同时乘以得，，与矛盾，所以假设不成立，即成立，故选项③正确；选项④：取，故，满足，而，故为锐角，不能满足，故选项④错误.故本题的正确选项为①②③．【点睛】本题考查了余弦定理、反证法、基本不等式等知识，熟练掌握定理及公式是解题的关键.21．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．【答案】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题22．已知函数(1)求的单调递增区间；(2)若，求的值域【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由三角恒等变换公式化简，结合三角函数性质求解，【详解】（1），由，得，故的单调递增区间为，（2）当时，，则，的值域为23．已知数列满足(1)求出项，并由此猜想的通项公式(2)用数学归纳法证明的通项公式【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据已知条件求得，由此猜想，（2）结合数学归纳法的证明步骤，证得猜想通项公式正确即可.【详解】（1）依题意，所以，由此猜想.（2）当时，，成立.假设当时成立，即成立.则当时，，成立.综上所述，对任意正整数都成立.24．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场(1)已知，求的长度(2)问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积【答案】(1)千米；(2)千米时，取得最大值平方千米.【分析】（1）运用正弦定理可求出的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，代入数据得解之：千米；（2）在中，由余弦定理可得令可得，所以当且仅当时取得又千米时，取得最大值平方千米.25．已知等比数列首项为1，公比为，为数列的前项和(1)求(2)求【答案】(1)(2)时，，时，【分析】（1）分与讨论，利用等比数列的求和分别写出即可；（2）对分类讨论，分别求出极限即可.【详解】（1）由等比数列求和公式，当时，，当时，，综上，.（2）由（1）知，当时，，所以，当时，，当时，当时，，综上，时，，时，.26．已知数列的前项和为，对任意都有成立，且.(1)求数列的通项公式(2)已知，且有对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后根据等比数列的定义可求，进而即得；（2）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.【详解】（1）因为对任意都有成立，且，当时，，所以，所以，即，又，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，所以，所以，所以；（2）由题可知，所以，又对任意恒成立，所以，即实数的取值范围.27．已知数列满足：，且，设(1)求数列的通项公式(2)在数列中，是否存在连续三项依次构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由(3)试证明：在数列中，一定存在正整数，使得依次构成等差数列，并求出之间的关系【答案】(1)(2)成等差数列(3)当为奇数，时，成等差数列【分析】（1）由累加法求解，（2）由的通项公式与等差数列的性质列式求解，（3）根据的奇偶讨论，由的通项公式与等差数列的性质列式求解，