2021-2022学年上海市第三女子中学高一年级下册学情期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市第三女子中学高一下学情期末数学试题一、填空题1．已知复数（为虚数单位），则的值为__________【答案】【分析】利用复数的运算法则即可得出结果.【详解】解：由复数（为虚数单位），则.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题.2．在复数范围内分解因式________．【答案】【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；【详解】解：故答案为：3．若向量，且与垂直，则实数_______．【答案】【分析】利用两向量垂直，数量积等于零的坐标运算计算即可.【详解】由题可知，得，解得故答案为：4．若，则_______．【答案】【分析】利用向量的夹角公式直接求解.【详解】因为向量，，所以.因为，所以.故答案为：5．若，则在上的数量投影为_______．【答案】6【分析】利用向量的投影公式即可求解.【详解】在上的数量投影为：.故答案为：6.6．设向量、满足，则_______．【答案】2【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可.【详解】，故.故答案为：27．若等差数列中，，则数列的通项公式为_______．【答案】【分析】根据题意，求出首项和公差，利用等差数列的通项公式，计算求解即可.【详解】，可得公差，，，故答案为：8．用数学归纳法证明等式“”时，从到时，等式左边需要增加的是______.【答案】【分析】由数学归纳法可知时,左端为,到时,左端,从而可得解..【详解】用数学归纳法证明等式时,当时，左边所得的项是;假设时,命题成立,左端为;则当时,左端为,所以从“”需增添的项是.故填:.【点睛】本题考查数学归纳法证明的第二步：归纳递推,从“”需将“”代入所需证明的表达式中，明确其具体含义，是个易错点，属于中档题.9．在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.【答案】【分析】根据复数的几何意义写出点的坐标，求出旋转后对应点的坐标，得其对应复数．【详解】复数对应的点，如图，绕原点按逆时针方向旋转到位置，，，∴，，即，点对应复数为．故答案为：．【点睛】本题考查复数的几何意义，旋转过程中线段长度保持不变，关键是求出新点对应的坐标，可得对应复数．10．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围.【详解】因为，所以设，故，其中，因为，所以.故答案为：.11．若复数和复数满足，则_____．【答案】【分析】设，根据复数的运算即可求解.【详解】设，且，则，又，所以，也即，则，因为，所以故答案为：.12．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围.【详解】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.二、单选题13．若复数是纯虚数，则实数的值为A．1 B．2 C．1或2 D．-1【答案】B【详解】由得，且，．14．下列命题中，真命题的个数是（

）（1）若复数、，且，则或（2）若复数、，且，则．（3）若复数，则．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对于（1），设出两个复数，利用复数乘法的计算法则，即可求解，对于（2）、（3），主要用举例的方法说明即可.【详解】设、，且，，，均为实数.对于（1），，则有，则有或，所以、中至少有一个为，（1）正确；对于（2），若，，此时，但此时，故（2）错误；对于（3），若，则，而，此时，（3）错误.故选：B15．下列命题中，真命题的个数是（

）（1）若数列是等比数列，则数列也是等比数列．（2）若，则或．（3）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】对（1）设即可判断结果，根据数量积公式可判断（2），根据数量积意义可判断（3）．【详解】（1）设，则，故不是等比数列，则（1）是假命题；（2）由，得或或，则（2）是假命题；（3）设，，则，而不一定成立，故（3）是假命题．故选：A16．无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到、的关系，再结合的范围即可求解.【详解】设公比为，因为，所以，且，所以，所以，又因为，所以的范围是.故选：D三、解答题17．已知等比数列的的前项和为，且，求的值．【答案】【分析】利用等比数列求和公式，结合以及的值，求出首项、公比，再利用求和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，，两式相除得，从而解得，所以．18．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】（1）的坐标为或；（2）【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标；（2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围．【详解】（1）设点的坐标，由，得，因为点是直线上一点，且，所以或，即或，解得或，所以点的坐标为或；（2）因为与的夹角为，所以，，因为与的夹角为锐角，所以，即，解得，又当与共线时有，解得，所以，综上，实数的取值范围是．19．关于的方程（）的两个根为，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)6(2)或【分析】（1）由得到，即可求解；（2）分别讨论方程有两实数根或方程有两虚数根，即可求解.【详解】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，所以，所以.（2）①当，即时，方程有两实数根，所以，，则，解得；②当，即时，方程有两虚数根，即，不妨设，；则解得；综上：实数的值为或．20．解决下列问题(1).已知等差数列的前项和为，首项，且，求取得最大值时的值；(2).已知数列的通项公式为，试问:是否存在正整数、，使得成立?若有，求出、；若没有，说明理由．【答案】(1)7或8(2)答案见解析.【分析】对于（1），由，可得，又，可知数列为递减数列，则当，时，，据此可得答案；对于（2），存在正整数、，使得.通过研究数列增减情况，找到最大值，与5比较大小即可得答案.【详解】（1）因为为等差数列，且，所以，即，由，所以.故当，时，；当时，.所以最大，所以取得最大值时的值为7或8；（2）因，则故当，即，时，数列递增；当，即，时，数列递减；当，即时，有.则，故数列中最大项为，数列最小项不存在，当接近正无穷大时，无限接近于0.则，其中接近正无穷大.故不存在正整数、，使得成立【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列前n项和的最值，及数列能成立问题，（1）较为基础，解决（2）问的关键，是能将存在正整数、，使得转化为找数列最大项与数列最小项的差值.21．已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求；(3)记，若数列中去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值．【答案】(1)(2