2021-2022学年山东省聊城市聊城高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设在处可导，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为在处可导,所以，由导数的定义可得：.故选：A2．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解之即可求得展开式中的第3项.【详解】因为的展开通项为，所以的展开式的第项的二项式系数为，因为的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，所以，由性质得，故，所以展开式中的第3项为.故选：D.3．已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对求导，再利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：B.4．因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（

）种．A．34 B．816 C．216 D．210【答案】B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果．【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种，则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种．则这7名教师不同的安排方法有种．故选：B．5．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.5，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中一次，则甲命中目标的概率为（

）A．0.6 B．0.625 C．0.5 D．0.3【答案】B【分析】先由题意求得目标至少被命中1次的概率，目标至少被命中1次且甲命中目标的概率，再由条件概率公式即可求得结果．【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，则，，．故选：B.6．已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．【详解】在区间上为单调递增函数则在区间上恒成立即在区间上恒成立设，函数在上是减函数，则所以．故选：D．7．在的展开式中，的系数为（

）A．120 B．84 C．210 D．126【答案】C【分析】先通过求出各项二项式中的系数，再利用组合数的性质即可得解.【详解】因为的展开通项为，所以的展开式中没有这一项，的展开式中没有这一项，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，……的展开式中的系数为，所以所求的系数为.故选：C.8．定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为时，，所以可化为，即，设，则，所以当时，，所以函数在上的单调递减，因为，所以所以，即，所以，故选：B.二、多选题9．随机变量的分布列为：012Pa其中，下列说法正确的是（

）A． B． C．随b的增大而减小 D．有最大值【答案】ABD【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．【详解】根据分布列的性质得，即，故A正确；根据期望公式得，故B正确；根据方差公式得，因为，当时，随b的增大而增大；当时，随b的增大而减小，故C错误；当时，取得最大值，故D正确，故选：ABD．10．已知展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是（

）A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在含的项 D．展开式中含项的系数为45【答案】BD【分析】由结合展开式的各项系数和得出，再由二项展开式的通项及二项式定理的性质逐一判断即可．【详解】∵展开式的各项系数之和为1024，∴令，得，∵a＞0，∴a＝1则二项式为，其展开式的通项为：展开式中奇数项的二项式系数和为×1024＝512，故A错误；由展开式的通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，故B正确；令，可得不是自然数，则展开式中不存在含的项，故C错误；令，解得，所以展开式中含项的系数为，故D正确，故选：BD．11．某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（

）A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B．四人去了同一餐厅就餐的概率为C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为【答案】ACD【分析】对于ABC，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；对于D，根据题意得到第一餐厅就餐的人数服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得的期望，由此判断即可.【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；对于C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；对于D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，所以，故D正确.故选：ACD.12．已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的有（

）A． B．在上单调递减C． D．若，则【答案】AD【分析】根据参变分离构造函数，根据的性质，即可判断A；求导得，结合即可判断B；构造函数，利用导数求解的范围，即可判断C，根据与的大小关系结合的单调性即可判断D．【详解】对于A，由等价于，令，令，得，令，得，所以在单调递增；在单调递减，当时，取极大值，当；当时，，，则，故A正确．对于B，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，则，所以在单调递增，故B错误；对于C，由A可知，当时，，当时，令，，，，在上单调递增，，，则，又，，又在上单调递增，，，，综上，故C错误；对于D，在单调递增，在上单调递减，且，，，，，，，故D正确，故选：AD．三、填空题13．全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．【答案】625【分析】利用分步乘法有理求不同的报名方法种数即可.【详解】由已知第一位同学的报名方法有5种，第二名同学的报名方法有5种，第三名同学的报名方法有5种，第四名同学的报名方法有5种，由分步乘法计数原理可得4名同学的不同的报名方法种数是种，即625种，故答案为：625.14．同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，则4次试验中至少有2次成功的概率是______________．【答案】【分析】由题意可知4次试验中成功次数～，由此即可得出答案．【详解】同时抛郑两枚质地均匀的硬币一次，若两枚硬币都正面向上，就说这次试验成功，这次试验成功的概率为，在4次试验中成功次数～，4次试验中至少有2次成功的概率是．故答案为：．15．若，则______________．【答案】14【分析】由二项式定理可求，利用组合数性质化简，结合二项式定理求值.【详解】因为，化简可得，又，所以当时，，所以，所以，所以，所以，故答案为：14.16．若函数在区间D上有定义，且均可作为一个三角形的三边长，则称在区间D上为“M函数”．已知函数在区间为“M函数”，则实数k的取值范围为_________________．【答案】【分析】先由题意得到且，再利用导数求得在的最值，从而求得k的取值范围.【详解】根据题意可知在区间D上为“M函数”，则有且，因为在区间为“M函数”，所以且，因为，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，又，，则，即，所以，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：.四、解答题17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？【答案】(1)种；(2)种【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共种不同的建组方案.答：共有种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案共种，其中只有医生的情况数有，不可能存在只有护士的情况．故共有种不同的建组方案.答：共有种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．(1)求的值；(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【答案】(1)7；(2)﹒【分析】(1)求二项式展开式的通项，根据第4项的系数与倒数第4项的系数之比为列出关于m的方程，解方程即可求得m；(2)根据通项求出有理项的项数，根据插空法即可求概率.【详解】（1）展开式的通项为，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，，即．（2）展开式共有8项，由(1)可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为．19．已知函数．(1)求函数的单调区间与极值；(2)求函数在区间上的最值．【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值是，极小值是(2)最大值为，最小值为．【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；（2）根据极值和端点值即可确定最值.【详解】（1）．令，得或；令，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．所以的极大值是，的极小值是．（2）因为，由（1）知，在区间上，有极小值，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．20．将10株某种果树的幼苗分种在5个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为0.5若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需20元，用X表示补种费用．(1)求一个坑不需要补种的概率；(2)求5个坑中恰有2个坑需要补种的概率；(3)求X的数学期望．【答案】(1)(2)(3)25元【分析】（1）利用间接法及独立事件概率的乘法公式即可得解；（2）利用重复独立实验的概率公式即可得解；（3）根据题意得需要补种的坑数服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的公式求得，再由数学期望的性质求得，由此得解.【详解】（1）依题意，一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率.（2）由（1）得每坑要补种的概率，所以5个坑中恰有2个坑需要补种的概率.（3）设5个坑中需要补种的坑数为，则服从二项分布，即，所以而，故（元），所以X的数学期望为元.21．为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：容易题中等题难题答对概率0.70.50.3答对得分345(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．【答案】(1)后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析(2)【分析】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；（2）根据题意得到X的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X的每一个取值的概率求出，从而得到X的的分布列，从而求得X的数学期望．【详解】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分，所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：；因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.（2）依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，则，，，所以X的分布列为：X378111216P所以.22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；(2)求出的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；（2）对求导，令得或，讨论与区间的位置情况判断的符号，进而确定的单调性，即可