山东省青岛市西海岸、平度、胶州2022年数学九上期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知一元二次方程的一般式为，则一元二次方程x2－5＝0中b的值为（）A．1 B．0 C．－5 D．52．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）3．-4的相反数是（）A． B． C．4 D．-44．如图，矩形矩形，连结，延长分别交、于点、，延长、交于点，一定能求出面积的条件是（）A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形和矩形的面积之差C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差5．在平面直角坐标系中，点P（m，1）与点Q（﹣2，n）关于原点对称,则mn的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝1．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．若方程是关于的一元二次方程，则应满足的条件是（）A． B． C． D．8．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB9．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．x+＝2 B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．2x2+y＝110．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A． B． C． D．11．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．12．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是，则盒子中白球的个数是（）.A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（每题4分，共24分）13．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_____．14．在平面直角坐标系中，解析式为的直线、解析式为的直线如图所示，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形，……顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为______．15．如图，内接于，若的半径为2，，则的长为_______．16．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)17．如图，直线∥轴，分别交反比例函数和图象于、两点，若S△AOB=2，则的值为_______．18．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm2（结果保留π）．三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．20．（8分）计算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣121．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．22．（10分）小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.（1）小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______；（2）求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.23．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．24．（10分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．（1）直接写出点A的坐标；（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（2，﹣5）．（1）求此二次函数的表达式；（2）画出这个函数的图象；（3）△ABC的面积为．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】对照一元二次方程的一般形式，根据没有项的系数为0求解即可．【详解】∵一元二次方程的一般式为，对于一元二次方程x2－5＝0中没有一次项，故b的值为0，故选：B．【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识，掌握住各项系数是解题的关键．2、A【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，

∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．

故选A.．【点睛】本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3、C【分析】根据相反数的定义即可求解.【详解】-4的相反数是4，故选C.【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义.4、B【分析】根据相似多边形的性质得到，即AF·BC=AB·AH①．然后根据IJ∥CD可得，，再结合以及矩形中的边相等可以得出IJ=AF=DE．最后根据S△BIJ=BJ·IJ=BJ·DE=(BC-DH)·DE=BC·AF-DH·DE②，结合①②可得出结论．【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形FAHG，，∴AF·BC=AB·AH，又IJ∥CD，∴，又DC=AB，BJ=AH，∴，∴IJ=AF=DE．S△BIJ=BJ·IJ=BJ·DE=(BC-DH)·DE=BC·AF-DH·DE=AB·AH-DH·DE=(S矩形ABJH-S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ面积的条件是知道矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关键．5、A【分析】已知在平面直角坐标系中，点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称，则P和Q两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m，n，进而求得mn的值．【详解】∵点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称∴m=2，n=-1∴mn=-2故选：A【点睛】本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．6、C【分析】①根据折叠的性质∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明▱BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF．【详解】①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE(SAS)；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝，BE＝，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝，∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝，∴sin∠PCB＝；故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，4个，故选：C．【点睛】本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．7、C【分析】根据一元二次方程的定义得出，求出即可．【详解】解：是关于的一元二次方程，，∴．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是（、、都是常数，且．8、C【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．故选C．考点：相似三角形的判定．9、C【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程.【详解】解：A、x+＝2不是整式方程，不符合题意；B、ax2+bx+c＝0不一定是一元二次方程，不符合题意；C、方程整理得：x2﹣5x+6＝0是一元二次方程，符合题意；D、2x2+y＝1不是一元二次方程，不符合题意.故选：C．10、A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．11、B【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.【详解】如图，，AC=2，,A、三边依次为：，，1，∵，∴A选项中的三角形与不相似；B、三边依次为：、、1，∵，∴B选项中的三角形与相似；C、三边依次为：3、、，∵，∴C选项中的三角形与不相似；D、三边依次为：、、2，∵，∴D选项中的三角形与不相似；故选：B.【点睛】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.12、B【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.【详解】由题意得：12×=4，即白球的个数是4.故选：B.【点睛】本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝2，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝1，∴DQ＝，∴DQ的最小值是，故答案为．【点睛】本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解．14、【分析】由题意利用一次函数的性质以及等边三角形性质结合相似三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：将代入分别两个解析式可以求出AO=1，∵为边作第一个等边三角形，∴BO=1，过B作x轴的垂线交x轴于点D，由可得，即，∴，，即B的横轴坐标为，∵与轴平行，∴将代入分别两个解析式可以求出，∵,∴，即相邻两个三角形的相似比为2，∴第2020个等边三角形的边长为.故答案为：.【点睛】本题考查一次函数图形的性质以及等边三角形性质和相似三角形的性质的综合问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键.15、【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接OB、OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=90°，

∴利用勾股定理得：BC=．故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．16、<【解析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.【详解】当时，，当时，，，即，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.17、1【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=cd，根据三角形的面积公式求出cd-ab=1，即可得出答案．【详解】设A（a，b），B（c，d），代入得：k1=ab，k2=cd，∵S△AOB=2，∴，∴cd-ab=1，∴k2-k1=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd-ab=1是解此题的关键．18、3π【详解】．故答案为：．三、解答题（共78分）19、见解析．【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可．【详解】证明：∵AD，BE分别是BC，AC上的高∴∠D=∠E=90°又∠ACD=∠BCE（对顶角相等）∴△ADC∽△BEC∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．20、1【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【详解】原式=1×+3﹣+1﹣1=1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21、（2）y＝﹣x2+2x+2；（2）点P的坐标为（0，2+）；（2）MD2＝n2﹣n+3；点M的坐标为（，）或（，）．【分析】（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，根据旋转的性质及同角的余角相等，可证出△ODP≌△FED（AAS），由抛物线的解析式可得出点D的坐标，进而可得出OD的长度，利用全等三角形的性质可得出EF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出DF，OP的长，结合点P在y轴正半轴即可得出点P的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出m2﹣2m＝2﹣n，根据点D，M的坐标，利用两点间的距离公式可得出MD2＝n2﹣n+3，利用配方法可得出当MD2取得最小值时n的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出当MD2取得最小值时点M的坐标．【详解】（2）将A（﹣2，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，∴∠OPD＝∠FDE．在△ODP和△FED中，，∴△ODP≌△FED（AAS），∴DF＝OP，EF＝DO．∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣2）2+3，∴点D的坐标为（2，0），∴EF＝DO＝2．当y＝2时，﹣x2+2x+2＝2，解得：x2＝2﹣（舍去），x2＝2+，∴DF＝OP＝2+，∴点P的坐标为（0，2+）．（2）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，∴n＝﹣m2+2m+2，∴m2﹣2m＝2﹣n．∵点D的坐标为（2，0），∴MD2＝（m﹣2）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+2+n2＝2﹣n+2+n2＝n2﹣n+3．∵n2﹣n+3＝（n﹣）2+，∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+2＝，解得：m2＝，m2＝．∴MD2＝n2﹣n+3，当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值以及两点间的距离公式，解题的关键是：（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征求出OP的长；（2）利用两点间的距离公式结合二次函数图象上点的坐标特征，找出MD2＝n2﹣n+3．22、（1）；（2）.【解析】1）根据题意，画树状图列出三人随机选择上午或下午去踏青游玩的所有等可能结果，找到小王和小张都在本周六上午去游玩的结果，根据概率公式计算可得；

2）由1）中树状图，找到三人在同一个半天去游玩的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：1）根据题意，画树状图如图，

由树状图知，小王和小张出去所选择的时间段有4种等可能结果，其中都在本周六上午去踏青郊游的只有1种结果，

所以都在本周六上午去踏青郊游的概率为，

故答案为；

2）由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去踏青郊游共有8种等可能结果，

其中他们三人在同一个半天去踏青郊游的结果有上，上，上、下，下，下种，

他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率为．

本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率注意列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．23、（1）画图见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．试题解析：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO=，所以，点B所经过的路径长=（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．24、．【分析】连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．【详解】解：连结PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米设PM=x在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°＝x（米）在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=(－10)tan60°＝(－10)（米^由AM+BN=46米，得x+(x－10)＝46解得，x==∴点P到AD的距离为米【点睛】