仰角俯角与解直角三角形课时练习

应用举例第1课时仰角、俯角与解直角三角形关键问答①如何用一个数学问题来表示这个实际问题？②利用解直角三角形解决实际问题的一般过程是什么？1.①如图28—2—15,沿AB方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AB上的一点C,取ZACD=146°,CD=500米，ZD=56°.要使点A,C,E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ）500米图28-2-15A.500米B.500sin56米C.500cos56°米D.500tan562.②如图500米图28-2-15A.500米B.500sin56米C.500cos56°米D.500tan562.②如图28—2—16,某数学兴趣小组想测量一棵树 CD的高度,米他们先在点 A处测得树顶C的仰角为30。，然后沿A防向前行10m至IJ达点B,D三点在同一直线上），则这棵树CD勺高度为（B,在B处测得树顶C的仰角为60。（A,）C10m^1*-10m—D图28-2-165mC.5班mD,10季m考向提升训练能力善专不号化命题点1解直角三角形在生活中的应用 [热度：93%]3.③2018•长春如图28—2—17,某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A,B在同一水平面上）.为了测量AB两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a,则A,B两地之间的距离为（）图28-2-17A.800sina米B.800tana米C.-800-米D.卢”米sinatana解题突破③用锐角三角函数表示已知量与未知量之间的关系，然后利用变形即可解决问题 ..④如图28-2-18,钓鱼竿AC长6m,露在水面上的渔线BC长3&m,钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC沿逆时针方向转动到AC的位置，此时露在水面上的渔线B'C长3小m,则鱼竿转过的角度是（ ）

图28—2—18A.60°B.45°C.15°D.90°解题突破④可通过两个角作差来求结果 ..⑤如图28—2—19①，手机放在手机支架上，其侧面示意图如图28—2—19②所示，AB是长度不变的活动片，一端A固定在OA上，另一端B可在OC±变动位置，若将AB变到AB'的位置，则OC顺时针旋转一定角度到达OC的位置.已知OA=8cm,ABLOC/BOA=60°,9sin/B'A0-,则点B'到OA勺距离为（ ）图28-2-19A」cmb.3cmc.»cmd.310 5 5 5解题突破⑤在直角三角形ABO^求出AB的长，利用AB的长度不变解包含点 B'到OA勺垂线段的另一个直角三角形..将45°的/AOB$图28—2—20的方式放置在一把刻度尺上，顶点 O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，O端尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37。的/AOC放置在该刻度尺上，则 OC与尺上沿的交点C在尺上的t实数约为cm.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin37°〜0.60,cos37°〜0.80,tan37°〜0.75）图28-2-20.⑥“低碳环保，你我同行”.近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便.图28—2—21①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点 A,D,C,E在同一条直线上， CD=30 cm, DE20cm, AQ25cm, FD1AE于点 D,座杆 CE=15 cm,且/EAB=75.（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°〜0.97,cos75°〜0.26,tan75°〜3.73）

①图28—2—21方法点拨⑥解应用题时，应先将实际问题转化为数学问题， 找出直角三角形并寻找已知量和未知量之间的桥梁，从而利用解直角三角形的知识得到数学问题的答案， 最后得到符合实际意义的答案..⑦图28—2—22①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由与地面垂直的 EM位置运动到ENi置时的示意图.已知 BC=0.64米，AD=0.24米，a=18°.（参考数据：sin18°〜0.31,cos18°〜0.95,tan18°〜0.32）⑴求AB的长（结果精确到0.01米）；（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由点 M运动到点N的路径弧MNJ长（结果保留兀）.r.4①②图r.4①②图28-2-22模型建立⑦已知一个直角梯形的四个内角和两底边的长， 求腰长，可通过作高，将其转化为直角三角形求解.命题点2与仰角、俯角相关的解直角三角形 [热度：95%]9.2018•咸宁如图28—2—23,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°AD为110m,那么该建测得底部C的俯角为60。，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离筑物的高度BC约为m（结果保留整数，AD为110m,那么该建

图28—2—2310.⑧2017•东营一数学兴趣小组来到某公园， 准备测量一座塔的高度. 如图28—2—24,在A处测得塔顶的仰角为a,在B处测得塔顶的仰角为 3,又测量出A,B两点间的距离为s米，则塔高为米.D BA图D BA图28-2-24方法点拨⑧当图中出现两个直角三角形时，常要用到方程的思想.在直角三角形中，先利用锐角三角函数表示出各基本量，然后由基本量之间的关系列方程（组），再解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的..⑨如图28—2—25,某无人机于空中A处探测到目标B,D,从无人机A上看目标B,D的俯角分别为30。，60。，此时无人机的飞行高度 AC为60m,随后无人机从A处继续飞行304m到达A'处.⑴求A,B之间的距离；D的俯角的正切值.（2）求从无人机A'D的俯角的正切值.图28-2-25图28-2-25模型建立⑨双三角形类型：模型建立⑨双三角形类型：类型一：两个直角三角形在公共直角边的同侧，如图△ACD43,有公共边AQBC=BACD28-2-260,在RSABD和Rt①②①②图28-2-26类型二：两个直角三角形在公共直角边的两侧，如图②，在RtAABD^口Rt^ACDK有公共边ADBC=BACD.⑩如图28—2—27,一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45。，向前走9m到达点B,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60。和30°.⑴求/BPQ勺度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果保留根号）.图28—图28—2—27解题突破⑩本题需要利用锐角三角函数，把未知量向已知量所在的边转移，然后建立方程求解 ..?如图28—2—28,某勘测飞机为了测量一湖泊两端 AB之间的距离，飞机在距离湖面垂直高度为90米的点D处测得端点A的俯角为63.4。，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了125米到达C处，在点C处测得端点B的俯角为42.1°,求湖泊两端AB之间的距离.（参考数据：tan63.4°〜2.00,sin63.4°〜0.89,cos63.4°〜0.45,tan42.1°〜0.90,sin42.1〜0.90,sin42.1〜0.67,cos42.1°〜0.74)图28-2-28模型建立?本题相当于解两边平行且四个角及平行两边之间的距离已知的四边形 ^思维拓展培优 培优披尖沿卦化.?如图28—2—29①②分别是一款家用的垃圾桶及其侧面示意图，踏板 AR与地面平行）可绕定点R固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=AP,BP=B'P）.通过向下踩踏点A到A'（与地面接触点）使点B上升到点B',与此同时，传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H',从而使桶盖打开一个张角/HDH.如图28—2—29③，桶盖打开后，传动杆HB'所在的直线分别与水平直线ARDH®直，垂足为MG设H'C=B'M测得AP=6cm,PB=12cm,DH=8cm.要使桶盖张开的角度/HDH不小于60。，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少厘米？ （结果精确到0.1cm,参考数据：。2~1.41,、/3=1.73）

①②③图28—2—29解题突破?根据/HDH的取值范围，可得HC的取值范围，从而得B'M的取值范围，利用相似三角形可得结果.详解详析详解详析1.C2.C一, , ACD［解析］在Rt△ABO43,•••/CAB-90,ZB-a,AC=800米，..tana=*^\BAC800 ,•.A4tanr=tanv(米).CD［解析］-.ABIOCZABO=90°.在RtAABO)^,•••/AO960°,OA=8cm,.AB=AB=OA如图，过点B'作在RtAAB.AB=AB=OA如图，过点B'作在RtAABP中,sin/AOB=8X乎=4木(cm).BP±OA于点P,, 9•••sin/BAO=—,・•.B'P=AB-sin/BA0=4/*=18炉(cm).故选D.2.7［解析］如图，过点B作BD，OA于点D,过点C作CELOA于点E在^BO前，/BDO=90,/DOB45,・•.BD=OD=2cm,•.CE=BD=2cm.在ACO即，/CEO=90,/COE37,CE.tan37=OE^0.75, O氐2.7cm.OCW尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.解：(1)在Rt^ADF中，由勾股定理得AD=MA/—DF=^252-202=15(cm).(2)AE=ANCDFCE=15+30+15=60(cm),sir~sir~AEHEHsin/EAHh-^\E如图，过点E作EHLAB于点H,在RtAAEh^,贝UEHhAE-sin/EA+60X0.97=58.2(cm).答：点E至ijAB的距离约为58.2cm.解：(1)如图，过点A作AF，BCT点F,

DD则BQBC-AD=0.4米，.•.AB=BF+sin18°〜1.29米.(2)♦./NEM=90°+18°=108・•・弧MNJ长为108X0.8兀・•・弧MNJ长为108X0.8兀1800.487t(米)・10.tana•tanBtantan在RtACAD^,CD=ADan风=(CD -+s)tana,tan310.tana•tanBtantan在RtACAD^,CD=ADan风=(CD -+s)tana,tan3化简，得CD=tana-tan(3; ; ; ,s.tan§—tana11.解：(1)由题意得/ABD=30°,在RtAABC^,AC 60…AB=. o-=~7~=120(m).sin30 12AC=60m,答：AB之间的距离为120m.(2)如图，过点AYA'E±BC交BC的延长线于点E,连接A'D,300［解析］..在RtAABD^,AD=110m,ZBAD=45°, BD=AD=110m.•.在Rt^ACD中，/CAD=60,•.CD=AD-tan60°=110X淄=190(m),BC=BNCA110+190=300(m).一， ， CD CD［解析］在.△怎加,BD=法1r，，曲而1r+s.则A'E=AC=60m,CE=AA'=30 3m.在RtAADCX3,AC=60m,ZADC=60,m,DE=50 3m,••.tan/AAD=tanm,DE=50 3m,••.tan/AAD=tan/A'DE=A'E 60 2de50.3一53.2答：从无人机A'上看目标D的俯角的正切值是5班.12.解：如图，延长PQ^直线AB于点E,(1)/BP仔90°-60°=30°（2）设PE=xm.在Rt^APE中，/PAE=45,贝UAE=PE=xm.在Rt^BPE在Rt^BPE中，BE=m..AB=AE-BE=9m,•.x—率x=9,解得x=27+；V3,则解得x=27+；V3,则be=在RtABEQ^,QE=9+9 3 m.29+3 3 2^—m,.PQ=PE-QE=27+9木9+3小=（9+3寸3）m.答：该电线杆PQ勺高度为（9+3^3）m.13.解：如图，过点C作CE!AB于点E,过点D作DF±AB于点F.MDFA由题意可得/ADC63.4,/MCB42.1,CD=E^125米，CE