结构动力学能量法

结构动力学能量法动内力势能：设位移函数。局限性，不能同时考虑多种函数，频率偏高，动位移精度好动内力精度低。考虑梁的轴向、弯曲、剪切和扭转变形的应变能：1)或者：2)动能：1)或者：2)动能：根据能量守恒，即最大动能等于最大势能，可以求出结构的频率。根据能量守恒，即最大动能等于最大势能，可以求出结构的频率。若只考虑弯曲变形，梁的频率为：如果还有集中质量则，

如果还有集中质量则，「&JF心（厂氏3盘= [lpfy2a他+乏＞尸3J° *=丄式中的y为位移函数，只要满足位移边界条件即可。以上两式也叫瑞雷商。从式（7）还可以推导出：必E叭尸（矶）:爲JT叱（耳）血8）9）应用：如图，8）9）应用：如图，T=VTf：Tl其周期：例题：两边简支的梁，取卩总=卅一2厶沪十yff=—2

这比精确值偏高10.9%余能：保持势能的优点，只设一个位移函数，可以推广到板壳及有限元中，计算频率精度特高，接近实际频率，动位移差，动内力精度高。1、弯曲梁动力计算的最小余能公式fzM2(x)Q2(x)N2(x)、』V一亦口二J( + + )dx—乙u•R (1)2EJ 2rGA 2EA0式中：最后一项为支座沉陷的余能。结构运动方程：[EJy"(x)]"—mw2y(x)+Ny"(x)二0 (2)该方程比静力问题多了-mw2y(x)这一项，可以把它比拟成弹性地基上的梁。

TOC\o"1-5"\h\z[EJy〃(x)]〃+ky(x)+N]y〃(x)=0 (3)该简支梁弯曲变形余能为：lf21/P x x2口二2 (x—tx)2dx+-^2EJ2 2 2k01如果梁是放在弹性系数为k的地基上时，其弹簧的余能为:/血(x)]2dx2k0口j(畑—问2y(x)]2)dx2EJ 2m®20其中M(x)为假想惯性力引起的弯矩函数。考虑剪切变形影响时式(5)可以改写成：口二J(M2(x)+Q2(x)—[m®2y(x生2EJ 2pGA 2m®2 “0asm4)7)则假想惯性力为：q(x)二mw2y(x)dQ(4)7)则假想惯性力为：q(x)二mw2y(x)dQ(x)=-q(x)dx可以得到：1 兀x 兀 兀xQ(x)二m®2acos+Na—cos兀 1 1 1M(x)二m®2a(—}冗1 11T.兀x“.兀x2sin—+Nasm—i1J将式(10)代入(6)l得到n=—1—(—)4m2®4a2 +2EJ兀 2 2yGA兀[m2®4a2 ]1ll2()2m2®4a2 一 +2 2m®2(8)(9)10)11)N 13N ,N2 Na2兀2im®2a2 + i—m®2a21+ia21+—2EJ 兀22yGA 4EJ 2yGAl式(11)对m®2a取导数:an115 i13aln13= m®2a+ m®an115 i13aln13= m®2a+ m®2a+++aa(m®2a)2EJ兀4 2uGA兀2 22EJ兀2N+一—al=02uGA得到N13 N1—1—1 2EJ兀2 2pGA®2=m15m13+2EJ兀4 2uGA兀2N12 N1—1 —1—EJ兀2uGAm14 m12+EJ兀4uGA兀2式中：分母第一项为弯曲变形®2的倒数，第二项为剪切变形®2bs令N=0时可以得到：11=1*1®2®2®2bs14)如果将常轴力n由压力变为拉力’式（11）变为:[m2®4a22-]口=丄(厶4m2®4a2丄+丄(厶2m2®4a2丄—2EJ兀 22uGA兀 2 2m®215)N l3 N N2+m®2a2——一 1—m®2a21一ia21一2EJ 兀22uGA 4EJNa2兀22uGAl对仲取导数’得到N兀2®2= 1—m1216)此为弦横向振动的基频。若令式（13）中的®2=0，则可求得1N=（17）1 1121EJ兀2uGA强迫振动的余能方法：y（x,t）=asin巴sin0t1均布荷载引起的弯矩和剪力20)21)pGA兀20)21)pGA兀3an* 1l5n 1 13nalN13 N= mU2a+ mU2a—++a+ i—ala(mU2a)2EJ兀4 2yGA兀2 2 2EJ兀2 2yGA0.129l5q2EJ兀22ql3yGA冗322)=0M(x)=—(l-x)xq2Q(x)=—(l-x)—2于是式(10)变成：TOC\o"1-5"\h\z1 兀兀 兀 兀兀 —Q(x)=mU2acos+Na—cos+ (/—x)兀 1 i1 1 2M(x)=mU2a(—}2sin巴+Nasin竺+—(l—x)x兀 l i l2ll l[l l[m2U4a2]]=2EJ(齐)4m2U4a右+帀GA(齐)2m2U4a2厂FL+N门 13 N N27Na2兀20.12915qmU2a+mU2a2 + —mU2a21+ia21++ + +2EJ 兀22rGA 4EJ 2yGAl 2EJ兀2—l3maU2求得a为：a=(1—0.129l4qEJ兀2a=(1—0.129l4qEJ兀2EJ兀24ql2yGA兀yGA)(1—23)TOC\o"1-5"\h\zNl