稳定判据和裕度课件

1第5章线性系统的频域分析法Frequency-responseanalysis

应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。1第5章线性系统的频域分析法应用频率特性研究线性系统的25.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimumphasesystemsandnon-minimumphasesystems

最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子25.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimumph35.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。当趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

35.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系4静态位置误差常数的确定图5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为

在低频段等于，即4静态位置误差常数的确定图5-21单位反馈控制系统假设系统5图5-22某一0型系统对数幅值曲线cf3_dB=-30.4575749

cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.54242515图5-22某一0型系统对数幅值曲线cf3_dB=-30.6图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为静态速度误差常数的确定在1型系统中斜率为证明12斜率为其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于设交点上的频率为的起始线段/或证明6图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。的起始线段/或778图5-23某个1型系统对数幅值曲线转角频率为

斜率为与/或其延长线与0分贝线的交点为

的直线，，由此得到在伯德图上点恰好是点与点的中点

8图5-23某个1型系统对数幅值曲线转角频率为斜率为与/9静态加速度误差常数的确定斜率为的起始线段/或其的直线的交点具有的幅值为

1图5-24某2型系统对数幅值曲线延长线，与证明9静态加速度误差常数的确定斜率为的起始线段/或其的直线的交102图5-24某2型系统对数幅值曲线斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为在数值上等于的平方根

证明102图5-24某2型系统对数幅值曲线斜率为的起始线段115.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的

115.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线12图5-25极坐标图但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响

采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。12图5-25极坐标图但它不能清楚地表明开环传递函数中每个135.3.1积分与微分因子所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标图是正虚轴。图5-26积分因子极坐标图135.3.1积分与微分因子所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标14图5-27微分因子极坐标图14图5-27微分因子极坐标图155.3.2一阶因子

图5-28一阶因子极坐标图155.3.2一阶因子图5-28一阶因子极坐标图16图5-29一阶因子极坐标图16图5-29一阶因子极坐标图175.3.3二阶因子

的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。图5-30二阶因子极坐标图175.3.3二阶因子的高频部分与负实轴相切。极坐18对于欠阻尼时相角的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率这时可以用谐振频率处的向量幅值，与处向量幅值之比来确定。当的峰值18对于欠阻尼时相角的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然19过阻尼情况增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。

当19过阻尼情况增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对202021对于

极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：图5-31二阶因子极坐标图21对于极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：图5-22图5-31二阶因子极坐标图22图5-31二阶因子极坐标图23例5-2考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。解：极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：23例5-2考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐24图5-32极坐标图24图5-32极坐标图255.3.4传递延迟当时，当两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似

时255.3.4传递延迟当时，当两者存在本质的差别低频时传265.3.5极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。1型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的265.3.5极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点27在总相角中的相角是由项产生的2型系统：图5-34b高频区域内的极坐标图

如果的分母多项式阶次的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时，轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当27在总相角中的相角是由项产生的2型系统：图5-34b高频区285.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯图图5-34二阶因子对数幅-相图285.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯295.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)图3-35闭环系统闭环传递函数为为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。

虽然开环传递函数充要条件295.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilit30奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析

奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的

假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。

30奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点315.5.1预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：315.5.1预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不32其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应，则为：这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如32其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平33图5-36s平面上的图形在平面上的变换上半s平面内的直线和在平面上的变换33图5-36s平面上的图形在平3400当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次3400当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向35ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，的轨迹将不包围原点相应的35ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围3600如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，封闭曲线既不包围零点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点3600如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围37如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，相应的封闭曲线不包围上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上的原点。37如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2385.5.2影射定理设为两个s的多项式之比，并设P为的极点数，Z为的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在385.5.2影射定理设为两个s的多项式之比，并设P为的极点39若R为正数，表示的零点数超过了极点数；的极点数超过了零点数。很容易确定的P数。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数若R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。

两者的极点数相同39若R为正数，表示的零点数超过了极点数；的极点数超过了零点405.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴(从到该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成的所有正实部的极点和零点。则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。

如果在右半s平面不存在零点，405.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线41图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围41图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨42这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数函数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。42这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0435.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为）的半圆运动，再沿着正轴从运动到（435.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从44对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：当s平面上的时，的相角44对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运45在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。

45在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两46如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。5.6稳定性分析的Z个零点a)不包围-1+j0如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。点。系统是不稳定的。

c)顺时针包围-1+j0b)反时针包围-1+j046如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当s变量47例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。47例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-4148图5-41例5-3中的极坐标图

48图5-41例5-3中的极坐标图49例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。小K值时是稳定的

大K值时是不稳定的

49例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况50例5-5设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。

的轨迹不包围系统是稳定的的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上50例5-5设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和相51的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。51的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右52例5-6设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性。开环传递函数：在右半s平面内有一个极点()，因此。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。因为。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。52例5-6设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性535354例5-7设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。图5-45例5-7中的极坐标图在右半s平面内有一个极点()，因此。开环系统是不稳定的。图5-45表明轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为，这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。

54例5-7设一个闭环系统具有下列开环传递函数：图5-45555.7.2相位裕度和增益裕度图5-46的极坐标图对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，的轨迹通过点。对于小的K值，系统是稳定的。

的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。

555.7.2相位裕度和增益裕度图5-46的极坐标图对于大56相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的截止频率(Gaincross-overfrequency)为定义相角裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。56相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的57增益裕度、幅值裕度(GainMargin)设系统的穿越频率(Phasecross-overfrequency)，定义幅值裕度为幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。57增益裕度、幅值裕度(GainMargin)设系统的穿58PositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11NegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem58PositivePositive-11Negativ59PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB0dB59PositivePositiveNegativeN60谢谢！

结束60谢谢！结束61第5章线性系统的频域分析法Frequency-responseanalysis

应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。1第5章线性系统的频域分析法应用频率特性研究线性系统的625.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimumphasesystemsandnon-minimumphasesystems

最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子25.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimumph635.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。当趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

35.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系64静态位置误差常数的确定图5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为

在低频段等于，即4静态位置误差常数的确定图5-21单位反馈控制系统假设系统65图5-22某一0型系统对数幅值曲线cf3_dB=-30.4575749

cf1_dB=23.5218252cf2_dB=9.54242515图5-22某一0型系统对数幅值曲线cf3_dB=-30.66图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为静态速度误差常数的确定在1型系统中斜率为证明12斜率为其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于设交点上的频率为的起始线段/或证明6图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。的起始线段/或67768图5-23某个1型系统对数幅值曲线转角频率为

斜率为与/或其延长线与0分贝线的交点为

的直线，，由此得到在伯德图上点恰好是点与点的中点

8图5-23某个1型系统对数幅值曲线转角频率为斜率为与/69静态加速度误差常数的确定斜率为的起始线段/或其的直线的交点具有的幅值为

1图5-24某2型系统对数幅值曲线延长线，与证明9静态加速度误差常数的确定斜率为的起始线段/或其的直线的交702图5-24某2型系统对数幅值曲线斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为在数值上等于的平方根

证明102图5-24某2型系统对数幅值曲线斜率为的起始线段715.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的

115.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线72图5-25极坐标图但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响

采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。12图5-25极坐标图但它不能清楚地表明开环传递函数中每个735.3.1积分与微分因子所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标图是正虚轴。图5-26积分因子极坐标图135.3.1积分与微分因子所以的极坐标图是负虚轴。的极坐标74图5-27微分因子极坐标图14图5-27微分因子极坐标图755.3.2一阶因子

图5-28一阶因子极坐标图155.3.2一阶因子图5-28一阶因子极坐标图76图5-29一阶因子极坐标图16图5-29一阶因子极坐标图775.3.3二阶因子

的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。图5-30二阶因子极坐标图175.3.3二阶因子的高频部分与负实轴相切。极坐78对于欠阻尼时相角的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率这时可以用谐振频率处的向量幅值，与处向量幅值之比来确定。当的峰值18对于欠阻尼时相角的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然79过阻尼情况增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。

当19过阻尼情况增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对802081对于

极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：图5-31二阶因子极坐标图21对于极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：图5-82图5-31二阶因子极坐标图22图5-31二阶因子极坐标图83例5-2考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。解：极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：23例5-2考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐84图5-32极坐标图24图5-32极坐标图855.3.4传递延迟当时，当两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似

时255.3.4传递延迟当时，当两者存在本质的差别低频时传865.3.5极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。1型系统：的相角是极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。在总的相角中项产生的265.3.5极坐标图的一般形状0型系统：极坐标图的起点87在总相角中的相角是由项产生的2型系统：图5-34b高频区域内的极坐标图

如果的分母多项式阶次的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点时，轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当27在总相角中的相角是由项产生的2型系统：图5-34b高频区885.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯图图5-34二阶因子对数幅-相图285.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯895.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)图3-35闭环系统闭环传递函数为为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。

虽然开环传递函数充要条件295.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilit90奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析

奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的

假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。

30奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点915.5.1预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：315.5.1预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不92其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应，则为：这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如32其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平93图5-36s平面上的图形在平面上的变换上半s平面内的直线和在平面上的变换33图5-36s平面上的图形在平9400当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次3400当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向95ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，的轨迹将不包围原点相应的35ABFEDCA1B1F1E1D1C1当s平面上的图形包围9600如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，封闭曲线既不包围零点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点3600如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围97如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，相应的封闭曲线不包围上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上的原点。37如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2985.5.2影射定理设为两个s的多项式之比，并设P为的极点数，Z为的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在385.5.2影射定理设为两个s的多项式之比，并设P为的极点99若R为正数，表示的零点数超过了极点数；的极点数超过了零点数。很容易确定的P数。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数若R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。

两者的极点数相同39若R为正数，表示的零点数超过了极点数；的极点数超过了零点1005.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴(从到该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成的所有正实部的极点和零点。则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。

如果在右半s平面不存在零点，405.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线101图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围41图5-37s平面内的封闭曲线曲线对原点的包围，恰等于轨102这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数函数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半s平面内的极点数如果函数在右半s平面内无任何极点，则因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。42这一判据可表示为：函数在右半s平面内的零点数对-1+j01035.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为）的半圆运动，再沿着正轴从运动到（435.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况变量沿着轴从104对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：当s平面上的时，的相角44对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运105在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。

45在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两106如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。5.6稳定性分析的Z个零点a)不包围-1+j0如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。点。系统是不稳定的。

c)顺时针包围-1+j0b)反时针包围-1+j046如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含和P个极点，并且当s变量107例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。47例5-3设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41108图5-41例5-3中的极坐标图

48图5-41例5-3中的极坐标图109例5-4设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增