管理统计学 焦建玲 第06章 假设检验

第六章假设检验第六章假设检验6.1假设检验的原理引例

某公司进口一批钢筋，根据要求，钢筋的平均拉力强度不能低于2000克，而供货商强调其产品的平均拉力强度已达到了这一要求，这时需要进口商对供货商的说法是否真实作出判断。进口商可以先假设该批钢筋的平均拉力强度不低于2000克，然后用样本的平均拉力强度检验假设是否正确。这是一个关于总体均值的假设检验问题。第六章假设检验6.1假设检验的原理6.1.1假设检验的基本原理假设检验也称为显著性检验，是事先作出一个关于总体参数的假设，然后利用样本判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，进而决定接受或否定原假设的统计推断方法。依据：概率论中的“在一次试验中小概率事件几乎不发生”的原理第六章假设检验6.1假设检验的原理【例6-1】某保险公司新开发了一种人寿保险。主管经理认为该产品投保人的平均年龄可能与过去资料显示的平均投保年龄35岁存在很大差异。研究人员从2010年参保的人群中随机抽取40人，调查得到他们的年龄数据如下：33283226373527393330352939342737343631292926192136384239363827222934362039372239请问调查结果能否支持主管经理的判断？第六章假设检验6.1假设检验的原理6.1.2假设检验的步骤step1：根据问题要求提出原假设和备择假设；step2：确定恰当的检验统计量及相应的抽样分布；step3：选取显著性水平，确定原假设的拒绝域与接受域；step4：计算检验统计量的值；step5：作出统计决策。第六章假设检验6.1假设检验的原理6.1.2假设检验的步骤（一）提出原假设和备择假设

假设检验的基本形式假设研究的问题（总体均值检验）双侧检验左侧检验右侧检验H0

H1

第六章假设检验6.1假设检验的原理6.1.2假设检验的步骤（二）确定恰当的检验统计量选择统计量，需要考虑的因素有：总体方差已知还是未知，用于检验的样本是大样本还是小样本等。在引例中，由于n=40是大样本，所以样本均值近似服从正态分布，以样本标准差代替总体标准差，所用的统计量，在为真时，近似服从分布。第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.2假设检验的步骤（三）选取显著性水平，确定原假设的拒绝域和接受域显著性水平表示原假设为真时拒绝原假设的最大概率，即拒绝原假设所冒的风险，用表示。通常取或第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.2假设检验的步骤（三）选取显著性水平，确定原假设的拒绝域和接受域

第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.2假设检验的步骤（四）计算检验统计量的值在【例6-1】中，检验统计量的值为

式中，为样本均值，为被假设的参数值；s为样本标准差，n为样本容量。第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.2假设检验的步骤（五）作出统计决策根据样本信息计算出统计量Z的具体值，再回到步骤3判断统计量的值落在什么区间。显然-3.184<-1.96，落在拒绝域内，所以可以作出决策：拒绝原假设。即得出结论：在=0.05的显著性水平下，抽样结果的平均年龄显著低于主管经理的估计值，有理由认为经理的估计不准确。第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.3假设检验中的两类错误

表6-2假设检验中的四种可能结果及概率

情况不拒绝拒绝

为真1-（正确判断）

（弃真错误）

不为真

（取伪错误）1-（正确判断）第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.4假设检验中的P值P值（Pvalue）是指在原假设为真时，样本统计量落在其观测值以外的概率，即在实际原假设为真的情况下，拒绝犯错误的概率，也称为观测到的显著性水平或相关概率值。P值是反映实际观测到的数据与原假设之间不一致程度的一个概率值。P值越小，说明实际观测到的数据与之间不一致的程度越大，检验的结果就越显著。第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.4假设检验中的P值对于假设检验的三种基本形式，P值的一般表达式如下：（1）双侧检验：P值是当时，检验统计量的绝对值大于或等于根据实际观测样本数据计算得到的统计量观测值绝对值的概率，即P值=第六章假设检验6.1假设检验的原理

6.1.4假设检验中的P值（2）左侧检验：P值=（3）右侧检验：P值=第六章假设检验6.2总体均值的假设检验设总体，是样本的观测值。下面讨论总体方差已知和未知时，关于均值的假设检验方法。6.2.1已知时总体均值的假设检验【例6-4】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，以前加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为mm，总体标准差为=0.025mm。今换一种新机床进行加工，抽取n=200个零件进行检验，得到的椭圆度均值为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度均值与以前有无显著差异？（＝0.05）第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.1已知时总体均值的假设检验解：（1）提出假设：假定椭圆度与以前无显著差异（2）由于是大样本，且总体方差已知，故选用Z统计量；（3）显著性水平＝0.05，由双侧检验，查表可得临界值，因此拒绝域为，即判断规则为：若统计量Z值>1.96或者Z值<-1.96，则拒绝；否则不能拒绝。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.1已知时总体均值的假设检验（4）计算检验统计量的值：（5）检验判断：由于Z=-2.828<-1.96，落在拒绝域，故拒绝原假设结论：以5%的显著性水平可以认为使用新机床后，加工零件的椭圆度均值与以前有显著差异。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验【例6-5】某批发商欲从生产厂家购进一批灯泡，根据合同规定，灯泡的使用寿命平均不能低于1000小时。已知灯泡使用寿命服从正态分布，标准差为20小时。在总体中随机抽取100只灯泡，测得样本均值为996小时。批发商是否应该购买这批灯泡？(＝0.05)第六章假设检验6.2总体均值的假设检验解：（1）提出假设：（2）由于是大样本，且总体方差已知，故选用Z统计量；（3）由原假设和备择假设的形式知道，本问题属于左侧检验，所以临界值为－1.645，拒绝域为（－∞,－1.645）。（4）计算检验统计量的值：（5）检验判断：由于Z=-2<-1.645，落在拒绝域，故拒绝原假设结论：以5%的显著性水平可以认为：批发商不应该购买此批灯泡。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.2未知时大样本情况下总体均值的假设检验【例6-6】某乳品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量为495克，但是在生产过程中不可避免地出现超重或者重量不足的现象。为了控制产品合格率，随机抽取100盒鲜奶进行检查，测得产品的平均重量为494克，标准差为6克，试以5%的显著性水平判断这批产品是否合格。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.2未知时大样本情况下总体均值的假设检验解：（1）提出假设：（2）总体标准差未知，但是由于是大样本抽样，故仍选用Z统计量；（3）显著性水平＝0.05，由双侧检验查表可得到临界值；即拒绝域为（-∞,1.96）∪(1.96,+∞)（4）计算检验统计量的值：（5）检验判断，由于，落在接受域，故不能拒绝原假设，即不能说明这批产品不符合标准。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.3未知时小样本情况下总体均值的假设检验设总体服从正态分布，在小样本抽样情况下，利用t检验法对总体均值的检验，其检验统计量及分布为：第六章假设检验6.2总体均值的假设检验6.2.3未知时小样本情况下总体均值的假设检验（1）双侧检验，临界值为，当时，拒绝原假设；否则不能拒绝原假设。（2）左侧检验，临界值为，当时，拒绝原假设；否则不能拒绝原假设。（3）右侧检验，临界值为，当时，拒绝原假设；否则不能拒绝原假设。第六章假设检验6.2总体均值的假设检验【例6-7】某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重量服从正态分布，每包标准重量为1000克。某日随机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准差为24克。试问在0.05的显著性水平上，能否认为这天自动包装机工作正常？第六章假设检验6.2总体均值的假设检验解：根据前面的分析，本例为双侧检验问题。（1）提出假设，（2）总体方差未知，且是小样本，故构建统计量，在H0为真的情况下，应服从自由度为8的t分布（3）显著性水平＝0.05，由双侧检验查表可得到临界值，因此拒绝域为第六章假设检验6.2总体均值的假设检验（4）计算检验统计量的值（5）检验判断，由于-1.75在两个临界值之间，落在了接受域，所以不能拒绝原假设，即不能说明包装机工作异常。第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.1已知，或大样本情况两个总体均服从正态分布、两个总体的方差已知；或两个总体分布及方差未知，但大样本情况下，样本均值之差的抽样分布服从或近似服从正态分布，即可采用检验统计量：（6-7）

式中为总体1的均值，为总体2的均值。第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.1已知，或大样本情况【例6-12】某大型食品零售公司正考虑在全国超级市场安装新型电子结算系统。有两种不同的结算系统，公司决定按照加速顾客通过量的方式对两种系统哪个更好进行检验，安装两种系统并记录每种系统的抽样信息如下：

系统A系统Bn1=120n2=100

分钟分钟S1=2.2分钟S2=1.5分钟第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.1已知，或大样本情况解：建立假设：检验的显著性水平：，检验统计量临界值；实际的Z值

>1.96，落在拒绝域，因此认为两种系统在5%的显著性水平下明显不同。

第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.2未知，且小样本情况(一)未知但相等检验统计量为（6-8）式中，t的自由度为，

第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.2未知，且小样本情况（二）未知且不等当未知且不等时，抽样分布近似服从自由度为V的t分布，V的计算公式为（6-9）

（6-10）其中，t的自由度为V。

第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.3

配对样本在对比工人经过技术培训前后的工效、患者服用某种药物前后的疗效时，需要采用存在相依关系的配对样本分析检验的方法是：首先求出每对观察值的差值，以及差值的均值和标准差，其中

第六章假设检验6.3两个总体均值差的假设检验6.3.3

配对样本假设服从正态分布，当总体标准差未知且小样本时，可以用自由度为n-1的t分布检验总体均值差的原假设。检验统计量为（6-11）第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.1单一总体比例的假设检验由比例的抽样分布定理可知，大样本情况下，样本比例近似服从正态分布。因此，对总体比例的检验通常是在大样本条件下进行的，根据正态分布近似计算临界值，其检验方法和步骤与均值检验相同，只是检验统计量不同。第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.1单一总体比例的假设检验待检验的假设如下：双侧检验：左侧检验：右侧检验：检验统计量为：

（6-2）第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.1单一总体比例的假设检验【例6-8】在例6-1中，主管经理估计25~35岁的投保人占总人数的70%。随机抽取40人，调查得知其中25~35岁的投保人占74%。试以5%的显著性水平判断主管经理的估计是否准确。第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.2两个总体比例之差的假设检验设两个总体服从二项分布，大样本条件下，这两个总体中具有某种特征单位数的比例分别为和，但和未知，可以用样本比例和代替。这时，两个样本比例之差近似服从以为数学期望，为方差的正态分布。因此可以选择Z作为检验统计量。（6-3）第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.2两个总体比例之差的假设检验【例6-9】某电子产品厂商对两条流水线上生产的同种产品进行质量检测，检测结果如下。A流水线：抽样检测产品100个，合格92个。B流水线：抽样检测产品80个，合格76个。能否根据上述检测结果，以5%的显著性水平判断流水线B的合格率比流水线A的合格率高？第六章假设检验6.4总体比例的假设检验6.4.2两个总体比例之差的假设检验解：流水线B的合格率没有A的高；流水线B的合格率比A高；由题目知：由式（6-3），统计量显著性水平，由左侧检验，可得临界值。由于，落在接受域，故不能拒绝原假设，即不能认为流水线B的产品合格率高于流水线A。第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.1单一总体方差的假设检验对方差进行检验的程序与均值检验、比例检验是类似的，主要区别在于使用的检验统计量不同。方差检验使用的是统计量。

（6-4）其中为样本方差，为总体方差，n为样本容量，可以证明在总体服从正态分布情况下，上述统计量服从自由度为n-1的分布。第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.1单一总体方差的假设检验【例6-10】仍沿用例6-6，某乳品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量是495克，标准差为1克，从新生产的产品中随机抽取15盒进行检查，测得产品重量误差如下（单位：克）2.5-3.3-3.12.83.6-4.12.23.1-3.02.92.92.83.33.53.1试以5%的显著性水平判断这批产品是否合格。第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.1单一总体方差的假设检验解：本例需要检验方差是否等于1，为双侧检验，拒绝域为

或者建立假设由样本数据可计算得：统计量显著性水平，查分布表，得临界值，；检验统计量=2.925<5.628，落在拒绝域，故拒绝原假设H0，即认为这批产品的重量没有达到标准。第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.2两个总体方差比的假设检验如果接近于1，说明两个未知的总体方差很接近；如果比值远离1，说明未知的总体方差相去甚远。

由抽样分布理论可知，在两个正态总体条件下，两个方差比（6-5）服从F分布，其中第一自由度为，第二自由度为。第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.2两个总体方差比的假设检验在原假设H0：下，检验统计量F为，双侧检验时，拒绝域在F分布的两侧，两个临界值分别为：和。如图6-4所示f(x)拒绝域拒绝域x图6-4两个总体方差比的双侧假设检验的拒绝域第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.2两个总体方差比的假设检验在单侧检验中，一般把较大的样本方差作为分子，此时F>1，拒绝域在右侧，即建立如下的假设：临界点为。通常F分布只给出的值，但可以根据F分布密度函数的形式，导出的值（6-6）第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.2两个总体方差比的假设检验【例6-11】某校抽查了20名学生的管理统计学成绩，其中男生12人，女生8人，他们的分数见表6-3。根据这些数据，以5%的显著性水平检验两个总体的方差是否相等。表6-3男女生管理统计学成绩性别成绩男688084608179765570758892女8078857985929468第六章假设检验6.5总体方差的假设检验6.5.2两个总体方差比的假设检验解：建立假设：由已知数据计算可得：查表得：，0.266<F=1.7237<4.709，检验统计量的值落在两个临界值之间，即落在了接受域，不能否定原假设，也就是说两个总体方差没有显著差异。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.1单一样本t检验单一样本t检验的原假设：假定总体均值和指定检验值之间不存在显著差异。采用t检验方法，计算T检验的统计量计算公式为：其中是样本均值与检验值的差第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.1单一样本t检验【例6-13】某小学随机抽取了20名10岁女生身高如下表所示，全国10岁女孩平均身高为130cm，问这所学校女生平均身高与全国有无差异。表6-4身高数据表126121120125140133140124125138121139139141138137133133130137第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.1单一样本t检验Analyze——CompareMeans——One-SampleTtest第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.1单一样本t检验单击“options”按钮单击“continue”按钮，返回“One-SampleTtest”对话框，单击“OK”按钮，SPSS即完成所需要的处理。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.1单一样本t检验结果展示：NMeanStd.DeviationStd.ErrorMeanfemaleheights20131.95007.260961.62360TestValue=130tdfSig.(2-tailed)MeanDifference95%ConfidenceIntervaloftheDifferenceLowerUpperfemaleheights1.20119.2441.95000-1.44825.3482第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验检验的前提：a.两个样本是相互独立的，两组样本容量可以相等，可以不等b.样本来自两个服从正态分布的总体，两个独立样本t检验的原假设为两个正态总体均值不存在显著差异。具体检验包括：一，利用F检验判断两个总体方差是否相同；二，根据第一步结果，决定t统计量和自由度如何选择，进而对t检验的结论作出判断。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验从两个班各独立随机抽取20名学生，并记录他们的高考数学成绩

表6-5样本高考数学成绩1班126121120125140133140124125138121139139

141138137133133130137

2班123125127130134136140136128137136129132

141129130121132133129

第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验Analyze——CompareMeans——Independent-SampleTTest选择“score”变量，并添加到“TestVariables”框中；选择“Source12”变量，添加到“GroupingVariable”框中。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验单击“DefineGroups”按钮，弹出“DefineGroups”对话框单击“Continue”按钮，返回“Independent-SampleTTest”对话框，单击“OK”按钮，SPSS即完成所要求的统计处理。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验结果展示：表6-6GroupStatisticsSource12NMeanStd.DeviationStd.ErrorMeanscore1.0020131.95007.260961.62360

2.0020131.42505.301431.18544第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.2两个独立样本的t检验结果展示：Levene'sTestforEqualityofVariancest-testforEqualityofMeansFSig.tdfSig.(2-tailed)MeanDifferenceStd.ErrorDifference95%ConfidenceIntervaloftheDifferenceLowerUpperscoreEqualvariancesassumed4.413.042.26138.795.525002.01031-3.544654.59465Equalvariancesnotassumed

.26134.774.796.525002.01031-3.557094.60709第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.3配对样本的t检验

检验前提：a．两个样本是配对的，两个样本数目相同，观察值顺序一一对应b.两个总体服从正态分布。如果伴随概率小于或等于事先给定的显著性水平，则拒绝，认为两总体均值之间存在显著差异；否则，则不拒绝，认为两总体均值之间不存在显著差异。第六章假设检验6.6利用SPSS进行假设检验6.6.3配对样本的t检验

研究一个班的学生在参加暑期数学、物理培训后，他们的