高考数学二轮复习专题3课件

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决胜高考专案突破名师诊断对点集训 决胜高考专案突破名师诊断对点集训

【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考题型2010年2011年2012年小题第4题:考查三角函数的定义,周期性第9题:考查同角三角函数平方关系,

切化弦,二倍角公式.第16题:考查三角形的面积公式,余弦定理,构造直角三角形解三角形.第5题:三角函数的平方关系及二倍角公式.第10题:向量运算与夹角公式第11题:三角函数的周期性、奇偶性

、单调性.第16题:正弦定理的应用.第9题:已知三角函数在给定的区间上递减,求参数的取值范围.第13题:已知两个向量的模及夹角,求另一个向量的模.大题

第17题:用正、余弦定理解三角形. 【考情报告】名师诊断专案突破对点集训决胜高考题型201【考向预测】纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可以看出:三

角函数的试题一般是一小题一大题或三个小题;平面向量的试题一

般是一小题,多以选择题或填空题的形式出现.在解答题中对平面向

量的考查,都不是以独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题

的工具,渗透于解答题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角

函数的解答题一般都为基础题,而三角函数与平面向量的小题一般

都属于中低档题,不会太难.三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征

分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式名师诊断专案突破对点集训决胜高考【考向预测】纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可求值和简单的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线

(垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.预测在2013年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量部分的题为

两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运

用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函数的

图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒

等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需

要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考求值和简单的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线

1.(2012年·江西)若tanθ+ =4,则sin2θ= (

)(A) .

(B) .

(C) .

(D) .【解析】tanθ+ = =4⇒4tanθ=1+tan2θ,∴sin2θ=2sinθcosθ= = = = .【答案】D【知能诊断】名师诊断专案突破对点集训决胜高考1.(2012年·江西)若tanθ+ =4,则sin2θ2.若α,β∈(0,π),cosα=- ,tanβ=- ,则α+2β=

.【解析】∵α,β∈(0,π),cosα=- ,∴tanα=- ∈(- ,0),tanβ=- ∈(- ,0),∴α,β∈( ,π),α+2β∈( ,3π),又tan2β= =- ,∴tan(α+2β)= =-1,∴α+2β= .【答案】 名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.若α,β∈(0,π),cosα=- ,tanβ=- 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2= bc,sinC=2 sinB,则A等于 (

)(A)30°.

(B)60°.

(C)120°.

(D)150°.【解析】由sinC=2 sinB及正弦定理,得c=2 ·b,代入a2-b2= bc,得a2-b2= b·2 b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cosA= = = = ,所以A=30°.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a4.已知关于x的方程: ·x2+ ·2x+ =0(x∈R),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是 (

)(A)点C在线段AB上.(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.(C)点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点.(D)以上情况均有可能.【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由 =- ·x2- ·2x,可得-x2-2x=1,解之得x=-1,即 =- +2 ,化简整理可得: - = - ⇒ = ,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.已知关于x的方程: ·x2+ ·2x+ =0(x∈R),(1)求证:B-C= ;(2)若a= ,求△ABC的面积.【解析】(1)由bsin( +C)-csin( +B)=a,应用正弦定理,得sinBsin( +C)-sinCsin( +B)=sinA,即sinB( sinC+ cosC)-sinC( sinB+ cosB)= ,整理得sinBcosC-cosBsinC=1,即sin(B-C)=1,5.(2012年·江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A= ,bsin( +C)-csin( +B)=a.由于0<B,C< π,从而B-C= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求证:B-C= ;(2)若a= ,求△ABC的面积.【(2)B+C=π-A= ,因此B= ,C= .由a= ,A= ,得b= =2sin ,c= =2sin ,所以△ABC的面积S= bcsinA= sin sin = cos sin = .【诊断参考】1.第1题容易想到是先通过条件tanθ+ =4求出正切值,此时一方面解方程繁琐,另一方面又要讨论函数值的符号,此法不可取,显然必须名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)B+C=π-A= ,因此B= ,C= .由a= ,A=切化弦,因此需利用公式tanθ= 转化;sin2θ+cos2θ在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的.2.第2题最困难的地方在于确定α+2β的范围,一般地,根据已知条件,

把角的范围限制得越精确,结果也越准确.否则角的范围容易被放大,

导致错误.3.第3题中,记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造

成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是

正确的,如果选用正弦定理求角就不合理,一是出现两个角,二是要讨

论舍弃一个角,更容易出错.名师诊断专案突破对点集训决胜高考切化弦,因此需利用公式tanθ= 转化;sin2θ+cos4.第4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,此

题学生最大的思维障碍是向量的三点共线的条件的转化,即由A,B,C

三点共线,O为直线AB外一点,若 =λ +μ ,则λ+μ=1,从而可解决本题.5.第5题是考试说明中“考查考生对数学本质的理解”的典范,很多

考生拿到三角题的定势思维就是看能不能利用条件整体化去凑角,

这样一来出现一些平时成绩好的学生走入死“胡同”,真是“弄巧

成拙”.其实本题的解法就是最简单地把角拆开,整理就可以了.名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.第4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,

【核心知识】一、三角函数及解三角形1.y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小

值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或

对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差

四分之一个周期.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 【核心知识】一、三角函数及解三角形1.y=Asin(ωx由y=Asin(ωx+φ)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin

(ωx+φ)的题型中,有时从寻找“五点”中的第一零点(- ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,

常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化

同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主

要依据,注意其变形:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,cos2α= ,sin2α= .3.正弦定理名师诊断专案突破对点集训决胜高考由y=Asin(ωx+φ)的图象求其函数式:在给出图象要确定已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则 = = =2R(R为三角形外接圆的半径).4.余弦定理已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则a2=b2+c2-2

bccosA,cosA= ,另外两个同样.5.面积公式已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则名师诊断专案突破对点集训决胜高考已知在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则 (1)三角形的面积等于底乘以高的 ;(2)S= absinC= bcsinA= acsinB= (其中R为该三角形外接圆的半径);(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S= (a+b+c)r;(4)若p= ,则三角形的面积S= .6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.二、平面向量1.平面向量的基本概念名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)三角形的面积等于底乘以高的 ;(2)S= absin2.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b=λ·a.

如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1

=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之

积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写

为 = ,即对应坐标的比值相等.3.平面向量基本定理对于任意向量a,若以不共线的向量e1,e2作为基底,则存在唯一的一组

实数对λ,μ,使a=λe1+μe2.名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一4.向量的坐标运算a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).5.数量积(1)已知a,b的夹角为<a,b>=θ(θ∈[0,π]),则它们的数量积为a·b=|a|·|b|

cosθ,其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交

换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2;(3)两非零向量a,b的夹角公式为cosθ= = ;名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.向量的坐标运算a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(4)|a|2=a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(4)|a|2=a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换 

(1)若0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= ,则cos(α+ )等于 (

)(A) .

(B)- .

(C) .

(D)- .【考点突破】名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换 

(1)若(2)(2011年·重庆)已知sinα= +cosα,且α∈(0, ),则 的值为

.【分析】(1)角的变换:α+ =( +α)-( - );(2)先化简,再求解.【解析】(1)∵cos( +α)= ,0<α< ,∴sin( +α)= .又∵cos( - )= ,- <β<0,名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2011年·重庆)已知sinα= +cosα,∴sin( - )= .∴cos(α+ )=cos[( +α)-( - )]=cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - )= × + × = .名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴sin( - )= .∴cos(α+ )=cos[( +α(2)(法一) = = =- (cosα+sinα),∵sinα= +cosα,∴cosα-sinα=- ,两边平方得1-2sinαcosα= ,名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一) = = =- (cosα+sinα)∴2sinαcosα= .∵α∈(0, ),∴cosα+sinα= = = ,∴ =- .(法二)由条件得cosα-sinα=- ,两边平方得1-2sinα·cosα= ,所以sin2α= .所以由α∈(0, ),且cosα<sinα,知α∈( , ),所以2α∈( ,π),所以cos2α=- =- .于是 = =- .名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴2sinαcosα= .∵α∈(0, ),∴cosα【答案】(1)C

(2)- 【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的

变换,把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用已

知的三角函数表示出来,常见的角的变换有: +2α=2( +α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2· , =(α- )-( -β)等.在进行三角函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先

要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1)C

(2)- 【归纳拓展】在进行三角恒变式训练1

(1)已知 = ,则tanα+ 的值为 (

)(A)-8.

(B)8.

(C)- .

(D) .(2)若sinα+2cosα=0,则 的值为 (

)(A)- .

(B) .(C) .

(D)- .【解析】(1) = ,即cosα-sinα= ,即sinαcosα=- ,所以tanα+ = =-8.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练1

(1)已知 = ,则tanα+ 的值为 (2)由已知sinα+2cosα=0得tanα=-2,所以 = = = =- .【答案】(1)A

(2)A名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由已知sinα+2cosα=0得tanα=-2, 如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β的终边分别与单位圆交于A、B两点.(1)如果tanα= ,B点的横坐标为 ,求cos(α+β)的值;(2)若角α+β的终边与单位圆交于C点,设角α、β、α+β的正弦线分别为MA、NB、PC,求证:线段MA、NB、PC能构成一个三角形.【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β的终边分别与单(1)【解析】(1)已知α是锐角,根据三角函数的定义,得sinα= ,cosα= ,又cosβ= ,且β是锐角,所以sinβ= .所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =- .名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)已知α是锐角,根据三角函数的定义,得sinα(2)依题意得MA=sinα,NB=sinβ,PC=sin(α+β),因为α,β∈(0, ),所以cosα∈(0,1),cosβ∈(0,1),于是有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ.①又∵α+β∈(0,π),∴-1<cos(α+β)<1,sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ<sin(α+β)+sinβ.②

同理,sinβ<sin(α+β)+sinα.③1由①②③可得,线段MA、NB、PC能构成一个三角形.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)依题意得MA=sinα,NB=sinβ,PC=si【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解

决例2的关键.近几年的高考试题对三角函数基本关系考查常以选择题、填空题

的形式出现,分值在5分左右.其考查重点是基础知识,考查要点是三

角函数值的计算、三角函数符号的判断、角的象限的判断等.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解

决(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-φ)= ,0<φ< ,求cosφ的值.【解析】(1)∵a与b互相垂直,∴a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ,代

入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=± ,cosθ=± ,又θ∈(0, ),∴sinθ= ,cosθ= .变式训练2已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,

 ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求sinθ和cosθ的值;(2)若sin(θ-φ)(2)∵0<φ< ,0<θ< ,∴- <θ-φ< ,∴cos(θ-φ)= = ,∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)∵0<φ< ,0<θ< ,∴- <θ-φ< ,∴cos热点二:三角函数的图象与性质此类题型在高考中主要以小题形式出现,考查三角公式中的和(差)

角公式、倍角公式的应用,三角函数的单调性、周期性、对称轴、

对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容.考题一般属中低档

题,熟记并灵活运用相关公式和性质是解决此题型的关键.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点二:三角函数的图象与性质此类题型在高考中主要以小题形式出 

(1)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,- <φ< )的图象如图所示,若点A是函数f(x)的图象与x轴的交点,点B、D分别是函数f(x)的

图象的最高点和最低点,点C( ,0)是点B在x轴上的射影,则 · =

.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 

(1)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>(2)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 (

)(A)4.

(B)5.

(C)6.

(D)7.(3)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则ω等于 (

)(A)3.

(B)2.

(C) .

(D) .【分析】(1)f(x)=2sin(ωx+φ)中的各个参数中,ω与T有关,φ与平移或

对称轴等有关.能够由图得出ω与φ,然后利用数量积公式.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个(2)利用零点转化为解方程即可.(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出ω.【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+ ),则得A(- ,0),B( ,2),D( ,-2),∴ · =( ,2)·( ,-4)= -8.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)利用零点转化为解方程即可.(3)能够从已经给出的单调区(2)f(x)=0,则x=0或cosx2=0,x2=kπ+ ,k∈Z,又x∈[0,4],k=0,1,2,3,4,所有共有6个解,选C.(3)函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减,则 = ,即ω= ,答案应选C.(另解一)令ωx∈[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)得函数f(x)在x∈[ - , + ](k∈Z)为增函数,同理可得函数f(x)在x∈[ + , + ](k∈Z)为减函数,则当k=0, = 时符合题意,即ω= ,答案应选C.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)f(x)=0,则x=0或cosx2=0,x2=kπ+(另解二)由题意可知当x= 时,函数f(x)=sinωx(ω>0)取得极大值,则f'( )=0,即ωcos ω=0,即 ω=kπ+ (k∈Z),结合选择项即可得答案应选C.(另解三)由题意可知当x= 时,函数f(x)=sinωx(ω>0)取得最大值,则 ω=2kπ+ (k∈Z),ω=6k+ (k∈Z),结合选择项即可得答案应选C.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(另解二)由题意可知当x= 时,函数f(x)=sinωx(【答案】(1) -8

(2)C

(3)C【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称

中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象

平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的

图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【答案】(1) -8

(2)C

(3)C【归纳拓变式训练3

(1)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函

数”的 (

)(A)充分而不必要条件.(B)必要而不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练3

(1)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则f( )=

.【解析】(1)函数f(x)=cos(x+φ)若为偶函数,则有φ=kπ,k∈Z,所以“φ=

0”是“f(x)=cos(x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,选A.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4×( - )=π,故ω= =2.将点( ,2)代入f(x)的解析式得sin( +φ)=1,又|φ|< ,∴φ= ,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+ ),故f( )=-2.(法二)已知函数最大值为2,最小正周期T=4×( - )=π,而 = + (x= 与x= 相差半个周期),故f( )=-2.【答案】(1)A

(2)-2名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4×( 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π<φ< )的部分图象如图所示.(1)求f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在区间[ ,2π]上的最大值和最小值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π<φ<【分析】先结合图象确定ω和φ,再求最值.【解析】(1)由题意可得 · = -(- ),ω= ,因此f(x)=2sin( x+φ),又f( )=2,即sin( · +φ)=1,而π<φ< ,故φ= ,故f(x)=2sin( x+ ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】先结合图象确定ω和φ,再求最值.【解析】(1)由题意(2)由(1)可知f(x)=2sin( x+ )=-2sin( x+ ),由x∈[ ,2π],则 x+ ∈[ , ],最大值为 ,最小值为-2.【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能

够借助三角函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结

合去解决问题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由(1)可知f(x)=2sin( x+ )=-2sin(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,一般通过以下几个步

骤实现:①根据振幅求出A;②根据图象的最高点、最低点或与x轴的

交点求周期,再求出ω;③根据特殊值求出初相φ,或者利用正弦函数

对称轴与对称中心之间的关系直接求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cosx

的图象?(3)在△ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,若a= ,f(A)=1,求b+c的最大值.【解析】(1)f(x)=cos2x+2 sinxcosx-sin2x= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),最小正周期为T= =π,由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z)可得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z).变式训练4已知函数f(x)=cos2x+2 sinxcosx-sin2x.即函数的单调递增区间为 (k∈Z).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)需要把(2)要得到函数g(x)=cosx的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变

换得到:①把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函

数y=2sin(x+ )的图象;②再把函数y=2sin(x+ )的图象纵坐标缩短为原来的 ,横坐标不变,得到函数y=sin(x+ )的图象;③再把函数y=sin(x+ )的图象向左平移 个单位得到y=g(x)=sin(x+ + )=cosx的图象.(3)由f(A)=1可得2sin(2A+ )=1,即sin(2A+ )= ,又0<A<π,所以A= .由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2-bc,即3=(b+c)2-3bc.又bc≤

( )2,所以3=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3·( )2,故b+c≤2 ,当且仅当 即b=c= 时,b+c取得最大值2 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)要得到函数g(x)=cosx的图象只需把函数y=f(热点三:向量的基本运算、数量积运用坐标对向量的加、减、数乘、数量积进行运算是基本考查内

容.向量的共线问题及垂直问题,求模长及夹角问题是考查重点.解三

角形问题也是考查的重点之一,此题型难度中等,一般是小题.综合解

三角形问题常为解答题. 

(1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 (

)(A) .

(B) .

(C)2 .

(D)10.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点三:向量的基本运算、数量积运用坐标对向量的加、减、数乘、(2)(2011年·湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设 =2 , =3 ,则 · =

.(3)给出下列命题:①已知向量a,b,c均为单位向量,若a+b+c=0,则a·b= ;②△ABC中,必有 + + =0;③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 = ;④已知P为△ABC的外心,若 + + =0,则△ABC为正三角形.其中正确的命题为

.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2011年·湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设 (2)把向量 与 用正三角形ABC的三条边所在的向量表示,再对数量积 · 进行运算.(3)应该掌握向量的基本知识、基本概念.【解析】(1)因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即

a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),|a+b|= ,选B.【分析】(1)能够利用向量平行与垂直进行转化,从而计算出模的大

小.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)把向量 与 用正三角形ABC的三条边所在的向量表示,再(2)由题 = - =  - , = - =  - ,所以 · =(  - )·(  - )=- - +  · =- .(3)命题①错误,a·b=- ;命题②③④都是正确的.【答案】(1)B

(2)- 

(3)②③④名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由题 = - =  - , = - =  - ,所以 (2)能够利用向量垂直条件得到相应的三角函数间关系,借助正余弦

定理进行解题.【归纳拓展】(1)能够掌握向量的基本概念、平面向量线性运算,即

加法、减法运算以及数量积的运算.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)能够利用向量垂直条件得到相应的三角函数间关系,借助正余变式训练5

(1)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量

m=(a,b),n=(b-2,a-2),且m⊥n,c=2,C= ,则△ABC的周长的最小值是

.(2)在△ABC中,AB=2,AC=3, · =1,则BC等于 (

)(A) .(B) .

(C)2 .

(D) .名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练5

(1)已知△ABC的角A,B,C所对的边分(3)(2012年·广东)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α β= .若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈(0, ),且a b和b a都在集合{ |n∈Z}中,则a b等于 (

)(A) .

(B)1.

(C) .

(D) .【解析】(1)由题意可知m·n=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab,由余弦

定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0,

解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+2≥2 +2=6.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(3)(2012年·广东)对任意两个非零的平面向量α和β,定(2)由右图知 · =| || |·cos(π-B)=2×| |×(-cosB)=1.∴cosB= .又由余弦定理知cosB= ,解得BC= .(3)由定义α β= 可得b a= = = ,由于|a|≥|b|>0及θ∈(0, )得0< <1,从而 = ⇒|a|=2|b|·cosθ,a b= = = =2cos2θ.由θ∈(0, )⇒ <cosθ<1⇒ <cos2θ<1⇒1<2cos2θ<2,故答案为C.【答案】(1)6

(2)A

(3)C名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由右图知 · =| || |·cos(π-B)=2×|热点四:三角函数图象的应用考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(值域、单调性、周期性),辅助角公

式asinθ+bcosθ= sin(θ+φ)及三角函数的恒等变形,难度中等. 已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2 cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈( ,1).(1)求函数f(x)的最小正周期;名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点四:三角函数图象的应用考查y=Asin(ωx+φ)的图象(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.【分析】求周期问题同样应该把f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式,然后再

进行解题.【解析】(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+ sin2ωx+λ=2sin(2ωx- )+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数f(x)在sin(2ωπ- )=±1,所以2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即ω= + (k∈Z).又ω∈( ,1),k∈Z,所以k=1,故ω= .所以f(x)的最小正周期是 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考sin(2ωπ- )=±1,所以2ωπ- =kπ+ (k∈Z(2)由y=f(x)的图象过点( ,0),得f( )=0,即λ=-2sin( × - )=-2sin =- ,故f(x)=2sin( x- )- .由0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ ,所以- ≤sin( x- )≤1,得-1- ≤2sin( x- )- ≤2- ,故函数f(x)在[0, ]上的取值范围为[-1- ,2- ].名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由y=f(x)的图象过点( ,0),得f( )=0,即【归纳拓展】解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的

核心,把三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切型

函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的

变式训练6

如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段

MD的中点,S△CDM= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练6

如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)((1)求函数f(x)的解析式;(2)在△CDM中,记∠DMN=α,∠CMN=β,证明:sinC=2cosαsinβ.【解析】(1)由已知点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.S△DMN= S△CDM= = ,T= ,ω=3.∴f(x)=2sin(3x+φ),由M(- ,0),∴sin(- +φ)=0,又∵0<φ< ,∴φ= ,∴f(x)=2sin(3x+ ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△CDM中,记∠DMN(2)在△CDM中,tanα=3tanβ,得sinαcosβ=3cosαsinβ.而sinC= sin∠DMC= sin(α+β)=2cosαsinβ.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)在△CDM中,tanα=3tanβ,得sinαc热点五:三角变换与解三角形三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考

试题中的,一般是先进行三角变换,后解三角形,题型往往是解答题,

难度中等.当然,也经常出现独立的考查三角变换和解三角形的试题. 

(1)在△ABC中,B=60°,AC= ,则AB+2BC的最大值为

.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点五:三角变换与解三角形三角变换与解三角形这两个知识块往往(2)(2012年·四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,

连结EC、ED,则sin∠CED= (

)(A) .

(B) .(C) .

(D) .【分析】(1)先通过解三角形把边的关系转化为三角函数关系,再求

其最值.(2)充分利用图形以及正、余弦定理进行解题.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)(2012年·四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延【解析】(1)A+C=120°⇒C=120°-A,A∈(0,120°), = =2⇒BC=2sinA, = =2⇒AB=2sinC=2sin(120°-A)= cosA+sinA,∴AB+2BC= cosA+5sinA= sin(A+φ)=2 sin(A+φ),故最大值是2 .(2)根据题意可知EC= ,DE= ,DC=1,在三角形CDE中由余弦定理有cos∠CED= = ,所以sin∠CED= = .【答案】(1)2 

(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)A+C=120°⇒C=120°-A,A∈(0,【归纳拓展】(1)求n条边的和的最值问题,一般是要用正弦定理,把

边的关系转化为三角函数的和,再用辅助角公式求出最值;(2)在一个三角形中,已知三条边可求任意角的正弦、余弦、正切值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)求n条边的和的最值问题,一般是要用正弦定理变式训练7

(1)已知等腰三角形的顶角的余弦值为 ,则一个底角的余弦值为

.(2)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,A= ,c= ,则△ABC的面积为 (

)(A) .

(B) .(C) .

(D) .名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练7

(1)已知等腰三角形的顶角的余弦值为 ,则【解析】(1)设顶角为A,底角分别为B、C,则B=C,由条件可知cosA=

 ,cos2B=cos(π-A)=-cosA=- ,即2cos2B-1=- ,由条件cosB>0,故cosB= .(2)由正弦定理可得 = ,故sinC= = ,于是cosC= = ,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ,△ABC的面积为 acsinB= .【答案】(1) 

(2)A名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)设顶角为A,底角分别为B、C,则B=C,由条件 

(1)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知sinC+cosC=1-sin .①求sinC的值;②若a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.(2)(2012年·大纲全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.【分析】(1)由于有 ,要先用二倍角公式化简求值.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关

系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 

(1)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b【解析】(1)①由已知得2sin cos +1-2sin2 =1-sin ,即sin (2cos -2sin +1)=0,由sin ≠0得2cos -2sin +1=0,即sin -cos = ,两边平方得:sinC= .②由sin -cos = >0知sin >cos ,则 < < ,即 <C<π,则由sinC= 得cosC=- ,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8+2 ,所以c= +1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)①由已知得2sin cos +1-2sin2 (2)由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,由已知得sinAsinC= .①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①、②得sin2C= ,于是sinC=- (舍去)或sinC= .又a=2c,所以C= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C)【归纳拓展】(1)已知a,b边的关系结合第①问的结论很容易想到用

余弦定理求c边.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,通过边角的转换,结合了三角

形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的

角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关

系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a=2c,得到两角正弦值的二元

一次方程组,自然很容易得到C角的值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)已知a,b边的关系结合第①问的结论很容易想变式训练8在△ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c.(1)若sin(A+ )=2cosA,求A的值;(2)若cosA= ,b=3c,求sinC的值.【解析】(1)∵sin(A+ )=2cosA,∴sinA= cosA,cosA≠0,tanA= ,又0<A<π,∴A= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练8在△ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c(2)在三角形ABC中,∵cosA= ,b=3c,∴a2=b2+c2-2bccosA=8c2,∴a=2 c,由正弦定理得: = ,而sinA= = ,∴sinC= .(也能根据余弦定理得到cosC= ,0<C<π⇒sinC= )名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)在三角形ABC中,∵cosA= ,b=3c,∴a2=热点6:向量的应用向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平行与垂直)、求最值

、求值等问题上.常用的解题知识有:向量共线的充要条件、向量垂

直的充要条件、平面向量的基本定理以及向量数量积的运算公式等. 

(1)已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 =λ , =(1-λ) ,λ∈R,若 · =- ,则λ等于 (

)(A) .

(B) .(C) .

(D) .名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点6:向量的应用向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平(2)若|a|= ,|b|=1,且(a-2b)⊥(2a+b),则a与b的夹角余弦是 (

)(A) .

(B) .

(C)- .

(D)- .【分析】(1)向量的计算“基底”是相当重要的,如果随心所欲地计

算则是无济于事的,本题把 = + =-b+(1-λ)c, = + =-c+λb用b,c表示出来是关键.(2)利用向量的夹角公式cos<a,b>= 即可.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)若|a|= ,|b|=1,且(a-2b)⊥(2a+b)【解析】(1)如图,设 =b, =c,则|b|=|c|=2,b·c=2,又 = + =-b+(1-λ)c, = + =-c+λb,由 · =- 得[-b+(1-λ)c]·(-c+λb)=(λ-1)|c|2-λ|b|2+(λ-λ2+1)·b·c=- ,即4(λ-1)-4λ+2(λ-λ2+1)=- ,整理得4λ2-4λ+1=0,即(2λ-1)2=0,解得λ= ,选A.(2)由(a-2b)⊥(2a+b)得(a-2b)·(2a+b)=0,∴3a·b=2a2-2b2=2,即a·b= ,∴cos<a,b>= = .【答案】(1)A

(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)如图,设 =b, =c,则|b|=|c|=2,【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减

法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合

运用.(2)考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.首先利用向

量垂直的充要条件,求出a·b,再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦

值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加变式训练9

(1)在平行四边形ABCD中,∠A= ,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 · 的取值范围是

.(2)已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0.若对每一个确定

的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是 (

)(A) .

(B) .

(C) .

(D)1.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练9

(1)在平行四边形ABCD中,∠A= ,边【解析】(1)(法一)设 = =λ(0≤λ≤1),则 =λ =λ , =(1-λ) =(1-λ) ,则 · =( + )( + )=( +λ )[ +(1-λ) ]= · +(1-λ) +λ +λ(1-λ) · ,名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)(法一)设 = =λ(0≤λ≤1),则 =λ 又∵ · =2×1×cos =1, =4, =1,∴ · =-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6.∵0≤λ≤1,∴2≤ · ≤5,即 · 的取值范围是[2,5].(法二)以向量 所在直线为x轴,以与 垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为AB=2,AD=1,所以A(0,0),B(2,0),C( , ),D( , ).设N(x, )( ≤x≤ ),则BM= CN,CN= -x,BM= - x,M(2+ - ,( - x)sin ).名师诊断专案突破对点集训决胜高考又∵ · =2×1×cos =1, =4, =1,∴ · =根据题意,有 =(x, ), =( - , ).所以 · =x( - )+ · ( ≤x≤ ),所以2≤ · ≤5.(2)把三个向量的起点放在同一点O,如图所示,根据几何意义,由|a-b|

=|b|,得△OAB是等腰三角形,当(a-c)·(b-c)=0时,(a-c)⊥(b-c),故点C在

以AB为直径的圆上,|c|的最大值m和最小值n的差就是这个圆的直径,

只有当B,E重合时这个直径最短,即m-n的最小值是 .【答案】(1)[2,5]

(2)B名师诊断专案突破对点集训决胜高考根据题意,有 =(x, ), =( - , ).所以 · = △ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin2C+ cos(A+B)=0.(1)a=4,c= ,求△ABC的面积;(2)若A= ,cosB>cosC,求 · -2 · -3 · 的值.【分析】因为cos(A+B)=-cosC,所以先统一角度,再求解.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 △ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有si【解析】(1)sin2C+ cos(A+B)=0⇒2sinCcosC- cosC=0⇒cosC(2sinC- )=0,所以cosC=0或sinC= ,所以C= 或C= 或C= π.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)sin2C+ cos(A+B)=0⇒2sin因为a=4>c= ,所以C= ,由余弦定理得13=16+b2-4b,解得b=3或b=1,所以S= ×1×4×sin = 或S= ×3×4×sin =3 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考因为a=4>c= ,所以C= ,由余弦定理得13=16+b2(2)因为A= ,cosB>cosC,所以B<C,所以C= ,则B= . · -2 · -3 · =-| |·| |cosB+2| |·| |cosC+3| |·| |cosA=- | |·| |+ | |·| |=(- | |+ | |)| |=0.名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)因为A= ,cosB>cosC,所以B<C,所以C【归纳拓展】对于向量数量积的运算,本题只要掌握基本概念就可

以迎刃而解,做题时,要切实注意条件的运用.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】对于向量数量积的运算,本题只要掌握基本概念就可

变式训练10已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|= .(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α< ,- <β<0,且sinβ=- ,求sinα.【解析】(1)因为|a-b|= ,所以|a-b|2= ,则a2-2a·b+b2= ,又|a|=|b|=1,整理得:cos(α-β)=a·b= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练10已知向量a=(cosα,sinα),b=(2)因为0<α< ,- <β<0,sinβ=- ,所以0<α-β<π,cosβ= ,又因为cos(α-β)= >0,所以0<α-β< ,sin(α-β)= ,sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)·sinβ= × + ×(- )= .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)因为0<α< ,- <β<0,sinβ=- ,所热点7:应用题三角知识的应用,常在测量方面命题.题目难度有时还较大,多以大题

出现,解决此类问题应该先认真审题,将实际中的问题转化成为数学

模型而后解之.名师诊断专案突破对点集训决胜高考热点7:应用题三角知识的应用,常在测量方面命题.题目难度有时 

2012年5月中下旬,强飓风袭击某地,给南部与中西部造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,救援队随时待命进

行救援.某天,信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80海里的B处

有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南

偏西30°、相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东θ角的方

向沿直线CB前往B处救援.(1)若救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置

的时间( ≈2.646,结果保留两位小数);(2)求tanθ的值.名师诊断专案突破对点集训决胜高考 

2012年5月中下旬【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找

出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利

用正弦定理求出sin∠ACB,再利用同角基本关系求出tan∠ACB,再利

用两角和的正切公式即可得出结果.【解析】(1)在图中的△ABC中,AB=80,AC=40,∠BAC=120°,由余弦

定理可知:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°,即BC2=802+402-2·80·40·(- )=11200,故BC=40 ,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40 ÷60= ≈1.76小时.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找

(2)在△ABC中,由正弦定理可得 = ⇒sin∠ACB= sin∠BAC= ,显然∠ACB为锐角,故cos∠ACB= ,tan∠ACB= ,而θ=∠ACB+30°,故tanθ=tan(∠ACB+30°)= = .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)在△ABC中,由正弦定理可得 = ⇒sin∠ACB= 【归纳拓展】本题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定

理与余弦定理的应用、三角公式的应用及分析问题、解决问题的

能力.把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图

中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正

弦定理求出sin∠ACB,再利用同角基本关系求出tan∠ACB,再利用两

角和的正切公式即可得出结果.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【归纳拓展】本题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定

变式训练11如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧

和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2,点P在圆Q上,现要

在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.名师诊断专案突破对点集训决胜高考变式训练11如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧【解析】(1)过S作SH⊥RT于H,S△RST= SH·RT.由题意,△RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;RT左边的

部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有RT≤4,SH≤2,当且仅当RT

切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.此时,场地面积的最大值为S△RST= ×4×2=4.名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】(1)过S作SH⊥RT于H,S△RST= SH·RT(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,且AD左边的部分是一个大小

不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=θ,则有S四边形ABCD= ×2×2×sinθ×2+ ×2×2×sin(π-2θ)=4(sinθ+sinθcosθ)(0<θ< ).令y=sinθ+sinθcosθ,则y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ(-sinθ)=2cos2θ+cosθ

-1.若y'=0,cosθ= ,θ= ,又θ∈(0, )时,y'>0,θ∈( , )时,y'<0,函数y=sinθ+sinθcosθ在θ= 处取到极大值也是最大值,故θ= 时,场地面积取得最大值为3 .名师诊断专案突破对点集训决胜高考(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,且AD左边的部分是

限时训练卷(一)一、选择题1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC= ,则sin∠ABD等于 (

)(A) .

(B) .

(C) .

(D) .名师诊断专案突破对点集训决胜高考 限时训练卷(一)一、选择题1.在△ABC中,BD为∠AB【解析】由余弦定理,得cos∠ABC= = ,则∠ABC=60°,从而∠ABD=30°,sin∠ABD= ,故选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】由余弦定理,得cos∠ABC= = ,则∠ABC=62.f(x)=cos(ωx+ )(ω>0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π,要得到y=f(x)的图象,只须把y=sinωx的图象 (

)(A)向左平移 π个单位.(B)向右平移 π个单位.(C)向左平移 π个单位.(D)向右平移 π个单位.【解析】由已知可得ω=2,因此把y=sin2x的图象向左平移 个单位,可得到y=cos2x的图象,再把y=cos2x的图象向左平移 个单位,即可得到y=cos(2x+ )的图象,共向左平移 个单位.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.f(x)=cos(ωx+ )(ω>0)的图象与y=1的图3. 等于 (

)(A)± .

(B) .

(C)- .

(D) .【解析】 =|cos120°|=|- |= .∴选D.【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考3. 等于 (

)(A)± .

(B) .4.设函数f(x)=cos(2x-π),x∈R,则f(x)是 (

)(A)最小正周期为π的奇函数.(B)最小正周期为π的偶函数.(C)最小正周期为 的奇函数.(D)最小正周期为 的偶函数.【解析】f(x)=cos(2x-π)=-cos2x,可知答案选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考4.设函数f(x)=cos(2x-π),x∈R,则f(x)是5.已知sin( +α)= ,则cos(π+2α)的值为 (

)(A)- .

(B) .

(C) .

(D)- .【解析】由sin( +α)= 得cosα= ,cos(π+2α)=-cos2α=-(2cos2α-1)= ,选B.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考5.已知sin( +α)= ,则cos(π+2α)的值为 (6.设a,b是两个非零向量.则 (

)(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b.(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|.(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa.(D)若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|.【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,

即存在实数λ,使得b=λa.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线

向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实

数λ,使得b=λa,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考6.设a,b是两个非零向量.则 (

)(A)若|a+7.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸

边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就

可以计算出A、B两点的距离为 (

)(A)50 m.

(B)50 m.(C)25 m.

(D) m.【解析】由正弦定理得 = ,∴AB= = =50 ,选A.【答案】A名师诊断专案突破对点集训决胜高考7.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在8.设ω>0,函数y=sin(ωx+φ)(-π<φ<π)的图象向左平移 个单位后,得到右边的图象,则ω,φ的值为 (

)(A)ω=1,φ= .

(B)ω=2,φ= .(C)ω=1,φ=- .

(D)ω=2,φ=- .【解析】由图象可得y=sin(2x- +kπ),向右平移 个单位为y=sin(2x- +kπ),由-π<φ<π,知k=2,所以φ= ,与y=sin(ωx+φ)对照可得ω=2.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考8.设ω>0,函数y=sin(ωx+φ)(-π<φ<π)的图9.已知平面内的向量 , 满足:| |=2,P(x,y),且 =λ1 +λ2 , ⊥ ,( + )·( - )=0,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,则满足条件的点P所表示的图形面积是 (

)(A)8.

(B)4.

(C)2.

(D)1.【解析】如图,以O为原点, 所在直线为x轴, 所在直线为y轴,建立名师诊断专案突破对点集训决胜高考9.已知平面内的向量 , 满足:| |=2,P(x,y),且平面直角坐标系,因为( + )·( - )=0,即 = ,也就是| |=| |=2,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),则由 =λ1 +λ2 得(x,y)=λ1(2,0)+λ2(0,2)=(2λ1,2λ2),∴ ∵ ∴ 故点P的集合为{(x,y)|0≤x≤2,2≤y≤4},表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以面积为2×2=4.【答案】B名师诊断专案突破对点集训决胜高考平面直角坐标系,因为( + )·( - )=0,即 = ,也10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< )的图象如图所示,则f(x)的表达式是f(x)=

.【解析】由图知,周期T=2( - )=π,所以ω=2.又 =1,所以k=1.因为 -1= ,则A= .由f( )= ,得φ= ,故f(x)= sin(2x+ )+1.【答案】 sin(2x+ )+1二、填空题名师诊断专案突破对点集训决胜高考10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>011.设α为锐角,若cos(α+ )= ,则sin(2α+ )的值为

.【解析】∵α为锐角,即0<α< ,∴ <α+ < + = .∵cos(α+ )= ,∴sin(α+ )= .∴sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )=2× × = .∴cos(2α+ )= .∴sin(2α+ )=sin(2α+ - )=sin(2α+ )cos -cos(2α+ )sin = × - × = .【答案】 名师诊断专案突破对点集训决胜高考11.设α为锐角,若cos(α+ )= ,则sin(2α+ 12.若平面向量a,b满足:|2a-b|≤3,则a·b的最小值是

.【解析】|2a-b|≤3⇔4a2+b2≤9+4a·b,4a2+b2≥4|a||b|≥-4a·b⇒9+4a·b≥-4a·b⇔a·b≥- .【答案】- 名师诊断专案突破对点集训决胜高考12.若平面向量a,b满足:|2a-b|≤3,则a·b的最小(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;(2)若f(x)=2f'(x),求 的值.【解析】(1)∵f(x)=sinx+cosx,∴f'(x)=cosx-sinx,∴F(x)=f(x)f'(x)+[f(x)]2=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+ sin(2x+ ),13.已知a=(sinx,1),b=(1,cosx),且函数f(x)=a·b,f'(x)是f(x)的导函数.三、解答题名师诊断专案突破对点集训决胜高考(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+[f(x)]2的最∴当2x+ =2kπ+ ⇒x=kπ+ (k∈Z)时,F(x)max=1+ ,最小正周期为T= =π.(2)∵f(x)=2f'(x),∴sinx+cosx=2cosx-2sinx,∴cosx=3sinx,即tanx= ,∴ = = = = .名师诊断专案突破对点集训决胜高考∴当2x+ =2kπ+ ⇒x=kπ+ (k∈Z)时,F(x)限时训练卷(二)一、选择题1.(2012·福建六校联考)已知- <θ< ,且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则关于tanθ的值,在以下四个答案中,可能正确的是 (

)(A)-3.

(B)3或 .(C)- .

(D)-3或- .名师诊断专案突破对点集训决胜高考限时训练卷(二)一、选择题1.(2012·福建六校联考)已知【解析】因为sinθ+cosθ=a,a∈(0,1),平方可得sinθcosθ= <0,故- <θ<0且cosθ>-sinθ.∴|cosθ|>|sinθ|,借助三角函数线可知- <θ<0,-1<tanθ<0,满足题意的值为- .【答案】C名师诊断专案突破对点集训决胜高考【解析】因为sinθ+cosθ=a,a∈(0,1),平方2.(2012·泰安期末)已知tanα=2,则 等于 (

)(A) .

(B)- .

(C) .

(D) .【解析】∵tanα=2,∴ = = tanα+ =3+ = .【答案】D名师诊断专案突破对点集训决胜高考2.(2012·泰安期末)已知tanα=2,则 等于 (3.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到

的图象所表示的函数为 (

)(A)y=sin(2x- ),x∈R.(B)y=sin( x+ ),x∈R.(C)y=sin(2x+ ),x