等差数列 新高考 数学 一轮复习专项提升 精讲精练

等差数列（精练）（提升版）题组一题组一等差中项1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【解析】，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因为，所以由，可得所以，所以，故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据等差数列公式及性质可得，所以，所以.故选：D4．（2022·江西·南昌十中高三阶段练习（理））已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】D【解析】因为数列为等差数列，故等价于，故可得.又根据等差数列前项和性质.故选：D.4．（2022·河北石家庄·二模）等差数列的前n项和记为，若，则（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．8088【答案】C【解析】由等差数列知，，所以，故选：C5．（2022·河南平顶山）已知为正项等差数列的前n项和，若，则（

）A．22 B．20 C．16 D．11【答案】A【解析】由题意设正项等差数列的首项为，公差为故由得：，即，故，故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足且，则（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.题组二题组二等差数列的前n项和性质1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（

）A．10 B．15 C．20 D．40【答案】C【解析】数列是等差数列，为数列的前项和，根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，记，设，，，，，计算可得到结果为：20.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：B．3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））已知等差数列的前项和为，，则（

）A． B．13 C．-13 D．-18【答案】D【解析】由，可设∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，即a，6a，成等差数列，∴，即∴故选:D.4．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则，，，也成等差数列；又，则数列，，，是以为首项，以为公差的等差数列则，，故选：A．5．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的公差分别为和,即,即①,即②由①②解得故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒8．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．【答案】【解析】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：9．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则______．【答案】60【解析】为等比数列，，，，，也构成等比数列，又，，该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，则，故答案为：6010．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.【答案】4【解析】由等差数列性质可知，又，∴,解得，故答案为：4题组三题组三等差数列的最值1．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】因为等差数列的前项和为，，，所以，所以，，所以，，即等差数列的公差，所以，时，；时，，所以，使得前项和取得最大值时的值为.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C.3．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【解析】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，所以，使得的正整数n的最小值为.故选:D.4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以即因此当或11时，的最小值为.故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是A． B． C． D．【答案】D【解析】因为等差数列中，，，所以公差，，，因为，所以，因为，所以，根据等差数列的性质可知，时，；时，.故使前项和成立的最小正整数是.故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则中最大的项为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，∴，若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．7．（2022·湖南永州·三模）（多选）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（

）A． B．C． D．、均为的最大值【答案】BD【解析】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，故C错误；因为由题意得，，所以，，故D正确；故选：BD8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列是等差数列，且．若是和的等差中项，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或-1（舍），又因为是和的等差中项，所以，则，即．所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：A．9．（2022·广东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，则使时的的最小值为_________.【答案】【解析】当为偶数时，令，，又，即，即为偶数时，使时的的最小值为810；当为奇数时，令，，令，所以（验证符合题意），即为奇数时，使时的的最小值为809；综上可得：的最小值为809，故答案为：809.10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．【答案】10【解析】由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项，故答案为：1011．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.【答案】31【解析】等差数列的前n项和为，，由得：，即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，又，则当时，，而，因此，当时，，所以当满足成立时，n的最小值为31.故答案为：3112．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为_________．【答案】88【解析】由题意，..设.则．因为关于的方程有实数解，故.即，解得或（舍去）.故.此时，满足．即的最小值为88.故答案为：88．题组四题组四等差数列的综合运用1．（2022·广东江门）（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当，或17时，取得最大值 D．【答案】BC【解析】因为，所以两式相减得，当时，适合上式，所以，因为，所以数列是递减数列，由，解得，且所以当或17时，取得最大值，所以，.故选：BC2．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）（多选）设等差数列的公差为，前项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】对于AB，因为，，所以，解得，，所以AB正确，对于C，所以，对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，所以，所以C错误，对于D，令，则，解得，或，因为，所以，所以，所以D错误，故选：AB3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A．数列是等差数列B．数列是递增数列C．，，成等差数列D．，，成等差数列【答案】D【解析】，∴时，时，．时，不满足∴数列不是等差数列；，因此数列不是单调递增数列；，因此，，不成等差数列．．．∴成等差数列．故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（

）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为【答案】ABC【解析】对于C选项，由且，可知，故C正确；对于B选项，由，可得，故B正确；对于D选项，因为，，所以，满足的的最大值为，故D错误；对于A选项，由上述分析可知，当且时，；当且时，，所以，当且时，，当且时，，当且时，.由题意可知单调递减，所以当且时，，由题意可知单调递减，即有，所以，由不等式的性质可得，从而可得，因此，数列的最小项为第项，故A正确.故选：ABC.5．（2022·河北张家口·三模）（多选）已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（

）A．是等差数列 B．是关于n的二次函数C．不可能是等差数列 D．“”是“”的充要条件【答案】AD【解析】由知，，则，所以是等差数列，故A正确；当时，不是n的二次函数，故B不正确；当时，，则，所以是等差数列，故C不正确；当时，，故，，所以“”是“”的充要条件，故D正确.故选：AD.题组五题组五等差数列的实际运用1．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（

）A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸【答案】B【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，由题意得：，则，，则，所以公差为，所以，故选：B2．（2022·江西·模拟预测（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（

）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【解析】因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为．因为，所以．即该数列的项数为58．故选：A3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差的等差数列，而数列的前5项和，由，解得，则，所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.故选：D4．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五向中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，”其大意为“官府陆续派遣1864人修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人”，则派出总人数为708人时，共用时（

）A．7天 B．8天 C．9天 D．10天【答案】B【解析】由题意可知，每天派出的人数构成一个等差数列，其中首项，公差，记数列的前n项和为，则，当时，解得．故选：B．5．（2022·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（

）A．160片 B．170片 C．180片 D．190片【答案】B【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以．故选：B．6．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.今年是辛丑年，也是伟