复变函数试题与答案

..一、填空题〔每小题2分1、复数的指数形式是2、函数=将上的曲线变成<>上的曲线是3.若,则＝4、=5、积分=6、积分7、幂级数的收敛半径R=8、是函数的奇点9、10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换二、单选题〔每小题2分1、设为任意实数,则=〔A无意义B等于1C是复数其实部等于1D是复数其模等于12、下列命题正确的是〔AB零的辐角是零C仅存在一个数z,使得D3、下列命题正确的是〔A函数在平面上处处连续B如果存在,那么在解析C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数4、根式的值之一是〔ABCD5、下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔ABCD6、下列积分之值不等于0的是<>ABCD7、函数在处的泰勒展式为〔A〔<1B〔<1C〔<1D〔<18、幂级数在内的和函数是〔ABCD9、设a,C：=1,则〔A0BiC2ieDicosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是〔ABCD三、判断题〔每小题2分1、〔对任何复数z,成立2、〔若是和的一个奇点,则也是的奇点3、〔方程的根全在圆环内4、〔z=是函数的三阶极点5、〔解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每小题6分1、已知在上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分3、将函数在的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=5、求在指定圆环内的洛朗展式6、求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换,使符合条件,五、证明题〔每小题7分1、设〔1函数在区域内解析〔2在某一点有,〔证明：在内必为常数2、证明方程在单位圆内有个根一填空题〔每小题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分1,2,3<2k+1>,<k=0,>,4<k=0,>5,60,7,8可去,9,10二单选题〔每小题2分,共20分1D2D3A4A5B6B7C三判断题〔每小题2分,共10分12345四计算题〔每小题6分,共36分1解：,分…5分解得:分2解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1分=2i<-2+2>=0分3解：=…4分〔<2…6分4解:被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2i…1分I=…2分=…3分=…5分=…6分5解：…1分=…3分=…6分6解:=L<i>=k分…3分…4分…6分五证明题〔每小题7分,共14分1证明:设在解析由泰勒定理…2分由题设,…4分由唯一性定理…7分2证明：令,分<1及在解析<2上,<5分故在上,由儒歇定理在内…7分一、填空题〔每小题2分1、的指数形式是2、=3、若0<r<1,则积分4、若是的共轭调和函数,那么的共轭调和函数是5、设为函数=的m阶零点,则m=6、设为函数的n阶极点,那么=7、幂级数的收敛半径R=8、是函数的奇点9、方程的根全在圆环内10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换二、单选题〔每小题2分1、若函数在区域D内解析,则函数在区域D内〔A在有限个点可导B存在任意阶导数C在无穷多个点可导D存在有限个点不可导2、使成立的复数是〔A不存在B唯一的C纯虚数D实数3、〔A－sin1Bsin1C－2sin1D2sin14、根式的值之一是〔ABCD5、是的〔A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点6、函数,在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个,则m=<>A1B2C7、下列函数是解析函数的为〔ABCD8、在下列函数中,的是〔ABCD9、设a,C：=1,则〔A0BiC2ieDicosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是〔ABCD三、判断题〔每小题2分1、〔幂级数在<1内一致收敛2、〔z=是函数的可去奇点3、〔在柯西积分公式中,如果,即a在之外,其它条件不变,则积分0,4、〔函数在的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每小题6分1、计算积分,C：1+的直线段2、求函数在所有孤立奇点〔包括处的留数3、将函数在的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域满分14得分4、计算积分,C:,满分14得分5、计算实积分I=6、求将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换使符合条件,五、证明题〔每小题7分1、设函数在区域内解析,证明：函数也在内解析2、证明：在解析,且满足的,〔的函数不存在一填空题〔每小题2分,视答题情况可酌情给1分,共20分1,2<k=0,±…>,30,4,596,7,8本质,9,10二单选题〔每小题2分,共20分1B2D3C4D5A6C三判断题〔每小题2分,共10分12345四计算题〔每小题6分,共36分1解：C的参数方程为：z=i+t,0dz=dt分＝=分2解:为一阶极点分为二阶极点分分分…6分3解：=…2分=…5分〔0<<2…6分4解：在C内有一个二阶极点＝0和一个一阶极点…1分…3分…5分所以原式＝i…6分解：令…1分=…3分被积函数在内的有一个一阶极点…5分I=…6分6解：分所以分于是所求变换分五证明题〔每小题7分,共14分1证明：设f<z>=u〔x,y+iv〔x,y=u〔x,y-iv〔x,y=v〔x,y-iu〔x,y分f〔z在D内解析,四个偏导数为v,v,-u,