轨道微分方程课件

复习:保守力:势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡点复习:保守力:势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡1第二章有心运动和两体问题

§2.1有心力和有心运动§2.2距离平方反比引力作用下的质点运动§2.3圆轨道的稳定性§2.4与距离平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5两体问题*§2.6任意幂有心力问题的计算*§2.7埃农—黑尔斯势问题第二章有心运动和两体问题2有心运动：物体在有心力作用下的运动力的作用线总是通过空间某一固定点或称辏力力指向的固定点称为力心有心运动：物体在有心力作用下的运动力的作用线总是通过空间某一3有心运动是一种常见的运动：天体的运行原子核外电子的运动人造地球卫星的发射和运行……有心运动是一种常见的运动：4两体问题：如行星绕太阳的运动——

是行星在太阳引力作用下的一种运动，而太阳本身并非固定不动（绕银河系中心运动）。

两体问题研究的是两个相互作用的物体组成的体系的运动。两体问题：如行星绕太阳的运动——5§2.1

有心力和有心运动——研究单体绕力心（固定不动）的运动（一）基本特性选力心为坐标原点有心力对力心(坐标原点)的力矩有心力作功P1P2O——与路径无关，有心力为保守力-或：§2.1有心力和有心运动——研究单体绕力心（固定不动）的运6有心运动的基本特性：1.对力心的动量矩守恒2.有心运动是平面运动决定的平面和为同一平面3.机械能守恒动能定理：有心运动的基本特性：1.对力心的动量矩守恒2.有心运动是7（二）运动方程(动力学方程)有心运动为平面运动，宜用平面极坐标（2.4）这个积分实际上是质点角动量守恒定律的极坐标表示式：（二）运动方程(动力学方程)有心运动为平面运动，宜用平面极坐8（2.6）（2.7）（三）轨道微分方程——将上述微分方程消去时间t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）轨道微分方程——将上述微分方程消去9（2.9）（2.6）（2.10）——二阶非线性微分方程比内（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二阶非线性微分方程10§2.2

距离平方反比引力作用下的质点运动——轨道及其特性（一）轨道万有引力，异性电荷间的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距离平方反比引力作用下的质点运动——轨道及其特性（11适当选择极轴方向，使θ0=0（2.15）——典型的圆锥曲线极坐标方程力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点Fe：轨道的偏/离心率p：正焦弦（QQ'）长度的一半适当选择极轴方向，使θ0=0（2.15）——典型的圆锥曲线极12F：焦点之一，坐标原点b：半短轴ES(2)抛物线：与点F、直线l等距离的动点轨迹(3)双曲线：与F、F'距离之差为2a的动点轨迹(1)椭圆：与距离之和为2a的动点轨迹

数学知识：圆锥曲线F：焦点之一，坐标原点b：半短轴ES(2)抛物线：与点F、13

2007年10月24日，嫦娥一号月球探测卫星成功发射升空。2007年10月24日，嫦娥一号月球探测卫星14地月距离38万km。当月球探测卫星在离月球6.6万km之外时，卫星主要受地球引力作用，其轨道为相对于地球的椭圆型轨道；在离月球6.6万km之内以后，卫星主要受月球引力作用，其轨道为相对于月球的双曲线轨道。只要使月球探测卫星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之间），卫星就可以飞向月球，进入月球轨道。地月距离38万km。当月球探测卫星在离月球6.6万k15

1970年4月24日，中国在酒泉卫星发射中心成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，中国航天活动的序幕从此拉开。1970年4月24日，中国在酒泉卫星发射中心16中国已经发射过各种轨道的人造地球卫星，但是发射人造月球卫星尚属首次。从地球到月球不但距离遥远（38万km），而且月球自身还在围绕地球进行公转，平均运动速度1.023km/s。因此，让嫦娥一号卫星与运动着的月球精确交会，并沿着卫星在月球上的工作轨道运行，是一个非常困难的事情。在世界探月历史上，多次发生卫星距离月球很远飞过，与月球“失之交臂”，也曾发生过卫星未能进入环绕月球的轨道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可见，嫦娥一号飞行轨道的设计是整个工程中的一项关键技术。中国已经发射过各种轨道的人造地球卫星，但是发17

当时，中国的航天器已经到达的距地球最远的距离为7万公里，而地月距离为38万公里，而且月球及其与地球和太阳的相对关系非常复杂。所以嫦娥一号卫星与一般的地球卫星有很大不同，在轨道设计、测控、制导导航与控制、热控和数据接收天线研制等方面具有自己的特殊性和关键技术。

当时，中国的航天器已经到达的距地球最远的距离18

2010年10月1日,嫦娥二号发射升空。与嫦娥一号相比，嫦娥二号在外形和重量上并没有太大变化，其最大优点是飞到月球更快了，嫦娥一号环绕地球7天，然后才飞向月球。而嫦娥二号将直接飞到月球，飞行时间约120h。除了“直飞”月球外，嫦娥二号的绕月飞行轨道将由嫦娥一号时的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任务是获得更清晰更详细的月球表面影像数据，因此卫星上搭载的CCD分辨率更高，使拍摄的月球图片分辨率从120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三号探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志着我国继前苏联和美国之后成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家。2010年10月1日,嫦娥二号发射升空。与嫦娥一号19（二）轨道的特性(2.15)——离力心距离最近/远对椭圆轨道，分别称近日点(G)和远日点(G')机械能：因机械能守恒，取近日点进行计算（二）轨道的特性(2.15)——离力心距离最近/远对椭圆轨道20(2.19)讨论：行星的运动，电子绕原子核的运动r有限→椭圆(2.15)质点没有足够的能量达到无穷远处，只能围绕力心在有限范围内运动抛物线的开口恰好可使质点脱离力心束缚双曲线的两条渐近线质点有充分的能量脱离力心的吸引彗星轨道(E≥0)，宇宙飞船(Emin=0)彗星轨道(E＞0时)(2.19)讨论：行星的运动，电子绕原子核的运动r有限→椭圆21椭圆轨道的特性：轨道的半长轴而∴轨道的半长轴由总机械能决定机械能确定后，偏心率由角动量确定轨道越扁椭圆轨道的特性：轨道的半长轴而∴轨道的半长轴由总机械能决22小结:有心运动的基本特性对力心的力矩为零，动量矩守恒有心运动是平面运动，用平面极坐标描述有心力为保守力，机械能守恒有心运动的动力学方程：有心运动的轨道微分方程：平方反比引力作用下质点的运动：椭圆轨道：轨道越扁小结:有心运动的基本特性对力心的力矩为零，动量矩守恒有心运动23例2.1质量为m的人造地球卫星，以圆轨道绕地球转动。为使其轨道半径r1→r2(＞r1)，卫星先沿一与两圆轨道相切的椭圆轨道运动，到达轨道2后再加速进入圆轨道2。求出卫星在两轨道处的速度增加值Δv1和Δv2。引力常数为G，地球质量为m’。忽略空气阻力。椭圆半长轴椭圆轨道A点AB椭圆轨道B点(3)(4)例2.1质量为m的人造地球卫星，以圆轨道绕地球转动。为使24解方程(1)~(4)得：地球卫星轨道运动规律及变轨方法；有心运动机械能守恒；解方程(1)~(4)得：地球卫星轨道运动规律及变轨方法；有心25例2.2彗星的轨道为抛物线，其近日点距离是地球(圆)轨道半径的1/n，求证此彗星在地球轨道内运行的时间为一年的近日点(1)求彗星在地球轨道内运行的时间(2)轨道角动量守恒一年？地球绕太阳运动的轨道周期T例2.2彗星的轨道为抛物线，其近日点距离是地球(圆)轨道半26地球绕太阳转动的角速度为ω，则一年得证(2)地球绕太阳转动的角速度为ω，则一年得证(2)27作业P72(4),5,(8)作业P7228复习:保守力:势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡点复习:保守力:势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡29第二章有心运动和两体问题

§2.1有心力和有心运动§2.2距离平方反比引力作用下的质点运动§2.3圆轨道的稳定性§2.4与距离平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5两体问题*§2.6任意幂有心力问题的计算*§2.7埃农—黑尔斯势问题第二章有心运动和两体问题30有心运动：物体在有心力作用下的运动力的作用线总是通过空间某一固定点或称辏力力指向的固定点称为力心有心运动：物体在有心力作用下的运动力的作用线总是通过空间某一31有心运动是一种常见的运动：天体的运行原子核外电子的运动人造地球卫星的发射和运行……有心运动是一种常见的运动：32两体问题：如行星绕太阳的运动——

是行星在太阳引力作用下的一种运动，而太阳本身并非固定不动（绕银河系中心运动）。

两体问题研究的是两个相互作用的物体组成的体系的运动。两体问题：如行星绕太阳的运动——33§2.1

有心力和有心运动——研究单体绕力心（固定不动）的运动（一）基本特性选力心为坐标原点有心力对力心(坐标原点)的力矩有心力作功P1P2O——与路径无关，有心力为保守力-或：§2.1有心力和有心运动——研究单体绕力心（固定不动）的运34有心运动的基本特性：1.对力心的动量矩守恒2.有心运动是平面运动决定的平面和为同一平面3.机械能守恒动能定理：有心运动的基本特性：1.对力心的动量矩守恒2.有心运动是35（二）运动方程(动力学方程)有心运动为平面运动，宜用平面极坐标（2.4）这个积分实际上是质点角动量守恒定律的极坐标表示式：（二）运动方程(动力学方程)有心运动为平面运动，宜用平面极坐36（2.6）（2.7）（三）轨道微分方程——将上述微分方程消去时间t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）轨道微分方程——将上述微分方程消去37（2.9）（2.6）（2.10）——二阶非线性微分方程比内（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二阶非线性微分方程38§2.2

距离平方反比引力作用下的质点运动——轨道及其特性（一）轨道万有引力，异性电荷间的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距离平方反比引力作用下的质点运动——轨道及其特性（39适当选择极轴方向，使θ0=0（2.15）——典型的圆锥曲线极坐标方程力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点Fe：轨道的偏/离心率p：正焦弦（QQ'）长度的一半适当选择极轴方向，使θ0=0（2.15）——典型的圆锥曲线极40F：焦点之一，坐标原点b：半短轴ES(2)抛物线：与点F、直线l等距离的动点轨迹(3)双曲线：与F、F'距离之差为2a的动点轨迹(1)椭圆：与距离之和为2a的动点轨迹

数学知识：圆锥曲线F：焦点之一，坐标原点b：半短轴ES(2)抛物线：与点F、41

2007年10月24日，嫦娥一号月球探测卫星成功发射升空。2007年10月24日，嫦娥一号月球探测卫星42地月距离38万km。当月球探测卫星在离月球6.6万km之外时，卫星主要受地球引力作用，其轨道为相对于地球的椭圆型轨道；在离月球6.6万km之内以后，卫星主要受月球引力作用，其轨道为相对于月球的双曲线轨道。只要使月球探测卫星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之间），卫星就可以飞向月球，进入月球轨道。地月距离38万km。当月球探测卫星在离月球6.6万k43

1970年4月24日，中国在酒泉卫星发射中心成功发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”，中国航天活动的序幕从此拉开。1970年4月24日，中国在酒泉卫星发射中心44中国已经发射过各种轨道的人造地球卫星，但是发射人造月球卫星尚属首次。从地球到月球不但距离遥远（38万km），而且月球自身还在围绕地球进行公转，平均运动速度1.023km/s。因此，让嫦娥一号卫星与运动着的月球精确交会，并沿着卫星在月球上的工作轨道运行，是一个非常困难的事情。在世界探月历史上，多次发生卫星距离月球很远飞过，与月球“失之交臂”，也曾发生过卫星未能进入环绕月球的轨道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可见，嫦娥一号飞行轨道的设计是整个工程中的一项关键技术。中国已经发射过各种轨道的人造地球卫星，但是发45

当时，中国的航天器已经到达的距地球最远的距离为7万公里，而地月距离为38万公里，而且月球及其与地球和太阳的相对关系非常复杂。所以嫦娥一号卫星与一般的地球卫星有很大不同，在轨道设计、测控、制导导航与控制、热控和数据接收天线研制等方面具有自己的特殊性和关键技术。

当时，中国的航天器已经到达的距地球最远的距离46

2010年10月1日,嫦娥二号发射升空。与嫦娥一号相比，嫦娥二号在外形和重量上并没有太大变化，其最大优点是飞到月球更快了，嫦娥一号环绕地球7天，然后才飞向月球。而嫦娥二号将直接飞到月球，飞行时间约120h。除了“直飞”月球外，嫦娥二号的绕月飞行轨道将由嫦娥一号时的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任务是获得更清晰更详细的月球表面影像数据，因此卫星上搭载的CCD分辨率更高，使拍摄的月球图片分辨率从120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三号探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志着我国继前苏联和美国之后成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家。2010年10月1日,嫦娥二号发射升空。与嫦娥一号47（二）轨道的特性(2.15)——离力心距离最近/远对椭圆轨道，分别称近日点(G)和远日点(G')机械能：因机械能守恒，取近日点进行计算（二）轨道的特性(2.15)——离力心距离最近/远对椭圆轨道48(2.19)讨论：行星的运动，电子绕原子核的运动r有限→椭圆(2.15)质点没有足够的能量达到无穷远处，只能围绕力心在有限范围内运动抛物线的开口恰好可使质点脱离力心束缚双曲线的两条渐近线质点有充分的能量脱离力心的吸引彗星轨道(E≥0)，宇宙飞船(Emin=0)彗星轨道(E＞0时)(2.19)讨论：行星的运动，电子绕原子核的运动r有限→椭圆49椭圆轨道的特性：轨道的半长轴而∴轨道的半长轴由总机械能决