第四章微分方程课件1

第四章微分方程

—积分问题—微分方程问题

推广第四章微分方程—积分问题—微分方程问题推广14.1微分方程的基本概念

微分方程的基本概念引例几何问题物理问题4.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何2案例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.

一、引出微分方程的两个实例案例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:3引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,

以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制4常微分方程偏微分方程定义1含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.定义2方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。(本章内容)二、微分方程的基本概念分类例1如

(一阶)(一阶)(二阶)(一阶)常微分方程偏微分方程定义1含未知函数及其导数的方程叫做5引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:定义3微分方程的解

—不含任意常数的解,初始条件其图形称为积分曲线.引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意6例1.验证函数是微分方程的解,的特解.

解:

这说明是方程的解.

是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件

例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是7内容小结

微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;

阶;通解;特解y=–x

及

y=C

内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解8一、可分离变量微分方程

4.2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程一般形式

解法:（1）分离变量（2）两边积分得

（其中分别是的一个原函数）以上这种求解过程叫做分离变量法。一、可分离变量微分方程4.2可分离变量9例1.求微分方程的通解.解:

分离变量，得两边积分，得得(C为任意常数)故原方程的通解为

注意：这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是该微分方程的解，但不是通解。例1.求微分方程的通解.解:分离变量，得两边积分，得得10一、型方程由初始条件得C=1,求鸭子游动的轨迹方程.若Q(x)0,解特征方程为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者提示:如图所示建立坐标系.—解中所含独立的任意常数的个数与方程2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程解特征方程具有两个不同的实根因此方程的通解为设时刻t鸭子位于点P(x,y),(此式含分离变量时丢失的解y=0)而2不是特征方程的根，从而可设(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；通解例2.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解

y=0)一、型方程例2.求微分11例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得12练习:解:分离变量即(C<0

)练习:解:分离变量即(C<0)13二、齐次微分方程

一般形式

要解该方程，可作变量代换：

即

将代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

求出积分后，再用代替u，便得齐次方程的解．

二、齐次微分方程一般形式要解该方程，可作变量代换：即14例4求微分方程的通解。

令

即

将其代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

代入，便得原方程的通解：

解：原方程可变形为

它是齐次方程。

即

将

例4求微分方程的通解。令即将其15例5求方程的通解。

令即将其代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

解：原方程可变形为

它是齐次方程。

即

将代入得原方程的通解：

例5求方程16从而是的解的充要条件（其中分别是的一个原函数）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，—解中所含独立的任意常数的个数与方程且当y1,y2线性无关时，以及制动后行驶了多少路程.称为一阶线性齐次方程;2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，例1求方程的通解。的方程的一个特点是不显含未知函数y.（非齐次线性微分方程解的结构）由定理已知二阶常系数非齐次线性方程如果此微分方程是可解的，设其通解为(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性设时刻t鸭子位于点P(x,y),可以再求一个与之线性无关的解,例2求微分方程的通解．4.3一阶线性微分方程一般形式:若Q(x)0,

若Q(x)0,

称为一阶线性非齐次方程.称为一阶线性齐次方程;如方程

都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，(1)(3)是非齐次的。从而是174.3一阶线性微分方程1.解齐次方程解法：分离变量两边积分得故通解为下面来研究这类方程的解法：该方程的本质是可分离变量的微分方程。4.3一阶线性微分方程1.解齐次方程解法：分离变量两边18齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换求得齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则19

一阶线性方程解法：方法1用常数变易法.方法2用通解公式(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数设为待定函数即可）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，即可写出非齐次线性方程的通解。一阶线性方程解法：方法1用常数变易法.方法220例1求方程的通解。

分离变量，得

两边积分，得

解法1原方程可变为

即

它是一阶线性非齐次方程,它对应的齐次方程为

即

所以齐次方程的通解为

.(C为任意常数)例1求方程的通解。分离变量，得21

.则设为非齐次方程的解,将其代入方程得于是

即所以原方程的通解为

（为任意常数).将其代入通解公式

解法2原方程中.则设为非齐22例2求方程的通解。解：原方程可化为以为自变量，为因变量的

一阶线性非齐次微分方程先求它对应的齐次方程的通解为

再设为非齐次方程的解，将其带入得于是则

所以原方程的通解为

（C为任意常数）例2求方程的通解。解：原方程可化为23例3.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点为平行直线,游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.

设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.

O,水流速度大小为a,两岸

则则鸭子游速b为且鸭子例3.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=24若存在不全为0的常数可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入原方程并比较同次幂的系数可得也是该微分方程的解，但不是通解。它对应的二阶线性齐次微分方程例3求方程的通解。一阶线性非齐次微分方程定义2方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:解：此方程不显含自变量x,令，则的方程的一个特点是不显含未知函数y.故所求齐次方程的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.—确定通解中任意常数的条件.(C为任意常数)因此方程的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.方程一鸭子从点A游向点求制动后列车的运动规律.由上述讨论，求方程定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(只要求出此初值问题即可)(齐次方程)若存在不全为0的常数定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运254.4可降阶的二阶微分方程一、型方程这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.例1求的通解.解逐次积分得这就是所求的通解．4.4可降阶的二阶微分方程一、26二、不显含未知函数的方程形如的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程若上式可解,设通解为,则有积分便得通解二、不显含未知函数的方程形如的方程的一个特点是不显含未知函数27解令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为解令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为28三、不显含自变量的方程形如的方程的一个特点是不显含自变量x．可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入方程有如果此微分方程是可解的，设其通解为分离变量后再积分，便得方程的通解三、不显含自变量的方程形如的方程的一个特点是不显含自变量x．29解：此方程不显含自变量x,令，则代入原方程得例3求方程的通解。得与由得

得原方程的通解为故由得到的解包含于之中。由

得分离变量并积分，

当取时，解：此方程不显含自变量x,令，则代304.5二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式它对应的二阶线性齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程4.5二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的31定义1:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,

否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关。若存在不全为0的常数4.5.1二阶常系数线性微分方程解的性质定义1:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个32两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关33定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果y1,y2是二阶齐次线性微分方程

的两个解,则它们的线性组合也是方程的解；且当y1,y2线性无关时，为方程的通解，其中C1,C2是任意常数．定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果y134是二阶非齐次方程的一个特解,

Y(x)是相应齐次方程的通解,定理2.（非齐次线性微分方程解的结构）

则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通35一、二阶常系数齐次线性微分方程其中p，q是常数．考虑二阶常系数齐次线性方程由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如的解,将代入方程使得4.5.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法

一、二阶常系数齐次线性微分方程其中p，q是常数．考虑二阶常系36由于成立当且仅当从而是的解的充要条件为r是代数方程的根．方程称为的特征方程，其根称为的特征根．由于37分三种情形来考虑:(1)如果特征方程有两个相异实根r1与r2,

根据定理1，此时方程的通解为这时可得方程的两个线性无关的解分三种情形来考虑:(1)如果特征方程38(2)如果特征方程有重根，这时可得到方程的一个解，可以再求一个与之线性无关的解,因此方程的通解为(2)如果特征方程39(3)如果特征方程有共轭复根则方程有两个线性无关的解为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式将y1与y2分别写成(3)如果特征方程40由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程的解,显然它们是线性无关的.于是方程的通解为由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程41实根特征根通解由上述讨论，求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。以上求解的方法称为特征方程法.实根特征根通解42例1试求方程的通解.解特征方程具有两个不同的实根因此,和构成原方程的基本解组.原方程的通解为例1试求方程43例2求微分方程的通解．它具有共轭复根解特征方程为因此所求方程的通解为例2求微分方程44都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，（非齐次线性微分方程解的结构）两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:中有一个恒为0,则称为的特征方程，其根称为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者可以再求一个与之线性无关的解,(1)(3)是非齐次的。分离变量，得由初始条件得C=1,(2)求非齐次方程的一个特解y*：(C为任意常数)由②得C=1,例3求微分方程(此式含分离变量时丢失的解y=0)提示:如图所示建立坐标系.的特征根．为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式可以再求一个与之线性无关的解,将其代入通解公式例3求微分方程特征根为解原方程的特征方程为则所求方程的通解为满足初始条件的特解.

由得又因为

从而

故所求方程的特解为

由得都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，例3求微454.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程(其中p,q是常数,f(x)是已知的连续)的通解是它的一个特解与它所对应的齐次线性方程的通解之和．而方程的通解问题在上面已经完全解决了.因此,求方程的通解关键是求出它的一个特解y*.4.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程由定理已知二阶46本书只讨论的情形，这里是常数,

是m次多项式。这时方程具有形如的特解，其中是与同次的特定多项式，是特征方程的重根依次取0,1或2.这种求通解的方法称为“特定系数法”．而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者本书只讨论47例4试求方程的通解.解：（1）求方程的通解；因为它的特征方程的根为

故所求齐次方程的通解为因为(2)求非齐次方程的一个特解y*：而2不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比较同次幂的系数可得即例4试求方程48解得故

(3)原方程的通解为

解得故(3)原方程的通解为49例5试求方程的通解.解：（1）求方程的通解；因为它的特征方程的根为

故所求齐次方程的通解为因为(2)求非齐次方程的一个特解y*：而2不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比较同次幂的系数可得即例5试求方程50—不含任意常数的解,待定函数即可）(3)原方程的通解为将y1与y2分别写成也是方程的解,显然它们是线性无关的.解法1原方程可变为代替u，便得齐次方程的解．解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:若存在不全为0的常数为r是代数方程的根．故它们在任何区间I上都线性相关。(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；在(,)上都有可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量故由得到的解设时刻t鸭子位于点P(x,y),(2)求非齐次方程的一个特解y*：代入原方程并比较同次幂的系数可得例2求微分方程的通解．例5求方程的通解。(此式含分离变量时丢失的解y=0)说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才可以再求一个与之线性无关的解,定义2方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式代入原方程并比较同次幂的系数可得(2)求非齐次方程的一个特解y*：从而是的解的充要条件若存在不全为0的常数例2求微分方程的通解．故由得到的解这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.设鸭子(在静水中)的游速大小为b—解中所含独立的任意常数的个数与方程由提示:如图所示建立坐标系.一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程由上述讨论，求方程例4试求方程的通解.解得故

(3)原方程的通解为

—不含任意常数的解,说明:利用这一规律可求出制动后多少51第四章微分方程

—积分问题—微分方程问题

推广第四章微分方程—积分问题—微分方程问题推广524.1微分方程的基本概念

微分方程的基本概念引例几何问题物理问题4.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何53案例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.

一、引出微分方程的两个实例案例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:54引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,

以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制55常微分方程偏微分方程定义1含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.定义2方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。(本章内容)二、微分方程的基本概念分类例1如

(一阶)(一阶)(二阶)(一阶)常微分方程偏微分方程定义1含未知函数及其导数的方程叫做56引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:定义3微分方程的解

—不含任意常数的解,初始条件其图形称为积分曲线.引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意57例1.验证函数是微分方程的解,的特解.

解:

这说明是方程的解.

是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件

例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是58内容小结

微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;

阶;通解;特解y=–x

及

y=C

内容小结微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解59一、可分离变量微分方程

4.2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程一般形式

解法:（1）分离变量（2）两边积分得

（其中分别是的一个原函数）以上这种求解过程叫做分离变量法。一、可分离变量微分方程4.2可分离变量60例1.求微分方程的通解.解:

分离变量，得两边积分，得得(C为任意常数)故原方程的通解为

注意：这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是该微分方程的解，但不是通解。例1.求微分方程的通解.解:分离变量，得两边积分，得得61一、型方程由初始条件得C=1,求鸭子游动的轨迹方程.若Q(x)0,解特征方程为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者提示:如图所示建立坐标系.—解中所含独立的任意常数的个数与方程2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程解特征方程具有两个不同的实根因此方程的通解为设时刻t鸭子位于点P(x,y),(此式含分离变量时丢失的解y=0)而2不是特征方程的根，从而可设(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；通解例2.求微分方程的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解

y=0)一、型方程例2.求微分62例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得63练习:解:分离变量即(C<0

)练习:解:分离变量即(C<0)64二、齐次微分方程

一般形式

要解该方程，可作变量代换：

即

将代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

求出积分后，再用代替u，便得齐次方程的解．

二、齐次微分方程一般形式要解该方程，可作变量代换：即65例4求微分方程的通解。

令

即

将其代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

代入，便得原方程的通解：

解：原方程可变形为

它是齐次方程。

即

将

例4求微分方程的通解。令即将其66例5求方程的通解。

令即将其代入方程，得

分离变量，得

两边积分，得

解：原方程可变形为

它是齐次方程。

即

将代入得原方程的通解：

例5求方程67从而是的解的充要条件（其中分别是的一个原函数）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，—解中所含独立的任意常数的个数与方程且当y1,y2线性无关时，以及制动后行驶了多少路程.称为一阶线性齐次方程;2可分离变量的微分方程

与齐次微分方程说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，例1求方程的通解。的方程的一个特点是不显含未知函数y.（非齐次线性微分方程解的结构）由定理已知二阶常系数非齐次线性方程如果此微分方程是可解的，设其通解为(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性设时刻t鸭子位于点P(x,y),可以再求一个与之线性无关的解,例2求微分方程的通解．4.3一阶线性微分方程一般形式:若Q(x)0,

若Q(x)0,

称为一阶线性非齐次方程.称为一阶线性齐次方程;如方程

都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，(1)(3)是非齐次的。从而是684.3一阶线性微分方程1.解齐次方程解法：分离变量两边积分得故通解为下面来研究这类方程的解法：该方程的本质是可分离变量的微分方程。4.3一阶线性微分方程1.解齐次方程解法：分离变量两边69齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换求得齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则70

一阶线性方程解法：方法1用常数变易法.方法2用通解公式(1)先求出对应的齐次线性方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将齐次方程的通解中的任意常数设为待定函数即可）(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出，即可写出非齐次线性方程的通解。一阶线性方程解法：方法1用常数变易法.方法271例1求方程的通解。

分离变量，得

两边积分，得

解法1原方程可变为

即

它是一阶线性非齐次方程,它对应的齐次方程为

即

所以齐次方程的通解为

.(C为任意常数)例1求方程的通解。分离变量，得72

.则设为非齐次方程的解,将其代入方程得于是

即所以原方程的通解为

（为任意常数).将其代入通解公式

解法2原方程中.则设为非齐73例2求方程的通解。解：原方程可化为以为自变量，为因变量的

一阶线性非齐次微分方程先求它对应的齐次方程的通解为

再设为非齐次方程的解，将其带入得于是则

所以原方程的通解为

（C为任意常数）例2求方程的通解。解：原方程可化为74例3.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点为平行直线,游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.

设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.

O,水流速度大小为a,两岸

则则鸭子游速b为且鸭子例3.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=75若存在不全为0的常数可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入原方程并比较同次幂的系数可得也是该微分方程的解，但不是通解。它对应的二阶线性齐次微分方程例3求方程的通解。一阶线性非齐次微分方程定义2方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:解：此方程不显含自变量x,令，则的方程的一个特点是不显含未知函数y.故所求齐次方程的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.—确定通解中任意常数的条件.(C为任意常数)因此方程的通解为的方程的一个特点是不显含未知函数y.方程一鸭子从点A游向点求制动后列车的运动规律.由上述讨论，求方程定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(只要求出此初值问题即可)(齐次方程)若存在不全为0的常数定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运764.4可降阶的二阶微分方程一、型方程这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解.例1求的通解.解逐次积分得这就是所求的通解．4.4可降阶的二阶微分方程一、77二、不显含未知函数的方程形如的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程若上式可解,设通解为,则有积分便得通解二、不显含未知函数的方程形如的方程的一个特点是不显含未知函数78解令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为解令代入方程并分离变量得积分，得再积分,得所求特解为79三、不显含自变量的方程形如的方程的一个特点是不显含自变量x．可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量代入方程有如果此微分方程是可解的，设其通解为分离变量后再积分，便得方程的通解三、不显含自变量的方程形如的方程的一个特点是不显含自变量x．80解：此方程不显含自变量x,令，则代入原方程得例3求方程的通解。得与由得

得原方程的通解为故由得到的解包含于之中。由

得分离变量并积分，

当取时，解：此方程不显含自变量x,令，则代814.5二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式它对应的二阶线性齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程4.5二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的82定义1:是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关,

否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关。若存在不全为0的常数4.5.1二阶常系数线性微分方程解的性质定义1:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个83两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关84定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果y1,y2是二阶齐次线性微分方程

的两个解,则它们的线性组合也是方程的解；且当y1,y2线性无关时，为方程的通解，其中C1,C2是任意常数．定理1（二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）如果y185是二阶非齐次方程的一个特解,

Y(x)是相应齐次方程的通解,定理2.（非齐次线性微分方程解的结构）

则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通86一、二阶常系数齐次线性微分方程其中p，q是常数．考虑二阶常系数齐次线性方程由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如的解,将代入方程使得4.5.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法

一、二阶常系数齐次线性微分方程其中p，q是常数．考虑二阶常系87由于成立当且仅当从而是的解的充要条件为r是代数方程的根．方程称为的特征方程，其根称为的特征根．由于88分三种情形来考虑:(1)如果特征方程有两个相异实根r1与r2,

根据定理1，此时方程的通解为这时可得方程的两个线性无关的解分三种情形来考虑:(1)如果特征方程89(2)如果特征方程有重根，这时可得到方程的一个解，可以再求一个与之线性无关的解,因此方程的通解为(2)如果特征方程90(3)如果特征方程有共轭复根则方程有两个线性无关的解为了得到实值解,利用欧拉(Euler)公式将y1与y2分别写成(3)如果特征方程91由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程的解,显然它们是线性无关的.于是方程的通解为由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程92实根特征根通解由上述讨论，求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。以上求解的方法称为特征方程法.实根特征根通解93例1试求方程的通解.解特征方程具有两个不同的实根因此,和构成原方程的基本解组.原方程的通解为例1试求方程94例2求微分方程的通解．它具有共轭复根解特征方程为因此所求方程的通解为例2求微分方程95都是一阶线性微分方程，其中(2)是齐次的，（非齐次线性微分方程解的结构）两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:中有一个恒为0,则称为的特征方程，其根称为而k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或者可以再求一个与之线性无关的解,(1)(3)是非齐次的。分离变量，得由初始条件得C=1,(2)求非齐次方程的一个特解y*：(C为任意常数)由②得C=1,例3求微分方程(此式含分离变量时丢失的解y=0)