材料力学-11-材料力学中的能量法课件

第11章

材料力学中的能量法

工程力学第11章材料力学中的能量法工程力学1求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法

平衡方程——静力平衡关系几何方程——变形几何关系物理方程——应力应变关系

利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。

2、能量法第11章

材料力学中的能量法

求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法2能量法有关的几个基本概念

3、功能原理：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E在数值上与外力所作的功W相等。

E＝W1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能

E。第11章

材料力学中的能量法

能量法有关的几个基本概念3、功能原理：忽略缓慢加载过3杆件的弹性应变能§11-1基本概念

杆件的弹性应变能§11-1基本概念41、轴向拉压FFDlDllFF杆件的弹性应变能式中——轴力，

A——横截面面积1、轴向拉压FFDlDllFF杆件的弹性应变能式中5由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345——结构中第i杆的轴力

Li——结构中第i杆的长度，

Ai——第i杆的截面面积式中n——杆系中杆件的总数杆件的弹性应变能由拉压杆件组成的杆系的应变能：F123456取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能qLdxxdx+dxdxFNFN+dFN杆件的弹性应变能取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能受力复杂杆(轴7Me2、扭转jjMeMe杆件的弹性应变能式中Mx——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

Me2、扭转jjMeMe杆件的弹性应变能式中Mx—8其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：积分得圆轴扭转的应变能dMxMx受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)可取微段分析：杆件的弹性应变能

xdxLtAB其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：积分得圆轴扭转的93、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：纯弯曲式中M—梁横截面上的弯矩；I—梁横截面对中性轴的惯性矩杆件的弹性应变能3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：纯弯曲式中M—梁横10横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按微段分析：杆件的弹性应变能横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按114、纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：杆件的弹性应变能4、纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A12整个梁的剪切应变能：式中(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。(1)

k

由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2杆件的弹性应变能整个梁的剪切应变能：式中(b为截面的宽度，S为截面对中性(213F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。细长梁整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：得解：杆件的弹性应变能F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。14例1求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由U=W得5、利用功能原理计算变形杆件的弹性应变能例1求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度15例2试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由U=W得杆件的弹性应变能例2试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.16例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：由U=W得ABFORθ杆件的弹性应变能例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截17例4试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。F30°ACB2m杆件的弹性应变能例4试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的F30°A18解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：杆系的应变能：设节点A的竖直位移为，则由得：杆件的弹性应变能解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：19功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，不能用功能原理求解。杆件的弹性应变能多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，如何求解？功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载20应变能的普遍表达式第11章

材料力学中的能量法

应变能的普遍表达式第11章材料力学中的能量法21应变能的普遍表达式叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形，外力功和应变能是否满足叠加原理呢？应变能的普遍表达式叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形，22qqPP=+AAABBB

Caa叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？qqPP=+AAABBBCaa叠加法可用于多个载荷作用的引23简单模型---悬臂梁简单模型---悬臂梁24简单模型---简支梁BAFCBACACB简单模型---简支梁BAFCBACACB25应变能的普遍表达式梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？梁的转角和挠度是载荷的线性函数外力功和应变能是否载荷的线性函数？应变能的普遍表达式梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？梁的转角261、拉压2、扭转3、梁纯弯曲4、梁纯剪切外力功和应变能与载荷的关系外力功和应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在外力功和应变能计算中不能使用。1、拉压2、扭转3、梁纯弯曲4、梁纯剪切外力功和应变能与载荷27例5：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,..及其相应广义位移,求外力功F1F2F1＋F2叠加原理不适用外力功和应变能计算例5：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,..28Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1Vε1Vε2VεVε1Vε2F1F2F1＋F2叠加原理不适用外力功和应变能计算Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1Vε129应变能的普遍表达式FOB

A基本变形下应变能的一般表达式：式中F——广义力(力或力偶)；

——广义位移(线位移或角位移)且F=C(力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。应变能的普遍表达式FOBA基本变形下应变能的一般表达式：30几个概念相应位移：

载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：

载荷在其相应位移上所作之功。广义力：

力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。广义位移：

线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。应变能的普遍表达式几个概念相应位移：载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。31广义位移Δ1为1点沿力矢方向的线位移（挠度）；广义位移Δ2为2点按力偶转向的角位移（转角）；广义位移Δ3为分布载荷F3作用区段挠曲线覆盖的面积。广义力及其相应的广义位移广义位移Δ1为1点沿力矢方向的线位移（挠度）；广义力及其相应32FFLL+力：F，位移：力：m，位移：mm一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移广义力及其相应的广义位移FFLL+力：F，位移：力：m，位移：mm一对力——33应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)线弹性体的应变能等于每一外力与其相应的广义位移乘积的二分之一的总和。即：应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)线弹性体的应变能等34证明：弹性体在载荷作用下同时发生几种基本变形(即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。因此可假设

按同一比例从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为：材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：式中：01(从0线性增加到1)克拉贝隆原理证明：弹性体在载荷作用下同时发生几种基本35如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：积分得此式称为克拉贝隆原理。克拉贝隆原理如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上36F1F2FiD1D2Di1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；2、Di尽管是Fi

作用点的位移，但它不只是Fi

一个力引起的，而是所有力共同作用下的位移

，即它是i点实际的总位移；所以Clapeyron原理不符合叠加原理。特别注意点：克拉贝隆原理F1F2FiD1D2Di1、Clapeyron原理只适用于线37注意：线弹性体上作用有多个广义力时：

外力功一般不可以用叠加法求解

特殊情况：FFTT

一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移克拉贝隆原理注意：线弹性体上作用有多个广义力时：外力功一般不可38FABllCABllCABllCFMM一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移FABllCABllCABllCFMM一种载荷不在另一种载荷39对于杆件上各段的内力分量不等的情形，需要采用积分计算：截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有组合变形的应变能对于杆件上各段的内力分量不等的情形，需要采用积分计算40解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例6：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变能和外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMA多载荷作用杆件应变能计算解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)多个外力引起的应变41解:(2)计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功FMA多载荷作用杆件应变能计算解:(2)计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功FM42例7图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F和集中力偶m作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：(方向与m一致)F

mL自由端的垂直位移为：梁的应变能多载荷作用杆件应变能计算例7图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F43(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩m，外力所作的功为：梁的总应变能：从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。F

mL多载荷作用杆件应变能计算(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩m，外力所作的44(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入应变能的内力表达式：弯矩方程：F

mL多载荷作用杆件应变能计算(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入45互等定理第11章

材料力学中的能量法

互等定理第11章材料力学中的能量法46互等定理ADF1211211ADF2212221——i代表位置，j代表载荷同一弹性体的两种受力状态互等定理ADF1211211ADF2212221——47功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：ADF222211F1121先加F2，后加F1：ADF222221F1111考察F1,F2

对弹性体的做功互等定理功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：48功互等定理ADF1211211ADF2212221——i代表位置，j代表载荷线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。功的互等定理功互等定理ADF1211211ADF2212221—49关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体；

两组外力之间，功的互等定理也成立；ADFMADFADFFM关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；功互等定理关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体50Clapeyron原理由功的互等定理反证Clapeyon原理ADF1B1F2C2ADF222211F1121考察F1,F2

对弹性体的做功，先加F1，后加F2：Clapeyron原理由功的互等定理反证Clapeyon原理51位移互等定理图c中，当F和M数值相等时，位移互等定理图c中，当F和M数值相等时，52抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC。由功的互等定理抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度解：设第装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求C处的约束力。ABCFal解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。FCABC1alwBwC第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理虚位移原理与内力虚功第11章

材料力学中的能量法

虚位移原理与内力虚功第11章材料力学中的能量法55BOA虚位移实位移O§11－3

虚位移原理与内力虚功1、虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。回顾刚体虚功原理BOA虚位移实位移O§11－3虚位移原理与内力虚功1562、虚位移原理

虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。虚功：力在虚位移中作的功几何法解析法§11－3

虚位移原理与内力虚功拉格朗日--意大利数学家，研究变分法,第一位提出虚位移原理。是常力作功。2、虚位移原理虚位移原理——作用于刚体上57q(x)A变形体的虚位移满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移AAAA以上哪个是可能位移？§11－3

虚位移原理与内力虚功变形体虚功原理：虚位移不是由作功的力引起的，而是其它因素（如其它力、支座移动、温度改变等）引起的由作功的力引起的位移——实位移q(x)A变形体的虚位移满足位移边界条件及变形连续条件的任意58

可以是某一(或某几个)真实位移的增量。

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移。变形体的虚位移可以是某一(或某几个)真实位移的增量。可以是另外一个59

虚功原理

(Principleofvirtualwork)外力虚功内力虚功§11－3

虚位移原理与内力虚功在外部力系作用下的变形体，当给其与约束条件一致的虚变形时，如果依然保持平衡，则外力在虚位移上作的虚功与内力在其相应虚变形上所作虚功之和为零。虚功原理(Principleofvirtual60梁上荷载：F1，F2，

F3，F4，RA，RB给梁任一虚位移，荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为1，2，3，4(一)梁的外力虚功1234AlBF4F1F2F3RARB外力虚功为§11－3

虚位移原理与内力虚功梁上荷载：F1，F2，F3，F4，RA，RB给梁任61(二)梁的内力虚功弯矩虚功dxMM+dMF4F1F2F3RAAlRBBdxQMQ+dQM+dMdx§11－3

虚位移原理与内力虚功(二)梁的内力虚功弯矩虚功dxMM+dMF4F1F2F362dxdxQMQ+dQM+dM剪力虚功F4F1F2F3RAAlRBBdx(二)梁的内力虚功§11－3

虚位移原理与内力虚功dxdxQMQ+dQM+dM剪力虚功F4F1F2F3RAAl63略去二阶小量则为(二)梁的内力虚功梁的虚位移原理为§11－3

虚位移原理与内力虚功略去二阶小量则为(二)梁的内力虚功梁的虚位移原理为§1164若横截面上不仅有弯矩M和剪力Q，还有轴力FN和扭矩Mx，则杆的虚位移原理为i

为Fi力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d，d分别为与弯矩M，剪力Q，轴力FN和扭矩Mn相对应虚位移；虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.§11－3

虚位移原理与内力虚功若横截面上不仅有弯矩M和剪力Q，i为Fi65§11－4单位载荷法、莫尔定理

已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一点C的广义位移，§11－4单位载荷法、莫尔定理已知：弹性体受一组相互66图(a)：

图(b)：

图(c)：

图(d)：

单位载荷法、莫尔定理推导图(a)：图(b)：图(c)：图(d)：单位载荷法、67——广义位移——实际载荷引起的弯矩——单位广义力引起的弯矩莫尔定理：

这种计算位移的方法称为单位载荷法

式中

莫尔积分§11－4单位载荷法、莫尔定理

组合变形情况

——广义位移——实际载荷引起的弯矩——单位广义力引起的弯68使用莫尔定理的注意事项⑤莫尔积分必须遍及整个结构.①M(x)：结构在原载荷下的内力;③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲;——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力;M④与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立;M(x)§11－4单位载荷法、莫尔定理

使用莫尔定理的注意事项⑤莫尔积分必须遍及整个结构.①69例题半径为R的四分之一圆弧形平面曲杆，A端固定，B端承受铅垂平面内的载荷的作用。曲杆弯曲刚度为EI。若F、R、EI等均为已知。求：B点的垂直位移与水平位移。RABF§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题半径为R的四分之一圆弧形平面曲杆，A端固70例题1.建立单位载荷系统：RAB1RAB1求铅垂位移时单位载荷加在B点的铅垂方向；求水平位移时单位载荷加在B点的水平方向。§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题1.建立单位载荷系统：RAB1RAB171OR例题2.建立载荷引起的弯矩方程：FPFNFQMRABFO§11－4单位载荷法、莫尔定理

OR例题2.建立载荷引起的弯矩方程：FPFNFQM72例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：RAB1OR1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：RAB1OR173例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：OR1RAB1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：OR1RAB174例题4.应用莫尔积分计算位移：RABFORAB1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题4.应用莫尔积分计算位移：RABFORAB1§175例题4.应用莫尔积分计算位移：RAB1RABFO§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题4.应用莫尔积分计算位移：RAB1RABFO§1762.分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便例:弯曲刚度EI，求A点铅垂位移分析步骤：1.配置单位载荷状态§11－4单位载荷法、莫尔定理

2.分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相77解：AB段：BC段：§11－4单位载荷法、莫尔定理

解：AB段：BC段：§11－4单位载荷法、莫尔定理78A例题抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度fc和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解：在实际荷载作用下，任一x截面的弯矩为§11－4单位载荷法、莫尔定理

A例题抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单q79AAB11/21/2C(1)求C截面的挠度在C点加一向下的单位力，任一x截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/2§11－4单位载荷法、莫尔定理

AAB11/21/2C(1)求C截面的挠度在C点加一向80ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/2§11－4单位载荷法、莫尔定理

ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的转角在A81B例题图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a§11－4单位载荷法、莫尔定理

B例题图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求82BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在c处加一单位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/2§11－4单位载荷法、莫尔定理

BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在c处83BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx1§11－4单位载荷法、莫尔定理

BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx1§184BABC:AB:(2)求C截面的转角(在c处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）§11－4单位载荷法、莫尔定理

BABC:AB:(2)求C截面的转角(在c处85aaaAqBC例：已知EI，求A左、

A右x2x1qRARBRAx3ABC1解：(1)求

A左，配置单位载荷§11－4单位载荷法、莫尔定理

aaaAqBC例：已知EI，求A左、A右x2x1qR86(2)求

A右ABC11ABC1x2x1x3§11－4单位载荷法、莫尔定理

(2)求A右ABC11ABC1x2x1x3§11－87例题计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量88BARPF(b)BARP1(c)解：OOBARPF(b)BARP1(c)解：OO89§11-5计算莫尔积分的图乘法在等直杆的情况下，莫尔积分中的EI、GIP、EA为常量，可提到积分号外面，只需计算,因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)lM§11-5计算莫尔积分的图乘法在等直杆的情况下，莫尔积分90SMAΏxCAΏ§11-5计算莫尔积分的图乘法SMAΏxCAΏ§11-5计算莫尔积分的图乘法91对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替Mc当M图为正弯矩时，ω应代以正号.当M图为负弯矩时，ω应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.Mc§11-5计算莫尔积分的图乘法M(x)lxxcCx对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积和与M(x)Mc当92b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点93lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/494注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M(x)图为连续光滑曲线，而为折线，则应以M(x)然后求其和.§11-5计算莫尔积分的图乘法注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M95【例题】简支梁受力如图所示。若F、a、EI等均为已知，试用图乘法确定C点的挠度。【解】1、画出梁的弯矩图2、建立单位载荷系统，画出单位载荷作用下梁的弯矩图

在所要求位移处C施加单位力，画出单位载荷引起的弯矩()图

§11-5计算莫尔积分的图乘法【例题】简支梁受力如图所示。若F、a、EI等均为已知，试用图96因为单位载荷引起的弯矩图是一折线，所以图形互乘需要分段进行。根据图的斜率变化，图形互乘时，可以分成AC和CE两段进行。但是，为了便于确定载荷弯矩图的形心位置以及形心处单位载荷弯矩图上的数值，将AC和CE两段的载荷弯矩图都划分为两个直角三角形。3、图形互乘§11-5计算莫尔积分的图乘法因为单位载荷引起的弯矩图是一折线，所以图形互乘需要分段进行。97根据图b和图c各个三角形的面积、其形心处单位载荷弯矩图上的数值分别计算如下：§11-5计算莫尔积分的图乘法根据图b和图c各个三角形的面积、其形心处单位载荷弯矩图上的98§11-5计算莫尔积分的图乘法§11-5计算莫尔积分的图乘法99例题2刚架受力如图所示，已知：横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA，载荷集度q，长度l。求：1.B点的水平位移;2.分析轴力对B处水平位移的影响。

采用图乘法：怎样加单位力？哪些图形可以相乘？要画哪些内力图？怎样相乘？FP=qlqACBll§11-5计算莫尔积分的图乘法例题2刚架受力如图所示，已知：横杆弯曲刚100载荷系统解：1．计算弯矩引起的位移首先，在B处沿水平方向施加单位力，建立单位力系统。FP=qlqACBllACBll单位力系统1§11-5计算莫尔积分的图乘法载荷系统解：1．计算弯矩引起的位移FP=ql101C2C1解：1．计算弯矩引起的位移绘制刚架在载荷作用下的弯矩图。载荷系统FP=qlqACBllqACBFP=qlACBMqMP为了计算曲线弯矩图面积和确定形心位置方便，应用叠加原理将集中载荷和均布载荷的弯矩图分别画出。ql2ql2C3§11-5计算莫尔积分的图乘法C2C1解：1．计算弯矩引起的位移绘制刚架102ACBll单位力系统1解：1．计算弯矩引起的位移画出单位力系统的弯矩图。ACBll111§11-5计算莫尔积分的图乘法ACBll单位力系统1解：1．计算弯矩引起的位移103解：1．计算弯矩引起的位移将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。C2C1BACll1FP=qlACBMPql2ql22EIEI§11-5计算莫尔积分的图乘法解：1．计算弯矩引起的位移将载荷系统弯矩图与单位力104BACll1qACBMqC3解：1．计算弯矩引起的位移将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。§11-5计算莫尔积分的图乘法BACll1qACBMqC3解：1．计算弯矩引起的105将轴力与弯矩引起的位移进行比较，则有对于矩形截面，有

解：3．结果与比较§11-5计算莫尔积分的图乘法将轴力与弯矩引起的位移进行比较，则有对于矩形截面，有106当l/h＝10时，上述比值为0.06，即轴力引起的位移小于弯矩引起位移的0.1％。由此可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产生明显的误差。

§11-5计算莫尔积分的图乘法当l/h＝10时，上述比值为0.06，即轴力107例均布荷载作用下的简支梁，其EI为常数.求跨中点的挠度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以图的转折点为界，分两段使用图乘法.M(x)C1C2§11-5计算莫尔积分的图乘法例均布荷载作用下的简支梁，其EI为常数.求跨中点108ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C2ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C2例图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力F作用.用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的F值；(2)集中力作用端转角为零时的F值.FCABalq§11-5计算莫尔积分的图乘法例图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力F作用110FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCMFCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法直接计算法(积分法、叠加法等)利用功能原理不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移第11章

材料力学中的能量法

单位载荷法：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿任一方向的位移回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法直接计算法112知识就是力量培根离开教育人将一无是处康德课程结束113知离开教育人将一无是处康德课程结束113第11章

材料力学中的能量法

工程力学第11章材料力学中的能量法工程力学114求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法

平衡方程——静力平衡关系几何方程——变形几何关系物理方程——应力应变关系

利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。

2、能量法第11章

材料力学中的能量法

求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法115能量法有关的几个基本概念

3、功能原理：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E在数值上与外力所作的功W相等。

E＝W1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能

E。第11章

材料力学中的能量法

能量法有关的几个基本概念3、功能原理：忽略缓慢加载过116杆件的弹性应变能§11-1基本概念

杆件的弹性应变能§11-1基本概念1171、轴向拉压FFDlDllFF杆件的弹性应变能式中——轴力，

A——横截面面积1、轴向拉压FFDlDllFF杆件的弹性应变能式中118由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345——结构中第i杆的轴力

Li——结构中第i杆的长度，

Ai——第i杆的截面面积式中n——杆系中杆件的总数杆件的弹性应变能由拉压杆件组成的杆系的应变能：F12345119取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能qLdxxdx+dxdxFNFN+dFN杆件的弹性应变能取微段研究：微段的应变能：整个杆件的拉压应变能受力复杂杆(轴120Me2、扭转jjMeMe杆件的弹性应变能式中Mx——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

Me2、扭转jjMeMe杆件的弹性应变能式中Mx—121其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：积分得圆轴扭转的应变能dMxMx受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)可取微段分析：杆件的弹性应变能

xdxLtAB其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：积分得圆轴扭转的1223、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：纯弯曲式中M—梁横截面上的弯矩；I—梁横截面对中性轴的惯性矩杆件的弹性应变能3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：纯弯曲式中M—梁横123横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按微段分析：杆件的弹性应变能横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能整梁的弯曲应变能按1244、纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：杆件的弹性应变能4、纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/A125整个梁的剪切应变能：式中(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。(1)

k

由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2杆件的弹性应变能整个梁的剪切应变能：式中(b为截面的宽度，S为截面对中性(2126F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。细长梁整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：得解：杆件的弹性应变能F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。127例1求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由U=W得5、利用功能原理计算变形杆件的弹性应变能例1求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度128例2试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由U=W得杆件的弹性应变能例2试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.129例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：由U=W得ABFORθ杆件的弹性应变能例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截130例4试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢的横截面面积。设各杆自重可以不计。F30°ACB2m杆件的弹性应变能例4试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的F30°A131解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：杆系的应变能：设节点A的竖直位移为，则由得：杆件的弹性应变能解:FA由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：AC杆的内力为：132功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，不能用功能原理求解。杆件的弹性应变能多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，如何求解？功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载133应变能的普遍表达式第11章

材料力学中的能量法

应变能的普遍表达式第11章材料力学中的能量法134应变能的普遍表达式叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形，外力功和应变能是否满足叠加原理呢？应变能的普遍表达式叠加法可用于多个载荷作用的引起的弯曲变形，135qqPP=+AAABBB

Caa叠加法可用于多个载荷作用的引起的变形梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？qqPP=+AAABBBCaa叠加法可用于多个载荷作用的引136简单模型---悬臂梁简单模型---悬臂梁137简单模型---简支梁BAFCBACACB简单模型---简支梁BAFCBACACB138应变能的普遍表达式梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？梁的转角和挠度是载荷的线性函数外力功和应变能是否载荷的线性函数？应变能的普遍表达式梁的转角和挠度满足叠加原理的原因？梁的转角1391、拉压2、扭转3、梁纯弯曲4、梁纯剪切外力功和应变能与载荷的关系外力功和应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在外力功和应变能计算中不能使用。1、拉压2、扭转3、梁纯弯曲4、梁纯剪切外力功和应变能与载荷140例5：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,..及其相应广义位移,求外力功F1F2F1＋F2叠加原理不适用外力功和应变能计算例5：已知线弹性体上同时作用有多个广义力F1,F2,..141Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1Vε1Vε2VεVε1Vε2F1F2F1＋F2叠加原理不适用外力功和应变能计算Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1Vε1142应变能的普遍表达式FOB

A基本变形下应变能的一般表达式：式中F——广义力(力或力偶)；

——广义位移(线位移或角位移)且F=C(力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。应变能的普遍表达式FOBA基本变形下应变能的一般表达式：143几个概念相应位移：

载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：

载荷在其相应位移上所作之功。广义力：

力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。广义位移：

线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。应变能的普遍表达式几个概念相应位移：载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。144广义位移Δ1为1点沿力矢方向的线位移（挠度）；广义位移Δ2为2点按力偶转向的角位移（转角）；广义位移Δ3为分布载荷F3作用区段挠曲线覆盖的面积。广义力及其相应的广义位移广义位移Δ1为1点沿力矢方向的线位移（挠度）；广义力及其相应145FFLL+力：F，位移：力：m，位移：mm一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移广义力及其相应的广义位移FFLL+力：F，位移：力：m，位移：mm一对力——146应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)线弹性体的应变能等于每一外力与其相应的广义位移乘积的二分之一的总和。即：应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)线弹性体的应变能等147证明：弹性体在载荷作用下同时发生几种基本变形(即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。因此可假设

按同一比例从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为：材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：式中：01(从0线性增加到1)克拉贝隆原理证明：弹性体在载荷作用下同时发生几种基本148如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：积分得此式称为克拉贝隆原理。克拉贝隆原理如果增加d，则位移的相应增量为：则外力在以上位移增量上149F1F2FiD1D2Di1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体；2、Di尽管是Fi

作用点的位移，但它不只是Fi

一个力引起的，而是所有力共同作用下的位移

，即它是i点实际的总位移；所以Clapeyron原理不符合叠加原理。特别注意点：克拉贝隆原理F1F2FiD1D2Di1、Clapeyron原理只适用于线150注意：线弹性体上作用有多个广义力时：

外力功一般不可以用叠加法求解

特殊情况：FFTT

一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移克拉贝隆原理注意：线弹性体上作用有多个广义力时：外力功一般不可151FABllCABllCABllCFMM一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移FABllCABllCABllCFMM一种载荷不在另一种载荷152对于杆件上各段的内力分量不等的情形，需要采用积分计算：截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有组合变形的应变能对于杆件上各段的内力分量不等的情形，需要采用积分计算153解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例6：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变能和外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMA多载荷作用杆件应变能计算解:（1）计算梁的应变能(x轴从A向左)多个外力引起的应变154解:(2)计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功FMA多载荷作用杆件应变能计算解:(2)计算外力所作之总功梁的应变能等于外力所做总功FM155例7图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F和集中力偶m作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：(方向与m一致)F

mL自由端的垂直位移为：梁的应变能多载荷作用杆件应变能计算例7图示等截面悬臂梁，E,A,I已知。在自由端受集中力F156(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩m，外力所作的功为：梁的总应变能：从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。F

mL多载荷作用杆件应变能计算(2)先作用F,加载时做功为：再加力偶矩m，外力所作的157(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入应变能的内力表达式：弯矩方程：F

mL多载荷作用杆件应变能计算(3)AB梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。代入158互等定理第11章

材料力学中的能量法

互等定理第11章材料力学中的能量法159互等定理ADF1211211ADF2212221——i代表位置，j代表载荷同一弹性体的两种受力状态互等定理ADF1211211ADF2212221——160功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：ADF222211F1121先加F2，后加F1：ADF222221F1111考察F1,F2

对弹性体的做功互等定理功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：161功互等定理ADF1211211ADF2212221——i代表位置，j代表载荷线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。功的互等定理功互等定理ADF1211211ADF2212221—162关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体；

两组外力之间，功的互等定理也成立；ADFMADFADFFM关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移；功互等定理关于功的互等定理的说明：成立的前提是对于线弹性体163Clapeyron原理由功的互等定理反证Clapeyon原理ADF1B1F2C2ADF222211F1121考察F1,F2

对弹性体的做功，先加F1，后加F2：Clapeyron原理由功的互等定理反证Clapeyon原理164位移互等定理图c中，当F和M数值相等时，位移互等定理图c中，当F和M数值相等时，165抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC。由功的互等定理抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度解：设第装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求C处的约束力。ABCFal解：解除C处约束的工件可简化为悬臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂梁在C处加单位力1作为第二组力。FCABC1alwBwC第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）。装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理虚位移原理与内力虚功第11章

材料力学中的能量法

虚位移原理与内力虚功第11章材料力学中的能量法168BOA虚位移实位移O§11－3

虚位移原理与内力虚功1、虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。回顾刚体虚功原理BOA虚位移实位移O§11－3虚位移原理与内力虚功11692、虚位移原理

虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。虚功：力在虚位移中作的功几何法解析法§11－3

虚位移原理与内力虚功拉格朗日--意大利数学家，研究变分法,第一位提出虚位移原理。是常力作功。2、虚位移原理虚位移原理——作用于刚体上170q(x)A变形体的虚位移满足位移边界条件及变形连续条件的任意微小位移AAAA以上哪个是可能位移？§11－3

虚位移原理与内力虚功变形体虚功原理：虚位移不是由作功的力引起的，而是其它因素（如其它力、支座移动、温度改变等）引起的由作功的力引起的位移——实位移q(x)A变形体的虚位移满足位移边界条件及变形连续条件的任意171

可以是某一(或某几个)真实位移的增量。

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移。变形体的虚位移可以是某一(或某几个)真实位移的增量。可以是另外一个172

虚功原理

(Principleofvirtualwork)外力虚功内力虚功§11－3

虚位移原理与内力虚功在外部力系作用下的变形体，当给其与约束条件一致的虚变形时，如果依然保持平衡，则外力在虚位移上作的虚功与内力在其相应虚变形上所作虚功之和为零。虚功原理(Principleofvirtual173梁上荷载：F1，F2，

F3，F4，RA，RB给梁任一虚位移，荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为1，2，3，4(一)梁的外力虚功1234AlBF4F1F2F3RARB外力虚功为§11－3

虚位移原理与内力虚功梁上荷载：F1，F2，F3，F4，RA，RB给梁任174(二)梁的内力虚功弯矩虚功dxMM+dMF4F1F2F3RAAlRBBdxQMQ+dQM+dMdx§11－3

虚位移原理与内力虚功(二)梁的内力虚功弯矩虚功dxMM+dMF4F1F2F3175dxdxQMQ+dQM+dM剪力虚功F4F1F2F3RAAlRBBdx(二)梁的内力虚功§11－3

虚位移原理与内力虚功dxdxQMQ+dQM+dM剪力虚功F4F1F2F3RAAl176略去二阶小量则为(二)梁的内力虚功梁的虚位移原理为§11－3

虚位移原理与内力虚功略去二阶小量则为(二)梁的内力虚功梁的虚位移原理为§11177若横截面上不仅有弯矩M和剪力Q，还有轴力FN和扭矩Mx，则杆的虚位移原理为i

为Fi力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d，d分别为与弯矩M，剪力Q，轴力FN和扭矩Mn相对应虚位移；虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.§11－3

虚位移原理与内力虚功若横截面上不仅有弯矩M和剪力Q，i为Fi178§11－4单位载荷法、莫尔定理

已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、Fi、…作用

求：任一点C的广义位移，§11－4单位载荷法、莫尔定理已知：弹性体受一组相互179图(a)：

图(b)：

图(c)：

图(d)：

单位载荷法、莫尔定理推导图(a)：图(b)：图(c)：图(d)：单位载荷法、180——广义位移——实际载荷引起的弯矩——单位广义力引起的弯矩莫尔定理：

这种计算位移的方法称为单位载荷法

式中

莫尔积分§11－4单位载荷法、莫尔定理

组合变形情况

——广义位移——实际载荷引起的弯矩——单位广义力引起的弯181使用莫尔定理的注意事项⑤莫尔积分必须遍及整个结构.①M(x)：结构在原载荷下的内力;③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲;——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力;M④与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立;M(x)§11－4单位载荷法、莫尔定理

使用莫尔定理的注意事项⑤莫尔积分必须遍及整个结构.①182例题半径为R的四分之一圆弧形平面曲杆，A端固定，B端承受铅垂平面内的载荷的作用。曲杆弯曲刚度为EI。若F、R、EI等均为已知。求：B点的垂直位移与水平位移。RABF§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题半径为R的四分之一圆弧形平面曲杆，A端固183例题1.建立单位载荷系统：RAB1RAB1求铅垂位移时单位载荷加在B点的铅垂方向；求水平位移时单位载荷加在B点的水平方向。§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题1.建立单位载荷系统：RAB1RAB1184OR例题2.建立载荷引起的弯矩方程：FPFNFQMRABFO§11－4单位载荷法、莫尔定理

OR例题2.建立载荷引起的弯矩方程：FPFNFQM185例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：RAB1OR1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：RAB1OR1186例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：OR1RAB1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题3.建立单位载荷引起的弯矩方程：OR1RAB1187例题4.应用莫尔积分计算位移：RABFORAB1§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题4.应用莫尔积分计算位移：RABFORAB1§1188例题4.应用莫尔积分计算位移：RAB1RABFO§11－4单位载荷法、莫尔定理

例题4.应用莫尔积分计算位移：RAB1RABFO§11892.分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便例:弯曲刚度EI，求A点铅垂位移分析步骤：1.配置单位载荷状态§11－4单位载荷法、莫尔定理

2.分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相190解：AB段：BC段：§11－4单位载荷法、莫尔定理

解：AB段：BC段：§11－4单位载荷法、莫尔定理191A例题抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度fc和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解：在实际荷载作用下，任一x截面的弯矩为§11－4单位载荷法、莫尔定理

A例题抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单q192AAB11/21/2C(1)求C截面的挠度在C点加一向下的单位力，任一x截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/2§11－4单位载荷法、莫尔定理

AAB11/21/2C(1)求C截面的挠度在C点加一向193ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/2§11－4单位载荷法、莫尔定理

ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的转角在A194B例题图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a§11－4单位载荷法、莫尔定理

B例题图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求195BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在c处加一单位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/2§11