第10章 均匀试验设计

第十章均匀试验设计均匀设计是我国数学家方开泰教授将数论的原理和多元统计结合创立的一种安排多因素多水平的试验设计，这种设计是利用均匀设计表安排试验可减少试验次数，而让试验点在试验范围内均匀分散、具有更好的代表性。§10-1基本概念10-1.1概述一、均匀试验的特点对应多因素多水平试验，前章介绍的正交设计具有“均匀分散、整齐可比”的特点，均匀分散性使试验点均衡地分布在试验范围内，具有充分的代表性，即使在正交表各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；整齐可比性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的效应和部分交互作用，从而掌握各指标的影响大小和变化规律。然而，正交试验为了达到“整齐可比”，试验次数往往比较多，例如一个9水平试验，正交试验至少要92次，试验次数这么多，一般是很难实现的，为此我们不考虑“整齐可比”，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，具有更好的代表性，这种从均匀性出发的试验设计称为均匀设计。均匀设计具有如下优点：（1）试验次数少。均匀设计让试验点在其试验范围内尽可能地“均匀分散”，试验次数降为与水平数相等。如6水平时，只需要6次试验就可以了。（2）因素的水平数可多设，可适当调整，可避免高低水平相遇，防止试验中发生意外或反应速度太慢。尤其适合在反应剧烈的情况下考察工艺条件。（3）均匀设计试验分析求得的回归方程，便于分析各因素对试验结果的影响，可以定量地预知优化条件及优化结果的区间估计。二、均匀设计的应用范围凡多因素，水平数三5,特别是水平需从量变关系进行考察分析的试验设计，都可采用均匀设计，例如中医多指标的量变关系对病症的影响、中药方剂中多味中医的量变关系对整个处方疗效的影响、中药药剂学中各剂型的制备条件对制剂总体疗效的影响、理化反应最近条件组合等研究，由于每个因素的每一水平只做一次试验，故要求被试因素与非处理因素均易于严格控制，试验条件不易严格控制或考察因素不易数量化的不易用均匀设计，病人个体差异较大，治疗过程中非处理因素的干扰也较难控制，所以，均匀设计不易用于临床疗效研究。大动物个体差异较大，也不易用均匀设计进行试验，而小动物遗传特性及个体条件较易做到高度可比性，故小动物进行多因素多水平试验可用均匀设计。10-1.2均匀设计表及其使用表均匀设计表及与其相应的使用表是均匀设计的工具，见附表2-2.一、均匀设计表均匀设计表简称U表，它是按“均匀分散”的特性构造的表格，水平数相同的均匀设

计表记为U(nm),其中u表示均匀设计表的代写符号；n是因素水平数，亦表示行数，即n试验次数；m为均匀表的列数，表示最多可安排的因素数，例如U5(54)，其中符号和数字的意义如下：均匀设计表 列数T TU5(54)行数 水平数即表示此设计表有4列，最多可以安排4个因素，试验次数为5次，每个因素有5个水平。均匀设计表有如下特点：表中任一列的n个数无重复，每个因素每一水平只做一次试验。任意两个因素的不同水平组合恰好只有一个试验点。均匀设计表中任意两列制剂不一定是平等的，也就是说试验点分散的均匀性是不同的，只有按相应使用表的规定，才能使试验点充分均匀分散。二、使用表在给出水平数相同的均匀设计表时，会同时给出相应的使用表，均匀设计表的使用表是指导均匀设计表各因素如何选列，每个使用表最后一行的因素数即其均匀设计表最多可安排的因素个数。由于试验目的与条件等原因，有时对其中某个或某些因素如主药因素、有毒因素、昂贵因素等，需要多分几个水平，较次要因素则少分几个水平，这是可使用混合水平设计表U(smXti)(n是行数、即试验次数。s,t是水平数，m,l是列数，即有m列可安排sn个水平数的，有l列可安排t个水平数的因素)，如U6(6X3)是两因素混合水平表U6(6X32),U8(8X4X2)是三因素混合水平表，混合水平的均匀设计表与水平数相同的均匀设计表不同8的是：混合水平的均匀设计表无需配以使用表，可直接使用。§10-2均匀设计的步骤10-2.1均匀设计本步骤10-2.1均匀设计本步骤进行均匀设计试验的步骤可归纳如下：精选考察因素，只将既对试验结果影响很大又未明确适宜数量化的水平的因素作为考察因素。根据文献调查研究和预试验结果，结合实际需要和可能(如溶液量读取的可读性、温度范围的可控制性，固体物料称量仪器的灵敏度等)，确定各因素的水平数范围。根据要考察的因素个数确定均匀表的大小(试验次数)，根据均匀表的大小确定各因素应取的水平数。对号入座，将各因素的相应水平填入均匀设计表内，组成试验方案表，按照试验方案安排的条件进行试验，为了较好地了解试验误差，提高结论的可靠性，在条件允许时，每个试验方案宜重复3~5次，取平均值。将试验结果进行多元回归分析，求得回归方程式。结合试验经验及专业知识分析回归方程，寻找优化条件，计算出预测的优化结果及区间估计。按照优化条件安排试验进行验证，其优化号的结果应在预测范围内，且较做过试验号为好。上述各步骤中，最为关键的是怎样根据所研究的因素与水平数选择适宜的均匀设计表，怎样对试验结果进行数据处理两个步骤。下面重点介绍均匀设计表的选择和试验数据的分析。10-2.2均匀设计表的选择及试验方案的安排一、均匀设计表的选择在均匀设计表U(n)中，行数n为水平数，列数m表示最多可安排的因素数，且当nnm为素数时，n=m+1•均匀设计表只是按均匀演奏作为试验点的基础，不能直接使用，必须依据因素个数查其相应的使用表选出因素列，这是因为均匀设计是数论和多元分析相结合的产物，即要考虑到均匀试验的数据分析要按多元统计的要求，依最小二乘法原理进行回归分析。据此要求，数学上可以证明，若均匀设计表有m歹U，则至少去掉m-(m/2+l)列，剩下m/2+1列已满足要求，故均匀设计表最多自能安排m/2+1个因素，所以使用表中的因素少于均匀设计表中的列数。由此可见，选取均匀设计表时首先根据试验的因素数决定使用哪一个均匀设计表，例如因素数为6时，由m/2+1=6得m=10,n=m+1=11,可以看出选择U/ll10)可使实验次数最少。其次再查相应的使用表，此例即5](1110)的使用表，确定其中的第1,2,3,5,7,10六列组成U]](116)表，即可安排实验。有些教材直接给出了U]](116)表，这比较方便，但有些情况往往查不到合适的表。例如因素为5时，m/2+1=5得m=8,n=m+1=9,因无UJ98)表，只有UJ96)表，故仍选择U11(1110),再查相应的使用表，选择123,5,7列组成U11(115)表安排均匀实验。另外，根据各因素的考察范围，确定的水平数若太少，可通过拟水平处理(即将水平数少者循环一次或几次达到要求的水平数)。还可以适当地调整因素的水平数，避免因素的高档次(或低档次水平)相遇。为了考察因素不疏漏最佳实验条件，可以多做些试验点，如3因素实验，可用U5(54),也可用U7(76)，甚至可用U]](1110)。一般来说，试验点划分得愈细，均匀性愈好。以上是水平数为奇数时的均匀设计，如果水平数为偶数，则无现成的均匀设计表可查，可将高一水平的奇数表去掉最后一行构成偶数表，如U/1110)去掉最后一行即成U10(101。)表，使用表仍为U11(1110)。二、实验方案的安排依据上述方法选择好均匀设计表及其使用表后，就可用安排试验方案，只要将各因素的各水平分别对号入座，就构成试验方案。例如上面介绍6因素的均匀设计表为U/1110),由其相应的使用表确定其中的六列组成U11(116)表，这样只要列号安排因素，对应的每一列里安排其水平数便可取得试验方案。10-2.3均匀设计试验的数据分析均匀设计由于每个因素水平较多，而试验次数又较少，分析试验结果时不能采用一般的方差分析法。因为试验数据统计过程复杂，通常需用电子计算机处理，因素间无交互作用时，用多元线性回归分析；因素间有交互作用是，若考察一级交互作用，用二次回归分析(增加一级交互作用作为考察因素)；若考察二级交互作用，用三次回归分析(不仅增加一级交互作用作为考察因素，而且增加二级交互作用作为考察因素)。利用其多因素多水平的特点，用多元回归分析（多用逐步回归方法）建立试验结果与多因素之间的回归方程，结合实践经验及专业知识，分析各因素对试验结果的影响，定量地预测优化条件及优化结果的区间估计。无电子计算机时，可以从试验点中挑一个指标最优的，相应的试验条件即为欲选的工艺条件。这种方法是建立在试验均匀的基础上，由于试验散布均匀，其中最优工艺条件离试验范围内的最优工艺条件下不会太远。这个分析看起来粗糙，但在正交试验中有混杂时常用，证明是有效的。另外用直观分析一一对各试验号的结果直接进行比较分析，也可大体判断适宜的组合条件。例1对中药止咳膏的基质配比及工艺条件进行优选，根据文献调查及预试结果，确定四个考察因素及基本范围分别为：1增稠剂0〜25%；x2填充剂0〜5%；x3防腐剂0〜0.1%；x4反应时间9~24小时。水平数三6，如表10-1.表10-1水平（试验号）因素增稠剂（％）x1填充剂（％）x2防腐剂（％）X3反应时间（h）X412.501.0922.010.81231.520.61541.030.41850.540.221605024解（1）确定考察因素和水平，选择合适的均匀分布表。由于因素4,m/2+1=4,m=6,n=7选取均匀分布表为U?（74）,而本书均匀设计表中只给出了U7（76）表，因此此例选取U7（76）表，从相应的使用表中查得因素为4时列号是1,2,3,6。故选择表中列号为123,6即可。由于各因素只有6水平，所以U7（76）表的最后一列可以不要。因此实际的表格只有6行4列构成U6（64）表。（2）安排试验。根据选好的表格,将各因素的相应水平填入表中列出试验方案,如表10-2。表10-2水平（试验号）因素总评值y增稠剂（％）X1填充剂（％）X2防腐剂（％）X3反应时间（h）X411(2.5)2(1)3(0.6)6(24)9.022(2.0)4(3)6(0)5(21)7.933(1.5)6(5)2(0.8)4(18)8.844(1.0)1(0)5(0.2)3(15)7.055(0.5)3(2)1(1.0)2(12)8.166(0)5(4)4(0.4)1(9)8.0注：括号外为水平编号,括号内为水平值。（3） 实验操作。测定结果如表中总评值y—列。（4） 结果分析。①多元回归分析：利用计算机对表10-2资料进行线性回归分析，因系数矩阵行列式为0,不能建立线性回归方程。考虑到反应时间（x4）对总评值的贡献小，再对余下的三因素(X1,x2,x3)进行多元线性回归，得三元回归方程：y=7.1071+0.4143x+0.8929x+0.07143x1 2 3对该回归方程进行方差分析见表10-3，可见该三元回归方程不可信(P>0.05),表明线性回归模型不符合本例情况。考虑到可能存在因素间的交互作用，考察X],x2两因素的交互作用，记为x1Xx2，进行二次回归分析，得回归方程为：y=7.6442+0.7792(xxx)+0.06571x1表10-323方法方差来源平方和自由度方差F多元线性回归SS回1.125030.37503.00SS剩0.250020.1250二次回归SS回1.322320.661227.65SS剩0.052730.0175注：F0.05(3，2)=20.2；F0.05(2，.=9.55；3)F0.01 (2,=30.8。3)该二次回归方程的方差分析结果见表10-3，可见此方程可信(PV0.05)。②用优化算法求最佳试验条件：上述数据处理结果揭示了y与斗，x2,……x的数量依12n存关系，但并未求得回归方程的最佳条件，为此必须用优化算法求最佳试验条件。优化算法需要的数学知识较深，有单纯法、黄金分割法、网络法等，有相应的软件可用。本例用数论网络法进行优化计算，结果显示x1，x2,x3取试验范围内的最大值时为“最优”因x4对y无明显作用，从实际出发，宜取最小值，故有x1=2.5(%)，x2=5(%),x3=1(%),x4=9(h)是该试验范围的实际“最优”点。此时y的理论预测估计值y=9.92,r的95%可信区间为y0y土2b二9.92土0.026。0进行验证试验。按最佳条件进行试验，得出总评值y=9.93，这个数值在理论预测值的95%可信区间之内，故可认为求得的最佳试验条件是可信的。如回归方程难以建立，亦可以采用灰色控制论中的关联度分析法对试验结果影响的次序大小进行分析，详见灰色控制论专著。混合水平均匀设计的步骤与分析方法亦相似于等水平