海森矩阵课件

经济数学MathematicsforEconomists最优化理论Optimum经济数学1

专题一:最优化问题

Topic1:OptimumProblem

专题一:最优化问题

Topic1:OptimumP2基本概念设函数f：RnR,称向量x

Rn为工具向量S

Rn为可行的备择集合，称S为机会集合函数f称为目标函数。一般形式：s.t.xS

Rn瓦尔拉定理:紧集上的连续函数有最大值和最小值基本概念设函数f：RnR,称向量x3

两个变量的极值问题

两个变量的极值问题4如果函数z=f(x,y)二次连续可导，则函数取得极值的一阶必要条件是：二阶充分条件是：，取得极大值，取得极小值两个变量的极值问题如果函数z=f(x,y)二次连续可导，则函数取得极值5一个企业生产两种产品，收入函数假设企业的成本函数：求该企业利润最大时两种产量的产量两个变量的极值问题：练习一个企业生产两种产品，收入函数两个变量的极值问题：练习6两个变量的极值问题：练习可以验证达到效用最大两个变量的极值问题：练习可以验证达到效用最大7如果函数z=f(x1,x2,x3)二次连续可导，则函数取得极值的一阶必要条件是：二阶充分条件是：海森矩阵负定，取得极大值海森矩阵正定，取得极小值三个变量的极值问题三个变量的极值问题8海森矩阵负定，取得极大值:海森矩阵正定，取得极小值三个变量的极值问题海森矩阵负定，取得极大值:三个变量的极值问题9求函数的极值一阶条件：唯一解：

例题：求函数的极值

例题：10

海森矩阵正定，取得极小值海森矩阵课件11求函数的极值练习：求函数的极值练习：12求函数的极值一阶条件：解：练习：极大值不是极值求函数的极值练习：极大值不是极值13局部最大值LocalMaximum如果函数为f(x)二次连续可微，则：如果在x*

取得极大值，则令h=x，x为任意小的非零向量，则

局部最大值LocalMaximum如果函数为f(x14局部最大值LocalMaximum令h=

x，x为任意小的非零向量，则

如果>0,上式两边都除以并令0，则：gradf(x*)x

0

如果<0,gradf(x*)x0

所以gradf(x*)x＝0，gradf(x*)＝0

所以，即海森矩阵半负定。局部最大值LocalMaximum令h=x，x为15局部最小值LocalMinimum如果在x*

取得极小值，gradf(x*)＝0即海森矩阵半正定。极大值和极小值的充分条件极大值的充分条件是海森矩阵负定极小值的充分条件是海森矩阵正定局部最小值LocalMinimum如果在x* 取得极小16

专题二:经典规划

Topic2：ClassicalProgramming

专题二:经典规划

Topic2：ClassicalPr17经典规划设函数f：RnR,经典规划的一般形式s.t.g(x)=c,或者其中xRng:RnR方法：建立拉格朗日函数L(x,y)=f(x)

+(c-g(x))

得到gradf(x)-gradg(x)＝0

g(x)＝c

经典规划设函数f：RnR,经典规划的18经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩阵。拉格朗日函数的海森矩阵称为加边海森矩阵。经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩19充分条件最大值:最小值:充分条件最大值:20经典规划设函数f：RnR,经典规划的一般形式s.t.g(x)=c,其中xRng:RnRm方法：建立拉格朗日函数L(x,y)=f(x)

+(c-g(x))

得到gradf(x)－gradg(x)＝0

g(x)＝c

经典规划设函数f：RnR,经典规划的21经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩阵。拉格朗日函数的海森矩阵称为加边海森矩阵。经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩22海森矩阵课件23经济数学MathematicsforEconomists最优化理论Optimum经济数学24

专题一:最优化问题

Topic1:OptimumProblem

专题一:最优化问题

Topic1:OptimumP25基本概念设函数f：RnR,称向量x

Rn为工具向量S

Rn为可行的备择集合，称S为机会集合函数f称为目标函数。一般形式：s.t.xS

Rn瓦尔拉定理:紧集上的连续函数有最大值和最小值基本概念设函数f：RnR,称向量x26

两个变量的极值问题

两个变量的极值问题27如果函数z=f(x,y)二次连续可导，则函数取得极值的一阶必要条件是：二阶充分条件是：，取得极大值，取得极小值两个变量的极值问题如果函数z=f(x,y)二次连续可导，则函数取得极值28一个企业生产两种产品，收入函数假设企业的成本函数：求该企业利润最大时两种产量的产量两个变量的极值问题：练习一个企业生产两种产品，收入函数两个变量的极值问题：练习29两个变量的极值问题：练习可以验证达到效用最大两个变量的极值问题：练习可以验证达到效用最大30如果函数z=f(x1,x2,x3)二次连续可导，则函数取得极值的一阶必要条件是：二阶充分条件是：海森矩阵负定，取得极大值海森矩阵正定，取得极小值三个变量的极值问题三个变量的极值问题31海森矩阵负定，取得极大值:海森矩阵正定，取得极小值三个变量的极值问题海森矩阵负定，取得极大值:三个变量的极值问题32求函数的极值一阶条件：唯一解：

例题：求函数的极值

例题：33

海森矩阵正定，取得极小值海森矩阵课件34求函数的极值练习：求函数的极值练习：35求函数的极值一阶条件：解：练习：极大值不是极值求函数的极值练习：极大值不是极值36局部最大值LocalMaximum如果函数为f(x)二次连续可微，则：如果在x*

取得极大值，则令h=x，x为任意小的非零向量，则

局部最大值LocalMaximum如果函数为f(x37局部最大值LocalMaximum令h=

x，x为任意小的非零向量，则

如果>0,上式两边都除以并令0，则：gradf(x*)x

0

如果<0,gradf(x*)x0

所以gradf(x*)x＝0，gradf(x*)＝0

所以，即海森矩阵半负定。局部最大值LocalMaximum令h=x，x为38局部最小值LocalMinimum如果在x*

取得极小值，gradf(x*)＝0即海森矩阵半正定。极大值和极小值的充分条件极大值的充分条件是海森矩阵负定极小值的充分条件是海森矩阵正定局部最小值LocalMinimum如果在x* 取得极小39

专题二:经典规划

Topic2：ClassicalProgramming

专题二:经典规划

Topic2：ClassicalPr40经典规划设函数f：RnR,经典规划的一般形式s.t.g(x)=c,或者其中xRng:RnR方法：建立拉格朗日函数L(x,y)=f(x)

+(c-g(x))

得到gradf(x)-gradg(x)＝0

g(x)＝c

经典规划设函数f：RnR,经典规划的41经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩阵。拉格朗日函数的海森矩阵称为加边海森矩阵。经典规划要判断最大值还是最小值，还要验证拉格朗日函数的海森矩42充分条件最大值:最小值:充分条件最大值:43经典规划设函数f：RnR,经典规划的一般形式s.t.g(x)=c,其中xRng:RnRm方法：建立拉格朗日函数