第八章弯曲变形

第八章弯曲变形同济大学航空航天与力学学院顾志荣掌握求梁变形的两种方法:积分法和叠加法朋确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。二教学内容弯曲变形的量度及符号规定；挠曲线近似微分方程及其积分；计算弯曲变形的两种方法；用变形比较法解简单的超静定梁三、重点难点梁的变形分析。挠曲线近似微分方程。积分法求梁的变形。叠加法求梁的变形。用变形比较法解简单超静定梁。、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时六■实施学时七■讲课提纲弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。本章弯曲变一-在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。研究弯曲变形的目的★刚度计算；★解简单的超静定梁。本章的基本内容★弯曲变形的量度及符号规定；★挠曲线近似微分方程及其积分；★计算弯曲变形的两种方法；★用变形比较法解简单的超静定梁。(_\弯曲变形的量度及其符号规定1、度量弯曲变形的两个量:⑴挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移3称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）图8-1⑵转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移。称为转角。2、符号规定：⑴坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。⑵挠度的符号规定：向上为正，向下为负。⑶转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。（二）、挠曲线近似微分方程及其积分1、挠曲线在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这CNooffl曰w(K)JVW-怅黑宿K-旺工同帐wg回_5f国果前g联坍咽贝悉ffig悉用遂、isK)d、，^nhnsmWK)dHH(k)m3ZPICXJ⑴忽略了剪力的影响；⑵由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。3、挠曲线近似微分方程的积分⑴转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：0(x)=^L=_L(jm(x)dx+c)dxEI再积分一次，得挠曲线方程：w(x)=EE(jM(x)dx)+cx+D⑵积分常数的确定及其物理意义和几何意义①积分常数的数目——取决于M(x)的分段数M(x)n段积分常数——2n个举例：图8-3m⑴分2段，则积分常数2x2=4个②积分常数的确定——边界条件和连续条件:边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。③积分常数与边界条件、连续条件之间的关系:积分常数2n个=2n个「边界条件连续条件图8-3所示的例题中：边界条件：%[0A连续条件：七左=七右气左f例题：列出图8-4所示结构的边界条件和连续条件。

FpAI)B1/2连续条件：:D*D左。右气左=气右图80-4连续条件：:D*D左。右气左=气右解：边界条件：o匚oA①=0④积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得C=EIO。即坐标原点处梁的转角七，它的EI倍就是积分常数C；D=E、即坐标原点处梁的挠度o°的EI倍就是积分常数D。几何意义：C——转角D——挠度nImh;nImh;日B0a=0C=00A=0C=0①A=0D=0

F12_~^2~C=m/Dm12*F12_~^2~C=m/Dm12*T-F12__艺C=-史24c=-m^3（三■计算弯曲变形的两种方法1、积分法——基本办法利用积分法求梁变形的一般步骤:⑴建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；⑵分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次;⑶利用边界条件，连续条件确定积分常数；⑷建立转角方程和挠曲线方程；⑸计算指定截面的转角和挠度值，特别注意pI和同及其所在截面。积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁°、0图8-5解：⑴分段建立弯矩方程AB段：M(X)=尖(0<xFL)TOC\o"1-5"\h\z182BC段：M(X)=年一q(X-L).1(…1)2822222ql2q/l、-—-—(X-)28222⑵分段建立近似微分方程，并对其积分两次AB段：d2°1_M(x‘)dX2EIi即：EI°：_M(气)_q82

EIQ(x)=EIw=』m(x)dx+cql2x+cEI®(x)=EIs=』』M(x)dx-dx+cx+Diiiiii=x2+cx+D(2)16iiiiBC段:BC段:EI®=M(x)=22(3)EIQ(x)=EI®=笙~x-q(x-—)3+cTOC\o"1-5"\h\z22826222EI®(x)=EI®=^-x,2-q(x-—)4+cx+D(4)221622422222(3)⑶利用边界条件,连续条件确定积分常数由边界条件确定C1、D1:当气=0时，qa=0,由(1)式得4=0；当气=0时，®a=0,由(2)式得Di=°。由连续条件确定C2、D2:当x2=xi=1时，Q(x2)=Q(xi)，即联立⑴、⑶式子:空.1+C=空.1-q(L-1)3+C得c=C=082i826222i2当x2=xi=1时/®(x)=®(x),即联立2、4式:q12/1、qJ11q12.L八1八〈曰n=0•()2——(——)4+C•—+D=•()2+C•—+DD2i622422222i6'2i2i⑷分段建立转角方程、挠曲线方程：

AB段:EI9(x)=尖x181EI&(x)=x2i16iBC段：E/0(x)=尘x-q(x--)3282622EI®(x)=也X2-里(x--)421622422(5)求梁指定截面上的转角和挠度当r:时，由⑸式得ql3ql4由⑹式得，七64EI当x2=l时，由⑺式得，0由⑻式得，当r:时，由⑸式得ql3ql4由⑹式得，七64EI当x2=l时，由⑺式得，0由⑻式得，O:1ql3EI8_1ql2EI16ccq‘I、6(2)35ql3./48EI(，2)-卷少23ql4

384EI2、叠加法——简捷方法记住梁在简单荷载作用下的变形一挠曲线方程、转角、挠度计算方式。叠加法的两种处理方法：⑴荷载叠加图10-641Z11'「11.4Bc—•:■I11LJ1侦r■■1/2-7r>1/2H800qx22AEI(X2——4ZX+6Z2)+24E76E24EI.•.CD——dcD——dx8HBqqxsg』x2q-2x0(2)4g.f)3W2(5)2+——24EI6EI4EII1724I384E70(5)3w()2W2()HH——Z+ZZBq6EI(2)好，2EI2EIcq6EIqT8nIcq8EI(3M:0(H800、c)Bq、Bq-—q项—qrBq-I8EII128EI_gM1)3Iq_3Bq-——6EII48EI(4)场6，H(®800、c)cq-cq-0HoHIP-cq-Bq_48E78H0,_L+COcq_Bq-2Bq-ql3lql4-48EI'2128EI7ql4=384EI最后：o=o+o—些+、=(一―+-^)ql4=一土N)BBqBq,384EI128EI384EI384EI192EIo_o+0—_7ql3+qi3__ql3B—BqBq'~48EI48E^8EIN)o_o+o__虹+士__、(48_7)__冬ccqcq'8EI384EI384EI384EI0c_0+0cqcq__也+q/3__ql3(8_1)__7q3—6EI48EI—48E1—48EI（四"变形比较法解简单超静定梁N)0c_0+0cqcq1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想:⑴解除多余约束，变超静定梁为静定梁;⑵用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程;⑶通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求解举列。求图示梁的Fq、M图图8-9(a)示结构为简单(一次)超静定梁7TOC\o"1-5"\h\z'~EIB£7。1/21/2£,£r-图8-9(a)解：⑴选基本静定梁图8-9(b)解除c端约束，代之以约束力Fcq<AB"Fc图8-9(b)⑵建立变形协调条件s+s=0⑶采用荷载叠加法，并对原梁做如下图8-9(c)等效变换:图8-9(c)此时的变形协调条件可以写成:查表得:

ql4cqSEIFcl3①=cFc3EIq（3）4q（5）3lw'=—-—+cq8EI6EI27ql4384EI将查表所得结果代入⑴式，解出F=也

c128=0.32ql⑷求A端的约束反力侦5—广广心4,:«cqF=也

c128=0.32ql⑷求A端的约束反力侦5—广广心4,:«m”号'项C/卜\==0一18甲Fc=j%=0.32q/V2V2C2//,x/⑸作该梁的Fq、M图7q/w.2厂〃"一-『"一（）0〉W/技找quunuumi，BC0.32g//JoF.=烈〔）.1网/F=1Jo0.055"两端固定的水平梁AB,在其左端转动了一个微小角度e，如图所示求其约束反力。B图8-10解：⑴解除A端约束，使超静梁变成静定梁——基本静定梁.4B'■