第18章 曲线积分和曲面积分

第十八章曲线积分和曲面积分

§1第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和lim£f弓叫,G也的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。给定光滑曲线段l:Ab，f3,y,z)定义在l上且连续，给定l的一个分割：T：A=A0<A1<<A=B这里“<”表示曲线上从A到B的顺序。记As=1A1Al(弧长)，X=max{As}(分割细度)。i定义1、设存在实数I，使对任意的e>0，存在5>0，使对任意分割T，当X<5时，对任意的3,y,z)eAA，都成立：iiii-1i£f(x,y,z)As-11<e，i=1称I为f(x,y,z)在l上的第一类曲线积分，记为I=ff(x,y,z)dsol其中f(x,y,z)称为被积函数，l称为积分路径。注、显然，定义表明I=ff(x,y,z)ds=lim£f(x,y,z)As。

s很iiii注、有时用l表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为I=ff(x,y,z)以。不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一l类曲线积分是对弧长的积分。

注、其几何意义为：f=1时，I=jf3,y,z)ds=si，(l的弧长)。注、第一类曲线积分满足类似的积分性质(略)。二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对莓,的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。先给出参数方程下的计算公式。'X=x(t)设给定曲线段l:卜=y(t),a<t<p是C的，即z=z(t)x(t),y(t),z(t)GC'［a,P］。首先由定积分理论中弧长公式可知，对应于某一参数段如a<t<P的弧长可由如下定积分计算s=j飞X'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dta事实上，利用定积分思想，弧长公式的推导过程大致如下s=lim£Ax2+Ay2+Az2人T0ii1=lim"0fAs=lim£Ax2+Ay2+Az2人T0ii1=lim"0fAyV3Ji+［乏J2At"AtJii利用这一弧长公式可以得到第一类曲线积分的计算公式。定理1、设f(x,y,z)在l上连续，则jf(x,y,z)ds存在且ljf(x,y,z)ds=jPf(x(t),y(t),z(t))Jx'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dt。证明：对l做任意分割T：A=A0<q<•••<A=B对应于［a,P］形成一个分割T:a=t<t<…<t=P记d=max{*.}=max{t.-1},则由定义，jf3,y,z)ds=lim£f(x,y,z)Asi很1111=lim£f(x(^),y(&),z(&))As其中&e[t,t]，使得x=x(&),y=y(&),z=z(&)。jj-1jjjjjjj利用弧长公式和中值定理，则As-jtj^x'2(t)+y，2(t)+z，2(t)dtjx'2(门)+y'2(门)+zr2(n)At,ne[t,t]。jjjjjj-1j故，lim£f(x.,y.,z,)As=lim£f(x(&),y(&),z气))p'2(n^)+y'2(n^)+z'2(n^)A.dT0=lim{£f(x(&),y(&),z(&))-d顼Jx'2化j)+y'2化j)+z'2化j)Atj+£"Atj}其中：",=f(x(,),y(&,),z(&j))-[Jx，2(Q)+yy2仁j)+z'2")-<x'2(&)+yr2(&)+zr2(&)]。由三角不等式，Nx'2(n)+y'2(n)+z'2(n)-<x'2(&)+y'2(&)+z'2(&)]hiiiiii<*(xIn)—xl&))2+(y(Q)—yl&))2+(zlQ)—zl&))2由于xIt),y'(t),z'(t)eC［以,p］，因而一致连续，故，对Ve>0,38>0,当d<5时，lx0.)-x'(&.)<—，ii3又，f(x(t),y(t),z(t))GC［以,p］，因而有界M,故:£wAt<M£IP—a|。II因而，由定积分定义，lim£f(x.,y.,z.)As.=lim£f(x(&),y(&),z(&)).(x'2(&)+y'2(&)+z'2(&)AtdT0=jpf(x(t),y(t),z(t))\.x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dta故，jf(x,y,z)ds=jpf(x(t),y(t),z(t))(x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dt。对对一般的曲线方程，都可以转化为参数方程形式，因此，定理1解决了第一类曲线积分的计算问题。下面给出几个特例。注：特例：1、对平面曲线l:y=中(x),a<x<b，则jf(x,y)d书jbf(x,甲(x))J1+甲'2(x)dx；2、对平面曲线l:r=r(0)写<0<02，贝Ujf(x,y)d=s』％f(r(0)coQ,r(0)si前)J"(0)+r'2(0)d0l0i从计算公式知，第一类曲线积分的计算，关键是给出曲线的参数方程。例1：I=j|y|dx，l:x2+y2=1,x>0l解：采用极坐标形式，则,(x=cos0兀兀l次八,一一<0<一，Iy=sin022

故，I=j2|sinOdO=2j2sin0d0=2。迪02例2：I=j(x+y)dx,其中i由折线段OA、AB、BO组成且i0(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用积分可加性，则I={j+j+j}(x+y)dsOaAbBo其中各段方程如下：OA:y=0，0<x<1；(可视为以x为参数)AB:x=1,0<y<1,(以y为参数)BO：y=x,0<x<1,(以x为参数)故,I=j1(x+0)dx+j1(1+y)dx+j1(x+x)•、.：2dx=2+*2。000注意各种技巧的运用，如对等性对称性等。例3：I=jx2dx,l:例3：I=jx2dx,l:<i。x+y+z=0解：由于曲线i关于x,y,z对等，贝U，jx2ds=jy2ds=jz2ds。iii因而，3I=j(x2+y2+z2)ds=a2jds=2兀a3。i1例4：I=j(xsiny+y3ex)ds,1:x2+y2=1，(闭曲线上的积分)i故，解、事实上，由于l关于x轴对称，且f=xsiny+y3ex是y的奇函数，j(siny+y3ex1/s=0。故，解、事实上，ii分为：11:七=打三m1<x<1；，故:1:y=—v1—x2,—1<x<1;(xsiny+y3ex)dsI=j(尤sin(xsiny+y3ex)dsi1i2(xsiny+y3ex)(1+y^2(x)dx=j1(xsiny+y(xsiny+y3ex)(1+y^2(x)dx§2第一类曲面积分一、定义背景：在计算曲面上质量分布时，我们曾导出质量分布的计算公式为有限和的极lim£f(x,y,z)AS，在其它应用领域，也经常遇到这类有限和X^0iiii的极限，因此，有必要在数学上建立相应的理论，这就是第一类曲面积分。给定有界光滑曲面£，f(x,y,z)定义在£上，给定曲面£的一个分割T：%,...,£疽对应的每一个分割子块的面积记为A*,.,A七，分割细度仍记为人=|们|。定义1、若存在实数/，使对任意分割T及任意选取的点(x,y,z)e£，都有iiiilim£f(x,y,z)AS=I膈iiii称I为f(x,y,z)在£上的第一类曲面积分，记为I=jjf(x,y,z)dS£其中f(x,y,z)为被积函数，£称为积分曲面。注、类似的积分性质(略)；注、几何意义为，f三1时，jjf(x,y,z)dS=S£。二、计算从第一类曲线积分的公式推导可知，第一类曲面积分公式的建立，关健仍然是微小曲面£•的面积AS/勺计算。因此，我们首先处理ASi，给出其计算公式；处理的思想为定积分中的近似方法一一微元法。我们知道，£•是分割后的小曲面块，当分割很细时，曲面块可近似为平面块，故，我们从分析平面块面积的计算入手。那么，如何计算平面块的面积？我们仅知道：当平面块落在坐标平面内时，可以利用二重积分计算其面积，此时，问题解决。而当平面块不落在坐标平面时，我们利用投影技术转化为坐标平面内平面块面积的计算。这就是我们处理第一类曲面积分的思想。1、曲面面积的计算：给定有界曲面£:z=f3,y),3,y)gD，设£是光滑的，即f3,y)gCID)，求£的面积。情形1、特殊情形设£落在平面兀中，又设兀与坐标面xoy面的夹角为a(锐角)，£在功y面的投影区域为D，相应的面积分别记为S£,SD,贝Ucosa=—D，故S—SD。S£cosa£S当选取相对应的钝角为夹角时，有S—―^。£cosa情形2、一般情形£为一般光滑曲面：z—f(x,y),(x,y)gD，显然：D正是£在•wy面的投影区域。为了利用情形1处理，我们利用分割、近似计算的思想。对曲面进行分割T：£「...,£疽分割细度为人=|丁|;对应于分割「形成D的一个分割：T':?,...,Dn，分割细度记为d=llTII。当T很细时，我们希望用某种平面块代替曲面块£,。在曲面£.上，选择一个什么样的平面块来近似代替曲面块？我们选择相

关的切平面块。任取M(x,J,z)eZ，由于£是光滑的，故任一iiiii点都有切平面，过M,作平面兀j,在气上取出一小平面块b,，使b,与Z具有相同的投影D，当T很细时，％w七。ii下面计算七。由情形1，只计算气与坐标面wy的夹角a•的i余弦。这使我们联想到切平面法线的方向余弦，记Yi为气的法线方向与［轴正向的夹角，则|cosy.|=cosa.。由解析几何理论知道，若平面方程为z=f(x,y),(x,y)eD，则在Mi(x,y,z)点的法线方向为±(f(p),f(p),-1)，其中iiixi则在Mip(X,y)，z=f(x,y)。■故iiiiiilcosYJJ'\.:1+f2(p)+f2(p)1-xiyi又，cos又，cosaiS-Dr，因而，biSDi<1+f2(P)+f2(P)xiyiSbi故，S="+f2(P)+<1+f2(P)+f2(P)xiyi.=s£sii因而，S=£S£=lim+f2(p)+f2(p)S=jj1+f2(x,y)+f2(x,y)dSdT0xiyiDiD.=s£sii=jjJl+f；(x,y)+fy2(x,y)dxdy这就是曲面面积计算公式。注、当£落在wy面的平面区域时，此时：£=D:Z=0，故，S=S=jjdxdy，这与二重积分的几何意义是一致的。注、从上述推导过程可知，还成立下述另一个计算公式:_jjdxdy_jjdxdyD|cosD|cos(^,z)|其中n为曲面上任意点的切平面的法线方向。X=x(u,v)注：若£由参数方程给出£:<y=y(u,v),(u,v)gD^，为计算z=z(u,v)此时的面积，将其转化为已知的情形，为此，设由］x=x(u,v)能Iy=y(u,v)确定隐函数\uUX"y),(x,y)gD，则Iv=v(x,y)此时的面积，将其转化为已知的情形，为此，£:z=z(u(x,y),v(x,y)),(x,y)gD。利用隐函数的求导，TOC\o"1-5"\h\zdudvdudvz=［篇+,z=Lk+z—

xudxvdxyudyvdyyzzxxyuu,B=uu,C=uuyzzxxy因而：若记A=，则vvvvvvTOC\o"1-5"\h\z1dyd^_1dy_,;CdvdxCdu1dxd^_1dx'—■=CdvdyCdu故，z=*,z=B。因而XCyCS=jj.,,'1+z2+z2dxdy£DxyX=jjjl+C-+三C\dudv=f^,A2+B2+C2dudvD

uv又，若记E=x2+y2+z2,G=x2+y2+z2,F=xx+yy+zz，uuuvvvuvuvuv还有s£=ILeg-F2dudv。uv例1：求球面x2+y2+z2=a2含在柱面x2+y2=ax(a>0)内部的面积S。解：由对称性，只计算其在第一卦限中的部分，此时，曲面£:z=^a2-(x2+y2),(x,y)eD，其中D：x2+y2<ax,x>0,y>0。由于生=一三，生=-y，故，dxzdyzS=4jj{1+z2+z2dxdya="a2-(x2+y2)dxdy=4』；dofaco6sa-rd=4a2(--1)。00\a2—r222、第一类曲面积分的计算利用曲面面积的计算公式，很容易计算第一类曲面积分。定理1、设4(x,y,z)为定义在光滑曲面S:z=f(x,y)，

3,y)ID上的函数，则JJNx,y,z)dS=JJ©(x,y,f(x,y))(1+f2+f2dxdy。TOC\o"1-5"\h\z事实上，由定义，DJJ©(x,y,z)dS=limZ©(x,y,z)AS£Me'I，1=lim且f(x,y,z(x,y))(1+f2(p)+f2(p)DDiii/Vxiyiil®0/=JJn(x,y,f(x,y))(1+fx2+fy2dxdy。其中Pj(x,,h)ID。x=x(u,v)定理2、设光滑曲面£:<y=y(u,v),(u,v)gD，则，z=z(u,v)JJ@(x,y,z)dS=JJ侦x(u,v),y(u,v),z(",v))《EG—F2dxdy。£D通过上述定理可知，计算第一类曲面积分需要知道曲面方程和曲面的投影区域，在此基础上转化为二重积分计算。例2:I=JJ(x2+y2)dS，£:是xoy平面上方的抛物面£解：£在xoy平面上的投影是：D:x2+y2<2,故，I=JJ(x2+y2)\.1+4(x2+y2)dxdyD=4J2兀dof2r211+4r2rdr=^^■兀.30x2+y2+z2=a2，z>0。例3：x2+y2+z2=a2，z>0。解：£在xoy平面上的投影是:D:x2+y2<a2，故，I=JJ(x+y+z)寸1+z2+z2dxdy=jj(x+j+、.a2—%2—j2)adxdy

d，'a2—x2—y2注：注意到积分区域的对称性和奇偶性:jjxds=jjyds=0。zz例4、计算下列曲面面积。1、z=axy(x>0,y>0)包含在圆柱x2+y2=a2内的部分a；s；解、1、域为2、锥面x2+y2=3z2与平面x+y+z=2a(a>0)所界部分的表面由于曲面z=axy(x>0,y>0)在xoy平面内的投影区TOC\o"1-5"\h\zD:x2+y2a2，x吵0,s；解、1、域为S=蝌1dS=蝌J由公式1+z2S=蝌1dS=蝌JDxy=蝌2dqaq'1+ar2rdr=[(1+a4)2-1]06a22、所界的表面分为两部分：落在锥面上的部分记为a1，落在平面上的部分记为a2,这两部分在xoy平面有共同的投影，记I=1为D，它是由交线l:|x2+y2=3Z2的投影所围的区域，即区域D1x+y+z=2a1由曲线x2+y2=3(2a-(x+y))2所围。对a，由其方程可以计算z=—,z=―^，故1xzyz1：'1+Z2+Z2=2；对a2则z=z=-1,故Jl+Z2+z=J3，故由公式S=蝌1dS+蝌1dS=蝌(2+志)dxdyTOC\o"1-5"\h\z邋12D为计算上述二重积分，须对区域D的边界曲线进行化简，为此作变换u=x+y,v=x-y，贝UD变为区域D0:u)2,即1_1_2(u2+v2)?—(2a(u-4au)2,即D0:+——1。24a28a2故S=(2+,厂3蝌1dudv=2+v3S=4、有(@、厂pa。d022d0注、上述计算过程的难点在于将二次曲线标准化，转化为椭圆曲线，因此，相应的面积的计算转化为椭圆面积的计算。§3第二类曲线积分一：背景变力做功问题：变力F作用在质点M上，使质点沿曲线l从A点移至B点，求F所做的功。设变力为F={尸3,j,z),Q(x,j,z),R(x,y,z)}，沿曲线l从A点至B点进行分割T：A=A0<q<•••<A=B，这里，”<"表示顺序。记A(x,y,z),Ax=x-x,Ay=y-y,Az=z-z，iiiiiii-1iii-1iii-1Axi,Ayi,Az,可正可负，利用微元法，切在微元上将其近似为常力做功，则，变量做功为可以表示为下述有限和的极限w=lim£［尸(&E,G)Ax+Q(&,n,G)Ay+R(&,n,G)Az］，入>0iiiiiiiiiiii更多的应用问题都可以表示为这类有限和的极限，数学上，这类有限和的极限就是第二类曲线积分。二：定义给定光滑曲线段l::Ab(始点为A，终点为B)，f(x,y,z)为定义在l上的有界函数，将l沿从l始点A至终点B的方向分割：记人=max{AA},Ax=i-1iT记人=max{AA},Ax=i-1ii定义1、若存在实数I，使对任意T及任意(Em,G)eAA，iiii-1i使w£f(E,n,Gj)¥=i，称I为f(x,y,z)沿曲线l从a点至b点的对变量x第二类曲线积分，记为jf(x,y,z)dx或者ljf(x,yzdx。Ab注、从定义可知：第二类曲线积分与/的方向有关。事实上，利用定义，易证：jf(x,y,z)dx=-jf(x,y,z)dx。AbBa注、几何意义：f三1时，jf(x,y,z)dx=PrjAB。Abx注、类似可定义：jf(x,y,z)dy，jf(x,y,z)dz。AbAb注、上述三个第二类曲线积分通常同时出现，合写为：jPdx+Qdy+Rdz。Ab注、当I=aB为平面曲线时，可定义第二类曲线积分jP(x,y)dx+Q(x,y)dy。aB注、当l是平面上的封闭曲线时，l上的任一点可视为始点，同时也是终点，规定l的方向为：沿l行走时，l所围的区域总在左侧-----即常说的逆时针方向。三：第二类曲线积分的计算。'x=x(t)给定曲线l*y=y(t),^<t<P，设z=z(t)l是光滑的：(x(t),y(t),z(t))GC［以,P］；不自交：t和曲线上的点——对应；A(x(以),y(以),z(以)),B(x(P),y(P),z(P))，且当t由a单调递增到P时，对应点沿l从A移至B。又设P(x,y,z)连续。定理1、在上述条件下成立jP(x,y,z)dx=jPP(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt。l=ABa证明：对任意的沿l从A移至B方向的分割T:A=A<A<•••<A=B,其中，"<”表小顺序。仍记A(x,j,乙),Ax=x-x，则由点与参数的对应关系:iiiiiii-1TOC\o"1-5"\h\zVA,丑e[a,p]，使x=x(t),j=j(t),z=z(t)，即t—A，因iiiiiiiiii而得分割此处"<"表示大小。同样，对任意(&,门，g)eAA，士e[t,t]，使iiii-1iii-1i&.=x(T.)m.=J(T.),g.=z任.)。故EP(&,n,g)Ax=Ep(x(t),j(T),z(t))(x(t)-x(t))iiiiiiiii-1=EP(x(T.),J(T.),z(T.))xr(T.)At.,记x=|^|i，d=tII，则limX^0=limEP(x(T),J(T),z(T))x'(T‘)AtlimX^0iiiiidT0=jpP(x(t),j(t),z(t))x'(t)dt。a注、上述公式仍是代入法，但注意对应成立：l的始点AI对应参数t=aI定积分下限；l的终点BI对应参数t=pI定积分上限。注、其它情形类似；注、对自交的曲线可分段处理；注、从公式可看出：第二类线积分的计算关键在于确定曲线l的方向、参数方程，并注意对应关系(包含曲线上点与参数的一一对应关系，参数与积分限的对应关系)。注、相应的积分性质仍成立。例1、j(x2+J2)dx+(x2-J2)dJ(1)l为折线J=1—|1一x|，方向由O(0,0)到P(1,1)，再由P(1,1)到B(2,0).如图：例1、(2)l沿x轴O到B：l=OB。解：(1)分段考虑：记l=OP:y=x,0<x<1,(以x为参数)l=PBy=2-x1<x<o2故，I=f(x2+y2)dx+(x2-y2)dy+J(x2+y2)dx+(x2-y2)dyTOC\o"1-5"\h\zl1l2=f1(x2+x2)dx+f1(x2-x2)dx+f2(x2+(2-x)2)dx+f2(x2-(2-x)2)(-1)dx0011=2『x2dx+f2(2-x)2dx=—013(2)L=OB:y=0,0<x<2,故：I=j2(x2+0)dx+0=3。例2：I=f(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy，l=A__CDA:闭曲线如图l解：分段处理。记l1=~AB:x=1,-1<y<1；l2=BC:y=1,x从1变到-1；l3=CD:x=-1,y从1变到-1；=DA:y=-1,-1<x<1。故，I=f(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy=f1(y2-2y)dy=3；I=J-1(x2-2x)dx=-—213I3=f-1(y2+2y)dy=-3I=f1(x2+2x)dx=2,4-13,I=I+1+1+1=0。1234例3、I顼(x旦d-(x-yd,I为圆周曲线x2+*=a2。ix2+y2解：如图取A(a,0)为始点，则A同时也为终点，方向为逆时针方向，与此对应，曲线的参数方程为l:;*=aC°*,0<0<2兀，[y=asin0故，I=f2"_L[-a(cos0+sin0)asin0一a(cos0一sin0)acos0]d00a2=f2”[-co0si0-sin0-co2s0+si0co0]d0=一2兀。0例4、I=f(y2一z2)dx+(z2一x2)dy+(x2一y2)dz，其中l为ix2+y2+z2=1在第一卦限中的边界，其方向为如图的顺时钟方向，即从A(0,0,1)到B(0,1,0)再到C(1,0,0)。解、记i1=Ab为曲线上从A到B的这一段，按给定的方向和始点和终点的位置，参数方程为i=Ab:1到0，故I=f(y2—z2)dx+(z2一x2)dy+(x2一y2)dz=0+f0sin20(-sin0)d0+f0(0-cos20)cos0d0TOC\o"1-5"\h\z五五.22「"4=f2(sin30+cos30)d0=—。03利用轮换对称性I=3/1=4。注、讨论空间曲线与其投影曲线上第二类曲线积分的联系。设空间曲线l落在曲面S:z=z3,y),l为其在xoy平面上的投影曲线，则jP(x，-yzdx+Qx(yzd,y=jPxy(zxy,dx十Q)Xyzx(y,dy,(ll'(可由一般参数方程形式下转化为定积分形式来证明。)四、二类曲线积分间的联系给定曲线段l=Ab和定义在l上的函数P(x,y,z)，则有如下两类曲线积分：第一类曲线积分jP(x,y,z)ds；l第二类曲线积分如jP(x,y,z)dx。l首先指出的是：两类曲线积分是在l上定义的两类不同的积分，二者有明显的区别，这些区别从定义和计算公式中都可以反映出来；但如上所示的两类曲线积分又是同一函数在同一曲线上的积分，应该有联系；下面，我们来寻找二者的联系。对二者作简单分析：从计算公式可知，二者都可以转化为定积分计算，由此，确定解决问题的一个思路：二者能否转化为同一种形式的定积分，由此建立其联系。进一步分析计算公式可知，二者都将转化为关于参数的定积分，能否转化为同一个参数的定积分？因此，必须选择一个合适的参数将二者联系起来，这个合适的参数就是弧长。设l=Ab，对VMGl点，取弧长S=iAmi为参数，则参数方程可写为：x=x(s),y=y(s),z=z(s),(0<s<l)(l还表示曲线l的长度)。显然，当s从0单增至l时，M从始点A沿l移至B，取曲线上每一点的切线方向与曲线l=Ab的方向一致，并以

(t,x),(t,y),(t,Z)表示选定的切线方向与三个坐标轴正向的夹角，则Ax/、x(s)-lim——=cos(t,x),

Asr0Asy'(s)=cos(t,y),z'(s)=cos(t,z)故，jP(x,y,Z)dx=j1Ab0P(x(s),y(s),ZjP(x,y,Z)dx=j1Ab0P(x(s),y(s),Z(s))x'(s)dsjf(x,y,z)ds=jpf(x(t),y(t),z(t))(x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)dtla则，jP(x,y,z)cos(t,x)ds=jlP(x(s),y(s),z(s))cos(t,x)x：'x'2(s)+y'2(s)+z'2(s)dsi0=j；P(x(s)，贝s),Z(s))cos(t,x)\‘，cos2(',x)+cos2(',y)+cos2(',Z冲=jlP(x(s),y(s),z(s))cos(t,x)ds0故，jP(x,y,Z)dx=jP(x,y,z)cos(t,x)ds；TOC\o"1-5"\h\zAbi类似，jQ(x,y,z)dy=jQ(x,y,z)cos(t,y)ds；AbijR(x,y,z)dz=jR(x,y,z)cos(t,z)ds。Abi因而也有jPdx+Qdy+Rdz=j[Pcos(t,x)+Qcos(t,y)+Rcos(t,z)]ds。ii这就是两类曲线积分关系式。§4第二类曲面积分一、曲面的侧曲面是日常生活中常见的几何图形，就我们对曲面的直接的认识看，曲面应有两个侧面，常说的正面和背面，这类曲面为双侧曲面。如一张白纸就是一个简单的双侧平面，这种曲面具有这样的性质：假设小虫子在曲面上沿闭路爬行，不经过边界，回到原位仍在同一侧。但是，确实存在只有一个侧的曲面一一单侧曲面，如Mobius带，它具有这样的性质：从曲面上任一点不经过边界可达到曲面上任一点；或者曲面上任意两点都可以用不经过边界的曲线连接。我们本节要介绍的积分，就与曲面的侧有关。那么，如何从数学上给出这些曲面严格的定义？设£是非闭的光滑曲面，因而每一点都有切平面和有两个相反的法线方向，动点M从定点M0出发，沿£上一个不过£的边界的闭路r从M0出发再回到M。点，取定M0的一个法线方向为出发时的方向，当M从M0点连续运动时，法线方向也是连续变化。定义1、若动点M沿任意的闭路r从M0出发又回到M0时，指定的法线方向不变，则称£为双侧曲面；若存在一个闭路r，使得动点M沿r从M0出发又回到M0时，指定的法线方向与原指定的法线方向相反，称£为单侧曲面。注、常见的都是双侧曲面，因而，今后我们只讨论双侧曲面。既然是双侧曲面，其必有两个侧，因而须指明曲面的侧，用于表明曲面的方向。二：双侧曲面的方向这里，我们给出双侧曲面的两个侧的描述，用于规定侧的方向。设£是双侧曲面，任取M0e£，选定M0的切平面法线的其中的一个方向，则£上其它任何一点的法向也确定：当M0不越过边界移至此点时对应的法向，由此就确定了曲面的一个侧，改变选定的法向，即得另一侧。侧的定量描述：给定光滑曲面£:z=z(x,y)，z(x,y)具连续偏导数，因而£上任一点(x,y,z)都存在切平面，点(x,y,z)处的法线的方向余弦为TOC\o"1-5"\h\zcos以=土，七x,cosP=±,^y,■1+z2+z2(1+z2+z2xyxy…,1cosy=±,=，V1+z2+z2其中+,-对应于两个相反的法向。因而，选定一个符号，确定一个对应的法向，进而确定曲面的一个侧。各种侧的规定：下面对经常遇到的几种侧预以约定：相对于z轴方向：cosy>0,(n,z)=y为锐角，对应的侧为上侧；coy<0,(n,z)=y为钝角，对应的侧为下侧。注、cosy=0时，z轴落在曲面内，相对z轴没有侧，但可有如下的约定：相对于y轴方向：cos。>0,(凡y)=p为锐角，称对应的侧为右侧;co§<0,(n,y)=p为钝角，对应的侧为左侧。相对于x轴方向：cos以>0,(n,x)=a为锐角，称对应的侧为前侧;co&<0,(和,x)=a为钝角，称对应的侧为后侧。注、£有时即可看成具上、下侧的曲面，又可视为具右左式或前后侧的曲面；(可根据观察者的视角和要求来规定)我们规定封闭曲面的侧：向着所围立体的一侧为内侧；背着所围立体的一侧为外侧。注、为讨论上的简便，我们引入无重点曲面。'x=x(u,v)设£:<y=y(u,v),(u,v)gD，若D中点(u,v)和£上的点、z=z(u,v)(x,y,z)是一一对应的，即一对参数(u,v)只能确定唯一的点，称£为无重点曲面。注、存在有重点曲面如闭球面。对有重点曲面可通过分割化为无重点曲面，因而今后涉及的非封闭曲面都视为无重点曲面。三、第二类曲面积分的定义1背景不可压缩流体的流量问题。设不可压缩流体(密度为1)的流速为宁={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，计算单位时间内通过定向曲面£的流量。、特殊情形假设流速为常数v={P,Q,R}，流经的曲面为平面£，其正向对应的流向为常数向量n(即平面£的法线方向)，平面的面积为S，则流量为v•n•S。、一般情形我们利用微元法将其转化为特殊情形来处理，即通过对曲面的分割，将其分割成n个小曲面块，在每一个小曲面块(微元)上，将其近似视为情形1，即小曲面块近似为平面，曲面块上任一点对应的流速和法向视为整个小曲面块近似平面上的常数流速和法向，通过求和，取极限，将流量计算转化为下述和式的极限:lim^v(M)-n(M)•AS^>°i=1=limE[P(M)cosa+Q(M)cosP+R(M)cosy]ASTOC\o"1-5"\h\z入>0iiiiiiii=1=lim{8p(M)cosaAS+^Eg(M)cosPAS+8r(M)cosyAS}入>0iiiiiiiiii=1i=1i=1=lim8p(M)cosaAS+lim^Eg(M)cosPAS+lim£r(M)cosyAS入项―入项入项―''i=1i=1i=1而(cosa.,cosp.,cosy.)为曲面块上选定点的对应的法向，利用面积计算公式，|cosy,AS,|正是第i个小曲面块£.在功y面上投影区域的面积，类似，cosaAS|、|cosPAS是£在yoz、xoz面上投iiiii影区域的面积。上述微元法解决流量问题的过程中产生的有限和的极限，很自然地产生某种积分，显然，这种积分就是本节将要介绍的第二类曲面积分。当然，第二类曲面积分的背景不仅是流量的计算问题，工程技术中，很多问题的解决都会产生上述有限和的极限，因此，第二类曲面积分具有广泛的应用背景。在上述有限和的最后3个形式中，采用不同的形式，会从不同的角度引入不同形式的第二类曲面积分。我们将从第三个形式出发引入第二类曲面积分，为此先引入区域的有向投影及其相关概念。2、双侧曲面的有侧(向)投影和有侧面积情形1、£为具有上、下侧的双侧曲面定义2、设D是xoy平面内具有上、下侧的双侧平面区域，如果实数E满足：5=<SD，耳又D为上们时，其中S为区域。的面积，称5为双侧-S，取D为下侧时D平面区域D的有侧（向）面积。设£是具上、下侧的双侧曲面，D是£在功y平面内的投影区域，则D是具上、下侧的双侧平面区域。定义3、称双侧平面区域D为双侧曲面£在功y平面内的有侧（向）投影（区域）。其中，D的上侧对应于£的上侧，下侧亦对应。注、当D为双侧曲面的有侧投影时，就可定义D的有侧面积。注、有侧面积是相对几何量，可正也可以负。情形2、£为具有左、右侧的两侧曲面时，可类似定义其在xoz平面内的有侧投影区域及相应的有侧面积。情形3、£为具有前后两侧的曲面时，亦然。3、第二类曲面积分的定义我们将从不同角度引入双侧曲面的各种第二类曲面积分的定义。设£是非闭的具有上、下侧的光滑曲面，作£的分割T:£1,£2,,£，则对应于xoy平面内的有侧投影区域。，形成对应的分割T:D1,D,...,D〃，设P（x,y,z）定义在£上，仍记人=T。定义4、若存在实数I，使对任意分割T及任意点（&j叫,匚j）e£j，都成立：limWP（§，气,；i）*=IA^°j=11其中七为有侧投影区域D的有侧面积，称I为P（x,y,z）在£上沿I取定一侧的关于x,y的第二类曲面积分，记为jjP（x,y,z）dxdy。£注、由定义知：第二类曲面积分和曲面的侧有关，因此，提到第二类曲面积分时，必须指明曲面的侧。注、取定的侧在定义中的作用是用来确定有侧投影区域的有侧面积。事实上，由定义，当取定£的上侧时，由于UD=SD,此时’'jjP(x,y,z)dxdy=lim/P(&.,门.,匚.)SD；Z?Q.=i1当取定£的下侧时，由于S=-S，故DDjjP(x,y,z)dxdy=-lim£P(g,门，匚)S。£X^0...D因而，若用-£表示指定一侧的双侧曲面的另一侧，则jjP(x,y,z)dxdy=-jjP(x,y,z)dxdy。注、类似可以定义下述两类曲面积分:对具有前、后两侧的光滑曲面£，可以定义Q(x,y,z)在曲面£上沿给定一侧的关于y、z的第二类曲面积分jjQ(x,y,z)dydz。£对具有左、右两侧的光滑曲面£，可以定义R(x,y,z)在曲面£上沿给定一侧的关于z、x的第二类曲面积分jjR(x,y,z)dzdx。£注、特别注意三个第二类曲面积分的积分变量的顺序dxdy,dydz,dzdx，这是习惯写法。注、一般地：对曲面£，从z轴方向看去，它有上、下两侧，从y轴方向看有右、左两侧，从x轴方向看，有前后两侧。因而，在同一个曲面£上，可同时定义三种第二类曲面积分，简记为：jjPdxdy+Qdydz+Rdzdx，其中，积分沿£给定的£一侧。此时，对£给定的一侧：(通常并不以上下、左右、前后侧指明)当从z轴方向看时，它或为上侧、或为下侧，故可计算jjP(x,y,z)dxdy，而当从y轴方向看时，它或为右侧、或为左侧，故可计算jjR(x,y,z)dzdx，而当从x轴方向看时，它或为前侧、£或为后侧，因而可计算jjQ(x,y,z)dydz。

注、背景中的流量问题正是流速在曲面上关于流向的第二类曲面积分。注、特殊情形1、若£平行于z轴，即£是母线平行于z轴的柱面，则£在时平面的投影为一条曲线，此时g=0,故jjP(x,y,z)ddy=0；2、若£是母线平行于x轴的柱面，则jjQ(x,y,zz)dydz=0；3、若£是母线平行于y轴的柱面，则jjR(x,y,z)dzdx。£四、第二类曲面积分的计算。首先计算jjP(x,y,z)dxdy，沿£取定的一侧。£此时，设定£为具有上、下两侧的双侧曲面，因而可表示为£:z=z(x,y),(x,y)gD显然：D是£在xoy平面内的投影区域，又设P(x,y,z)为£上的连续函数。由定义，当£取上侧时，则D=iim£p&,门，z&m))sniiiiD：dT0I=jjD=iim£p&,门，z&m))sniiiiD：dT0I=jjP(x,y,z(x,y))dxdy，D当£取下侧时jjP(x,y,z)dxdy=-jjP(x,y,z(x,y))dxdy。其次，计算jjQ(x,y,z)dydz，沿£取定的一侧。£此时，设定£为具前、后两侧的双侧曲面，故可表示为£:x=x(y,z),(y,z)gD，其中D为£在yoz平面内的投影，因而，

取£的前侧时，jjQ(x,y,z)dzdx=jjQ(x(y,z),y,z)dydz;£D取£的后侧时，jjQ(x,y,z)dzdx=-jjQ(x(y,z),y,取£的前侧时，£D最后，沿£取定的一侧计算jjR(x,y,z)dzdx。£此时，设定£为具右、左两侧的双侧曲面，故可表示为£:y=y3,z),3,z)gD，其中D为£在wz平面内的投影，因而，取£的右侧时jjR(x,y,z)dzdx=jjR(x,y(x,z),z)dzdx；jjR(x,y,z)dzdxjjR(x,y,z)dzdx=-jjR(x,y(x,z),z)dzdx。沿空间曲面的第二类曲面积分有三种类型，对每特别强调一种类型的第二类曲面积分的计算，都需要将曲面视为相应的类型才能计算。通过上述分析，第二类曲面积分计算的步骤为：、明确要计算的第二类曲面积分的类型；、确定相应的曲面形式(包括方程形式和投影)；、确定曲面的侧；、代入公式计算。注、计算过程中，经常利用积分可加性，将曲面按计算对象的不同进行分割。五、例子例1、计算/=jj(x+1)dydz+ydzdx+dxdy，其中£是如图四£面体OABC的表面，积分沿处侧进行。解、先计算I]=jjdxdy。由于£=£oab+£obc+£OCA+£ABC，显然jjdxdy=jjdxdy=0。£obc£oac

对£oab：Z=0，（*'＞）G^OAB=D，由于£^AB的外侧从z轴方向看为下侧，故，jjdxdy=-jjdxdy=-j1dxf1-xdy=-，对£:z—1—x—y,ABC1o23y)gAABC=D,由于£ABC的外侧从1o23y)gAABC=D,由于£ABC的外侧再计算12=jj(x+1)dydz，由于£oab、£oca在yz平面的投影为直线段故，jj(x+1)dydz=jj(x+1)dydz=0。影为直线段£oab£oac对£obcx=0,(y,z)eAOBC，此时，外侧从x轴看为后侧，对£ABC前侧，故，jj(x+1)dydz=-对£obc对£ABC前侧，故，£OBCD2jj(x+1)dydz=jj(1-y-z+1)dydz=-，D3£ABC216jj(x+1)dydz=jj(1-y-z+1)dydz=-，D3£ABC216故12=-2+最后计算13=jjydzdx显然jjydzdx=jjydzdx=0。£obc£oab对于£oac对于£ABC:y=0,(x,z)eAOAC=D，外侧为左侧，故，j"J］。如x=0；对于£oac对于£ABC:y=1—z—x,(x,z)eAOAC=D，外侧为右侧，故，jj£Jdzd项DE5=6，

故I==jj=jjy2dzdx=3兀bR336E十----111因而，i=i+1+1=g+g=§。注、侧的判断一一特殊点方法，由双侧曲面的定义，曲面上任一点的法线方向决定曲面的侧，因而，可以通过曲面上特殊的点法向确定侧的方向。例2:计算I=jjx2dydz+y2dzdx+z2dxdy，£为球面£(x—a)2+(y—b)2+(z—c)2=R2，取外侧。解、由于球面为有重点的封闭曲面，计算时须分割为无重点曲面。先计算I=jjz2dxdy，此时须将球面分割为上半球面1£和下半球面£],£2在xoy平面的投影区显然，£1的外侧相对于z轴£:z=e+gR2—(x—a)2—(y—b)2£:z=e—JR2—(x—a)2—(y—b)2域为：D:(x—a)和下半球面£],£2在xoy平面的投影区显然，£1的外侧相对于z轴（可以通过z轴上的球面为上侧；而£2的外侧相对于z轴为下侧的两个顶点的法向确定侧的方向)。故，I=jjz2dxdy+jjz2dxdy

1£1（可以通过z轴上的球面-]e—、/R2—(x—a)2—(y—b)2dxdy=jje+\：R2—(x—a)2—(y—b)2-dxdy—Djj[Dx-y=4ejjvR2—(x—a)2—(y—b)2dxdy78c\：R2一r2rdr=—neR3

3x=a+=c兀dojRy=b+r-]e—、/R2—(x—a)2—(y—b)2dxdy78c\：R2一r2rdr=—neR3

3I=jjx2dydz=§兀aR3；例3、计算I=f!^'=dxdy,其中£为曲面z=气*+y2z.,.：x2+y2与平面z=1,z=2所围之表面，沿外侧。解、如图：£=七+£2+£3，其中：£1:z="xd2\：'x2+y200r+y2,(x,d2\：'x2+y200r1<x2+y2<4；£2:z=1,(x,y)eD2,x2+y2<1；£z-2,(x,y)eD,x2+y2<4。故，而£「£2的外侧对应于下侧，£3的外侧对应于上侧，ezex2+y2故，I-JJdxdy=一,1.1一dxdy=-J2"d0J2竺-rd=-2k(e2-e)=-JJJdxdy=D3x2+y2J=-JJJdxdy=D3x2+y2J2KdOJ2e-rdr=-4ne200r四、两类曲面积分之间的联系在第一类曲面积分的导出过程中，曾给出曲面£面积的计算公式S=jjdxdyDx^cos(再,z)其中：D巧为£在xoy平面内的投影，(n,z)表示曲面法向与z轴的夹角，由于采用绝对值，因此，对法向的选择没有要求。现考虑第二类曲面积分I=jjP(x,y,z)dxdy，沿£取定的一£侧，记Y为对应于取定侧的法向与z轴正向的夹角。当取定£为上侧时，此时y为锐角，故I=lim»(&,nK)•s=lim4(&,nK)•STOC\o"1-5"\h\ziiiDiiiD入t0.<i入t0.<ii=1i=1=lim£p(^，门，匚)cosy*-S,niiiiD人项.1ii=1=jjP(x,y,z)cosydS£当取定£为下侧时，此时y为钝角，故:I=lim8p(&,n,匚)•S=lim£p&,n,匚)•(-S)TOC\o"1-5"\h\ziiiDiiiD入t0.<i入t0.<ii=1i=1=lim£p(g，门，匚)cosy*-SiiiiD"0i=1D=jjP(x,y,z)cosydS。£故，不论取£为上侧还是下侧，总有jjP(x,y,z)dxdy=jjP(x,y,z)cosydS。££类似，若记P为对应于取定£的左或右侧的法向与y轴正向的夹角，则jjQ(x,y,z)dzdx=jjQ(x,y,z)cospdS；££同理，jjR(x,y,z)dydz=jjR(x,y,z)cosadS。££即：jjPdxdy+Qdzdx+Rdydz=jj[pcosy+QcosP+Rcosa^dS。££这就是两类积分之间的联系。注、从背景中流量计算问题的最后3个有限和的极限式中可以观察到，jj[Pcosy+QcosP+Rcosa]dS正是从第一个和式得£到的第二类曲面积分。有些课本是以此式为第二类积分的定义。五、参数形式下第