第11讲 空间中的垂直关系

普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］高三新数学第一轮复习教案（讲座11）—空间中的垂直关系课标要求：以立体儿何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：♦一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。♦一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：♦两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。命题走向近年来，立体儿何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体儿何要求进行了降低，重点在对图形及儿何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。要点精讲1.线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。PO16Z,0ea推理模式：PAfla=Aaua,a1AP注意：⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直a内的直线&其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理」2）要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

定义：如果一条直线1和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线1和平面c（互相垂直a\为•%，.其中直线1叫做平面的垂线，平面a叫做直线1的垂面，直线与"/平面的交点叫做垂足。直线1与平面a垂直记作：11a。―/直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内0的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平3.面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直二＞面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直二＞线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。・典例解析题型1：线线垂直问题例1.如图1所示，己知正方体ABCD—AiBiCiDi中，E、F、G、H、L、M、N分别为AiDi，AiBi，BC,CD,DA,DE,CL的中点，求证：EF_LGF。证明：如图2,作GQJ_BiG于Q,连接FQ,则GQJ_平面AiBiGD”且Q为B】Ci的中点。在正方形AiBiGDi中，由E、F、Q分别为AiDi、&B】、BQ的中点可证明EF1FQ,由三垂线定理得EFlGFo点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体儿何从考查、论证思想。例2.（2006全国II,19）如图，在直三棱柱ABC—AjBiCi中，AB=BC,D、E分别为BBi、AC】的中点，证明：ED为异面直线BBi与AC】的公垂线。证明：设0为AC中点，连接EO,B0,则EO4*iC,

又C1C座B1B,所以EO^DB,EOBD为平行四边形，ED〃OB。VAB=BC,/.BO±AC,又平面ABC±平面ACCiA，BOu面ABC,故BOX平面ACCiA，/.ED±平面ACC1&,BD±ACi，ED_LCC”..・ED_LBBi，ED为异面直线AC】与BBi的公垂线。点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。题型2：线面垂直问题例3.(1)(2006北京文，17)如图，ABCD—AiBiGDi是正四棱柱，求证：BD±平面ACCiAi。(2)(2006天津文，19)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF〃上BC。=2证明FO〃平面CDE;；（II）设BC=J〒CD,证明EO1平面。证明：（1）VABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，/.CC1±平面ADCD,・.・BD_LCCiVABCD是正方形..・BD_LACXVAC,CCiU平面ACCiAi,且ACClCCi=C,・.・BDJ_平面ACCiAi。（2）证明：（I）取CD中点M,连结OM。在矩形ABCD中，OM〃LbC,又EF〃LbC,=2=2则EF々OM.连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形。FO〃EM.又VFOX平面CDE,且EMu平面CDE,.•.FO〃平面CDEo连结FM。由(I)和已知条件，在等边ACDE中，CM=DM,EM1CD

且EM=—CD=-BC=EF.22因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO±FMo•.•CDJLOM,CD_LEM,.・・CD_L平面EOM,从而CD±EO.而FMDCD=M，所以EO±平面CDF.点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。例4.如图，直三棱柱ABC—ABiG中，AC=BC=1,ZACB=90°，心=V2,D是ABi中点.（1）求证CiD_L平面&B；（2）当点F在BBi上什么位置时，会使得ABi±平面GDF?并证明你的结论。分析：（1）由于CiD所在平面AjBiG垂直平面AB,只要证明C】D垂直交线AB】，由直线与平面垂直判定定理可得GD_L平面AB。它与BBi的交点即为所求（2）由（1）得CiD_L_ABi,只要过D作ABi的垂线,的它与BBi的交点即为所求证明：如图，•・・ABC—ABiCi是直三棱柱，/.AiCi=BiCi=1,且ZACiBi=90°。又D是ABi的中点，..・GD±AjBioAAi_L平面ABiCi,CiDU平面ABiCi,/.AAi_LCiD,..・CiD_L平面AAjBiB。解：作DE±ABi交ABi于E,延长DE交BBi于F平面GDF,点F即为所求。CiD_L平面AAiBB,ABiU平面AAiBjB,/.CiD_LABi.又AB】±DF,DFDGD=D,/.ABi_L平面GDFo点评：本题（1）的证明中，证得GD±ABi后，由ABC—AjBiG是直三棱柱知

注意平面Ci&Bi_L平面心BiB,立得CiDJ_平面AA^iB。（2）是开放性探索问题,采用逆向思维的方法分析问题o题型3：面而垂直问题注意例5.如图，ZYABC为正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点，求证：（1）DE=DA；（2）平面BDMJ_平面ECA；（3）平面DEA_L平面ECAo分析：（1）证明DE=DA,可以通过图形分割，证明△DEF^ADBAo（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM±EA,取AC中点N,四边形MNBD是矩形。从而证明DM上平面ECA。证明：（1）如图，取EC中点F,连结DF。EC_L平面ABC,BD//CE，得DB平面ABC。二DB±AB,EC±BCoBD//CE,BD=-CE=-FC,则四边形FCBD22连结MN、NB,易得是矩形，DF±ECo连结MN、NB,易得是矩形，DF±ECo/.RtADEF^RtAABD,所以DE=DA°(2)取AC中点N,连结MN、NB,M是EA的中点，//1二MN义一EC。2由BD-EC,且BD_L平面ABC,可得四边形MNBD是矩形，于是DM_L2MNoDE=DA,M是£入的中点，DM±EA.又EAPlMN=M,

/.DM_L平面ECA，而DMU平面BDM,则平面ECA_L平面BDM。(3)DM_L平面ECA,DMU平面DEA,/.平面DEA_L平面ECAo点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。例6.（2003京春理，19）如图所示，正四棱柱ABCD—AjBiCiDi中，底面边长为2扼，侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点，EFABD=Go（I）求证：平面B】EF_L平面BDDiBi；（II）求点Di到平面BiEF的距离d；（III）求三棱锥Bi—EFDi的体积Vo（I）证法一：连接AC。..•正四棱柱ABCD—ABiCiDi的底面是正方形。/.AC1BD,又AC_LD】D,故AC_L平面BDDjBiVE,F分别为AB,BC的中点，故EF〃AC,AEF±平面BDD】Bi・.・平面BiEF_L平面BDDiBjo证法二：VBE=BF,ZEBD=ZFBD=45°,AEF1BD.・.・平面BiEF_L平面BDDiBjo（II）解：在对角面BDDiBi中，作D1H±B1G,垂足为H.・•平面BiEF_L平面BDD1B”且平面B]EFC平面BDDiBi=B】G,・.・DiH_L平面B^F,且垂足为H,.•・点D】到平面B】EF的距离d=D]H。解法一：在RtADiHBi中，D】H=DiBi・sinDiBiH,•.・DiBi=V^ABi=4,sinDiBiH=sinBiGB=———.———-==,g耳Vi73=网=4・#二四应.V1717…QHQB解法二：VADiHB^ABiBG,二一=3=网=堕我应。BjG17图B^B耳3=网=堕我应。BjG17图解法三：如图所示，连接DiG,则三角形DiGBi的面积等于正方形DBBiDi面积的一半.即-BiG・DiH=-BBi3o

9?JJ••装扁(III)V=VBefd=%bef=-・d・Sabef=4.4£.上.2而二步.点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力。并进行一定的逻辑推理，在研究本题时,要注意摘出平面图形，便于计算。的洞察力。并进行一定的逻辑推理，在研究本题时,要注意摘出平面图形，便于计算。SDu面SCD,・.SDu面SCD,・.・AH_LSD,例7.（1）如图，SA1正方形ABCD所在平面，过A作与SC垂直的平面分别交SB、SC、SD于E、K、H,求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.证明：.・・SA1面ABCD,..・SA1CD,・.・ABCD为正方形，..・CD1AD,・.•SA与AD相交，..・CD1面SAD,AHu面SAD,・•・CD1AH.由已知，（3_1面皿11,且AHu面AEKH,・.・SC1AH,・.•SCnCD=C,.・.AH_L面SCD,即H为点A在直线SD上的射影，同理可证得E为点A在直线SB上的射影。点评：直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解决两条直线的主要途径之一，另外，三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角等也是证明两条直线垂直的常用的方法。（2）（2006湖北理，18）如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABG口中，P是侧棱CG上的一点，CP=ni。（I）试确定m,使直线AP与平面

BDDiB所成角的正切值为3；(ID在线段AQ±是否存在一个定点Q，使得对任意的m，DiQ在平面APR上的射影垂直于AP,并证明你的结论。解法1：(I)连AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD]与相交于点，连结0G,因为PC//平面BDDiB,平面BDQBC平面APC=OG,一…1m故OG〃PC,所以OG=-PC=—o22又AO_LBD,AO_LBBi，所以A0±平面BDD^,故ZAG。是AP与平面BDD^所成的角。V2在RtAAOG中，taiiAGO=—==3^2,即m=-oGOm3所以，当m=|时，直线AP与平面BDD^所成的角的正切值为3JI。(II)可以推测，点Q应当是AiG的中点Oi，因为DiOi_LAiCi,且DiO】_LAiA,所以D]Oi_L平面ACCiA”又APU平面ACCiAi,故DiOilAPo那么根据三垂线定理知，Di。】在平面APDi的射影与AP垂直。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。例8.如图1所示，已知AiBiCi—ABC是正三棱柱，D是AC的中点。证明AB/DBCi；假设ABi_LBCi，BC=2o

求线段AB］在侧面BiBCCi上的射影长。求线段AB］在侧面BiBCCi上的射影长。证明：（1）如图2所示，•「AiBiCi—ABC是正三棱柱，二四边形BiBCCi是矩形。连结BiC,交BCi于E,则BE=EC。连结DE,在△ABC中，VAD=DC,•••DE〃ABi，又因为ABi（X平面DBG，DeS平面DBQ,・・・ABi〃平面DBCi。(2)作AF_LBC,垂足为F。因为面ABC±面BiBCC”AAF±平面BiBCCi。连结BE则B】F是AB】在平面B^CQ内的射影。VBCi±ABi，.\BCi±BiFc四边形BiBCCi是矩形，AZBiBF^ZBCCi=90°,又ZFBiB=ZCiBC,AAB^Fs^BCCi，mB]BBFs^BCCi，BCCCiB]B又F为正三角形ABC的BC边中点，因而BiB?=BF・BC=1X2=2。于是BiF^BiB’+BFM,.・心「=白，即线段AB1在平面BiBCCi内的射影长为占。点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。题型5点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。题型5：垂直的应用例9.己知A是边长为a的正三角形BCD所在平面外一点，AB=AC=AD=a,求异面直线AB与CD的距离。解析：分别取AB、CD解析：分别取AB、CD中点E、F,连结EF（图⑴）。连结EC、ED（图⑵）*.*BC=BD=a,/.AEBC竖AEBD・.•点F为CD中点又ABAEF=E,BE为公共边，ZEBC=匕EC=ED・.・EF±CD同理：FE_LABCDDEF=F,60°,(图⑶)・.・EF即为异面直线AB与CD的公垂线段如图(2),在RtACEF中，ZCFE=90°,CF=-a,2/2R=—a..•异面直线AB与CD的距离—ao22点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。例10.如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=a且它们所成的角为30。。⑴求证：EG1HF，⑵求四边形EFGH的面积。解析：⑴在AABD中，E、H分别是边AB、AD的中点，二EH〃上BD,2在ACBD中，F、G分别是边CB、CD的中点，「.FG〃上BD,AEH〃FG且EH=FG=-BD,2同理：EF〃HG且EF=HG=-AC,2*.*AC=BD=a,EF=FG=GH=HE=—a,2.・・四边形EFGEI为菱形，.・・EG1HF。(2)・「EF//AC,FG〃BD,AZEFG(或ZEFG的补角)即为异面直线AC与BD所成的角,由己知得：ZEFG=30°(或ZEFG=150°),.・・四边形EFGEI的面积为:2x(-EFFGsinZEFG|=-x-x-=-a2o

uJ2.・・四边形EFGEI的面积为:题型6：课标创新题例11.（1）（2000全国，16）如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADDiA、面BCCiBi的中心，则四边形BFDiE在该正方体的面上的射影可能是图（2）的（要求：把可能的图的序号都填上）.图（1）①②图（1）①②③图(2)答案：②③解析：..•面BFDiE_L面ADDiA，所以四边形BFD】E在面ADDq上的射影是③，同理，在面BCCiBi上的射影也是③。过E、F分别作DDi和CCi的垂线，可得四边形BFDiE在面DCCiDi上的射影是②,同理在面ABB1&,面ABCD和面&B1GD1上的射影也是②。（2）（2000±海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。例12.（1999全国，18）Of、0是两个不同的平面，in、n是平面a及0之外的两条不同直线.给出四个论断：m_Ln②a.Lp③n_L0④m_La以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命••题：O答案：m±a,n_L£,a.Lp=>in_Ln或m±a,n_L。_L0点评：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质.但题型较新颖，主要表现在：题目中以立体儿何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体。考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。五.