高等流体力学第二讲课件

北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程

一、基本方程推导的基础知识

二、基本方程的推导

三、N—S方程的求解途径

四、经典问题的解析解

五、小雷诺数下N—S方程的近似解北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程

一、基本方程推导的基础知识

1、质量体与控制体的概念 （1）定义

1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体团——对应于拉氏描述。

2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标系固定不动的有限空间——相应于欧拉描述。 （2）特点与区别 几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？

2）体内流体体积是否变化？

3）自身形状是否变化？

4）通过界面是否有质量交换？

5）通过界面是否有动量交换？

6）通过界面是否有能量交换？北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、雷诺输运定理（Reynolds’TransportTheorem） 考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为：VM；

t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S

质量体内总量： 控制体内总量：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

对质量体的导数 对控制体的导数北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）推证结果 当控制体的体积Vc不变时，有： 当Φ为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方向与速度矢量的点积）：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、体积分与面积分的转换关系——广义高斯公式

（1）标量函数

（2）对矢量函数北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 4、基本定律的概念

基本定律的质量体形式表示——拉格朗日描述法的表现形式 （1）质量守恒定律的概念 微体积的质量： 质量体的总质量：

质量守恒的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）动量平衡的概念 牛顿第二定律：

微体积的动量： 质量体的总动量：

动量平衡的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）动量矩平衡的概念 动量矩对时间的导数：

微体积的动量矩： 质量体的总动量矩：

动量矩平衡的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（4）能量守恒的概念 热力学第二定律：

微体积流体的能量： 质量体的总能量：

外界对质量体所做的功率

单位时间内输入质量体的热量北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

二、基本方程的推导

用控制体描述的基本定律——欧拉描述法的表现形式。

1、质量守恒——连续性方程

1）积分形式

2）微分形式

3）不可压缩流体的概念

4）不可压缩流体连续性方程守恒形式非守恒形式矢量表示：；i=1，2，3张量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 5）应用举例 确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连续方程表达形式。 解：1、描述参数 设河道宽：B，河道静止水深：h(x);

波面高度：ξ(x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)； 控制体及坐标选择如图。

2、由积分形式的连续方程：

3、结果：

对深水小波幅有：例图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、动量平衡——流体运动方程

1）积分形式

2）微分形式

守恒形式非守恒形式张量表示：矢量表示：矢量表示：张量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

3）N—S方程（Navier—StokesEquations） 引进牛顿流体本构方程，运动方程称为N—S方程。

μ、λ为常数，在直角坐标下有

矢量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

当流体不可压时，有：

N—S方程为

张量表示：矢量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、动量矩平衡

1）积分形式：

2）微分形式 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 4、能量守恒

1）积分形式：

2）微分形式 其中对牛顿流体

Ф——耗散函数，为不可逆过程。

北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3）耗散函数Ф在直角坐标中的表示

取：λ=-2μ/3

Φ表示的损失包括：

非对称膨胀或压缩

+流体形状改变两部分北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

三、N—S方程的求解途径

1、流体力学方程组的封闭性 当设k、cV、μ及λ为常数下，有未知量12个：

{ρ、u、v、w、T、p及六个σij}

需补充7个方程，即： 状态方程： 本构方程：运动方程：连续方程：能量方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

2、N—S方程的属性（千禧年7大数学难题之一） 非定常、非线性、二阶对流扩散偏微分方程组。 基本简化思路 （1）忽略非定常、非线性项 对质量力仅有重力作用情况： （2）忽略粘性项——欧拉方程 （3）解决流体问题的基本手段（方法）：解析法；数值法；实验法。运动方程：连续方程：运动方程：运动方程：运动方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

3、N—S方程的解析法求解途径 （1）特定的、简单问题的解析解 仅有有限的几个解析解，其成果为近似解的构建方法，验证数值解法提供依据。 （2）近似解法

N—S方程的无量纲形式 参照量：长度L0；速度U0；压强p0；时间T0=L0/U0。

1）小雷诺数小的近似解——蠕动问题（CreepingFlowing）

2）大雷诺数下的近似解——有势流动与边界层的衔接解法 运动方程：连续方程：即：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

四、经典问题的解析解

1、两无限大平行板间的流动

——库特—泊肃叶流（Couette—Poiseuille） （1）问题分析 平面（xoy）定常流动，v=0，w=0，u(x,y)=u(y)

上平板速度：U，下平板静止。 （2）笛卡尔坐标系N—S方程分析题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）得方程 （4）边界条件

y=0，u=0；y=h，u=U。 （5）方程的解 （6）解的分析 是Couette流动解与Poiseuille流动界的叠加。压强沿y方向静压分布ρgh，当h很小时可认为沿y不变北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、水平无限长柱体内的流动

——哈根—泊肃叶流动（Hagen—Poiseuille） （1）流动分析 柱坐标下，定常轴对称流动， 笛卡尔坐标下，有： 不计重力作用下有：题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）柱坐标下N—S方程

连续方程：运动方程：其中：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）得方程 （4）边界条件 （5）方程的解 （6）最大流速 （7）流量

（8）平均流速：值有限北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

直角坐标系下的解法 （1）方程 （2）边界条件 （3）待定系数解 解得：值有限北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、两无限长同心圆柱间的流动问题

——Couette流动 （1）流动分析 （2）方程组 （3）边界条件

题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（4）方程的解 （5）剪应力计算 （6）计算单位长度圆柱的阻力矩北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

五、小雷诺数下N—S方程的近似解

1、小雷诺数近似下的N—S方程

式中压强项包含了质量力-gρz。

2、下雷诺数球体绕流问题的解（Stokes流动，1851） （1）问题分析 与流动有关的变数（R，θ）；

运动方程：连续方程：题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）球坐标系问题的N—S方程 （3）边界条件

1）求面无滑动：

2）无穷远来流体条件：

连续方程：运动方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3）解具有的形式 对应边界条件

4）解出的结果北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 5）球体所受阻力的合力

以来流方向为z向， 由压强差产生的阻力： 由切应力产生的阻力： 阻力合力大小： 阻力系数：

6）适用条件北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 7）奥森（Oseen）修整（1910） 提出考虑主要项，方程修整为： 计算阻力大小： 适用条件：

8）White（1974）经验公式 适用范围：运动方程：连续方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、垂直壁面流动问题 （1）问题要求 粘性流体从平面垂直壁溢出，要求确定溢出单宽流 量及沿壁面厚度的流速分布。 （2）问题分析 满足小雷诺数条件，且有：

（3）适用方程题图运动方程：连续方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（4）所得结果 （5）试验验证，确定适用条件 当满足 适用。单宽流量：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程本讲内容小结

1、雷诺数运定理—— 2、流体运动基本方程

3、N—S方程的解析解法 （1）N—S方程

运动方程：连续方程：（2）运动方程：（1）连续方程：（3）能量方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（1）简单为题的解析解

1）两平板间的Couette—Poiseuille流动

2）圆柱内的Hagen—Poiseuille流动

3）同心圆柱内的Couette流动 （2）小雷诺数下的近似解析解

1）基本方程

2）球体绕流问题

3）重力作用下的直壁流动问题运动方程：连续方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

本讲结束北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程

一、基本方程推导的基础知识

二、基本方程的推导

三、N—S方程的求解途径

四、经典问题的解析解

五、小雷诺数下N—S方程的近似解北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程

一、基本方程推导的基础知识

1、质量体与控制体的概念 （1）定义

1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体团——对应于拉氏描述。

2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标系固定不动的有限空间——相应于欧拉描述。 （2）特点与区别 几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？

2）体内流体体积是否变化？

3）自身形状是否变化？

4）通过界面是否有质量交换？

5）通过界面是否有动量交换？

6）通过界面是否有能量交换？北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、雷诺输运定理（Reynolds’TransportTheorem） 考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体上体积分随时间的变化率间的关系。 （1）定义 对一物理量Φ（x,y,z,t）， 质量体体积为：VM；

t时刻，对应控制的体积为：VC； 此时取控制体的截面积为质量体的界面：S

质量体内总量： 控制体内总量：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

对质量体的导数 对控制体的导数北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）推证结果 当控制体的体积Vc不变时，有： 当Φ为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方向与速度矢量的点积）：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、体积分与面积分的转换关系——广义高斯公式

（1）标量函数

（2）对矢量函数北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 4、基本定律的概念

基本定律的质量体形式表示——拉格朗日描述法的表现形式 （1）质量守恒定律的概念 微体积的质量： 质量体的总质量：

质量守恒的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）动量平衡的概念 牛顿第二定律：

微体积的动量： 质量体的总动量：

动量平衡的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）动量矩平衡的概念 动量矩对时间的导数：

微体积的动量矩： 质量体的总动量矩：

动量矩平衡的表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（4）能量守恒的概念 热力学第二定律：

微体积流体的能量： 质量体的总能量：

外界对质量体所做的功率

单位时间内输入质量体的热量北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

二、基本方程的推导

用控制体描述的基本定律——欧拉描述法的表现形式。

1、质量守恒——连续性方程

1）积分形式

2）微分形式

3）不可压缩流体的概念

4）不可压缩流体连续性方程守恒形式非守恒形式矢量表示：；i=1，2，3张量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 5）应用举例 确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连续方程表达形式。 解：1、描述参数 设河道宽：B，河道静止水深：h(x);

波面高度：ξ(x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)； 控制体及坐标选择如图。

2、由积分形式的连续方程：

3、结果：

对深水小波幅有：例图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、动量平衡——流体运动方程

1）积分形式

2）微分形式

守恒形式非守恒形式张量表示：矢量表示：矢量表示：张量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

3）N—S方程（Navier—StokesEquations） 引进牛顿流体本构方程，运动方程称为N—S方程。

μ、λ为常数，在直角坐标下有

矢量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

当流体不可压时，有：

N—S方程为

张量表示：矢量表示：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、动量矩平衡

1）积分形式：

2）微分形式 未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。 北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 4、能量守恒

1）积分形式：

2）微分形式 其中对牛顿流体

Ф——耗散函数，为不可逆过程。

北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3）耗散函数Ф在直角坐标中的表示

取：λ=-2μ/3

Φ表示的损失包括：

非对称膨胀或压缩

+流体形状改变两部分北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

三、N—S方程的求解途径

1、流体力学方程组的封闭性 当设k、cV、μ及λ为常数下，有未知量12个：

{ρ、u、v、w、T、p及六个σij}

需补充7个方程，即： 状态方程： 本构方程：运动方程：连续方程：能量方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

2、N—S方程的属性（千禧年7大数学难题之一） 非定常、非线性、二阶对流扩散偏微分方程组。 基本简化思路 （1）忽略非定常、非线性项 对质量力仅有重力作用情况： （2）忽略粘性项——欧拉方程 （3）解决流体问题的基本手段（方法）：解析法；数值法；实验法。运动方程：连续方程：运动方程：运动方程：运动方程：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

3、N—S方程的解析法求解途径 （1）特定的、简单问题的解析解 仅有有限的几个解析解，其成果为近似解的构建方法，验证数值解法提供依据。 （2）近似解法

N—S方程的无量纲形式 参照量：长度L0；速度U0；压强p0；时间T0=L0/U0。

1）小雷诺数小的近似解——蠕动问题（CreepingFlowing）

2）大雷诺数下的近似解——有势流动与边界层的衔接解法 运动方程：连续方程：即：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

四、经典问题的解析解

1、两无限大平行板间的流动

——库特—泊肃叶流（Couette—Poiseuille） （1）问题分析 平面（xoy）定常流动，v=0，w=0，u(x,y)=u(y)

上平板速度：U，下平板静止。 （2）笛卡尔坐标系N—S方程分析题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）得方程 （4）边界条件

y=0，u=0；y=h，u=U。 （5）方程的解 （6）解的分析 是Couette流动解与Poiseuille流动界的叠加。压强沿y方向静压分布ρgh，当h很小时可认为沿y不变北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 2、水平无限长柱体内的流动

——哈根—泊肃叶流动（Hagen—Poiseuille） （1）流动分析 柱坐标下，定常轴对称流动， 笛卡尔坐标下，有： 不计重力作用下有：题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）柱坐标下N—S方程

连续方程：运动方程：其中：北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（3）得方程 （4）边界条件 （5）方程的解 （6）最大流速 （7）流量

（8）平均流速：值有限北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

直角坐标系下的解法 （1）方程 （2）边界条件 （3）待定系数解 解得：值有限北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程 3、两无限长同心圆柱间的流动问题

——Couette流动 （1）流动分析 （2）方程组 （3）边界条件

题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（4）方程的解 （5）剪应力计算 （6）计算单位长度圆柱的阻力矩北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

五、小雷诺数下N—S方程的近似解

1、小雷诺数近似下的N—S方程

式中压强项包含了质量力-gρz。

2、下雷诺数球体绕流问题的解（Stokes流动，1851） （1）问题分析 与流动有关的变数（R，θ）；

运动方程：连续方程：题图北京工业大学市政学科部——马长明北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程

（2）球坐标系问题的N—S方程 （