62-电导率教学讲解课件

６.２电导率本节主要讨论金属的电导率，着重于从电子—声子相互作用的角度解释电阻率随温度的变化６.２电导率本节主要讨论金属的电导率，着重于从电子—声子相互1 (6.2.1-1)6.2.1金属的直流电导率在前面的章节中在自由电子和能带论的基础上讨论了恒定电场作用下电子的半经典运动。按照波尔兹曼方程(6.1.1-14)，此时：相当于(6.1.1-7)式中 (6.2.1-2) (6.2.1-1)6.2.1金属的直2这给出在恒定电场作用下，在k空间中，非平衡分布相当于费米球刚性平移的结果。将(6.2.1-2)中对的微商改为对能量的微商，即。并利用前面讲态密度时，将对k空间中体积的积分改成在等能面上积分的技巧，注意电子速度和的关系，上式可写成：由于平衡分布对总电流没有贡献，即则有 (6.2.1-4)在f1为小量时，上式可等价的写成： (6.2.1-3)这给出在恒定电场作用下，在k空间中，非平衡分布相当于3的行为像费米能处的δ函数，上述积分只需在费米面上进行，相当于电导率

σ为张量，写成分量的形式，为： (6.2.1-7) (6.2.1-5) (6.2.1-6) (6.2.1-8)的行为像费米能处的δ函数，上述积4 (6.2.1-10) (6.2.1-11)将弛豫时间τ放在积分号内是因为一般情况下τ有可能依赖于。对于立方晶体，电导率张量简化为标量，假如和均沿立方边（取为x方向）则：由于对称性，可得：平均自由程 (6.2.1-9) (6.2.1-10) 5利用的关系，从(6.2.1-11)得到：这一公式与前面金属自由电子气体模型中得到的σ有相同的形式。但自由电子的质量m为有效质量m*所代替，弛豫时间更准确的表述为费米面上的电子的。两个公式中均有传导电子总的数密度n，这来源于(6.2.1-11)式中在k空间费米面上的积分，并非如经典的Drude模型所述，所有的电子都参与电荷的输运。对于各向同性的情形，并假定导电电子可用单一有效质量m*描述，则与的方向无关，利用的关系，从(6.2.1-11)66.2.2电子和声子的相互作用如将静止的理想晶体中单电子势写成在每个离子实附近的局域势之和。即：那么在有晶格振动时，对单电子态的微扰势为：为了解金属电导率随温度的变化，只需考虑对温度的依赖，因为n与温度无关。按6.1节中的讲述，需对电子所受散射作具体分析。在结构完整的理想晶体中，电子主要受声子的散射。在将电子和晶格系统分开处理的绝热近似的基础上，它们之间的相互作用应看作微扰，引起态间的跃迁。 (6.2.2-1) (6.2.2-2)6.2.2电子和声子的相互作用如将静止的理想晶体中单7是格点上离子实对平衡位置的偏离。在小位移假定下：其中A为振幅，为在振动方向上的单位矢量，为横波，为纵波。将上式代入(6.2.2-3)式。可得一个格波模对微扰势的贡献，为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支，将波矢、频率ω的简正模引起的原子位移写成实数形式：相当于将在附近按作级数展开，只保留一级项。 (6.2.2-3) (6.2.2-4)是格点上离子实对平衡位置的偏离。在小位移假定下：8其中因而这里碰到的是量子力学中含时间的周期性微扰，

δ函数保证过程是能量守恒的，即 (6.2.2-5) (6.2.2-6) (6.2.2-7) (6.2.2-8)其中因而这里碰到的是量子力学中含时间的周期性9散射矩阵元利用布洛赫函数的特性，可将(6.2.2-9)式右边被积函数坐标原点平移Rn，这样+，-号分别相应于吸收或放出一个声子。由于声子的能量和费米面上的电子相比很小，例如当时， ，而一般是几个eV，这种散射可以近似地看成是弹性散射。涉及光学声子时会有所不同。但在低温下，电子吸收光学声子，跃迁到能量较高的状态的几率很小。 (6.2.2-10) (6.2.2-9)散射矩阵元利用布洛赫函数的特性，可将10与前面讨论的中子和声子的散射类似，由于晶格的平移对称性，上式求和仅当波矢之和为倒格矢时方不为零，从而给出晶体动量守恒关系其中的过程称为N过程，的称为U过程。总的微扰势应考虑所有格波的贡献。(6.2.2-4)式中的 应写成的形式，，分别代表1个纵波和2个横波，是相应波矢为时的振幅，在(6.2.2-9)式中，除对求和外，还应对求和。 (6.2.2-11)与前面讨论的中子和声子的散射类似，由于晶格的平移对称116.2.3电阻率随温度的变化对外加电场情形，(6.2.1-2)式f1可写成金属的电阻率，从(6.2.1-13)式，比例于变化。后者按(6.1.1-20)式，与及有关 (6.2.3-1)简单地假定电子系统有球形费米面，则，如取电场方向为方向，则 (6.2.3-2)为和之间的夹角，将求和改称积分，有6.2.3电阻率随温度的变化对外加电场情形，(6.12 (6.2.3-3)这样，电子所受散射的频度，不仅与从到的跃迁几率有关，还涉及的权重因子。小角度的散射，对产生电阻几乎没有贡献，因为并不明显改变波矢方向，电子沿电场方向的定向运动基本保留。起主要作用的是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。从上小节的讨论，电子和格波一个简正模的相互作用导致的，比例于该格波振幅的平方。对于(6.2.2-4)式描述的格波模。晶格中每个原子的振动动能为： (6.2.3-3)这样，电子所13其中M为原子的质量。由于正弦项对时间的平均为1/2，晶体中N个原子参加的这一集体运动模式总的振动动能为：因此，振幅的平方与相应的格波模的能量相联系，用声子的语言，则是比例于相应的声子数。对的计算，最终要考虑所有格波模的贡献，对和求和，大体相当于将比例于总声子数变化。在低温下，声子比热与T3成正比，相当于声子系统能量比例于T4，如声子平均能量为kBT，则相当于总的声子数比例于T3变化。由此得到电子-声子散射的弛豫时间其中M为原子的质量。由于正弦项对时间的平均为1/2，14低温下涉及的声子波矢较小，因而还需考虑因子(1-cosθ)的影响，从图6.1可得sin(θ/2)=q/2kF，因而(1-cosθ)=2sin(θ/2)=1/2*(q/kF)2由于q≈kBT/ћc，(1-cosθ)因子比例于T2变化，这样，由于温度下降。小角度散射增加，最终电阻率比例于T5变化，即：通常称为布洛赫-格林艾森T5定律。低温下涉及的声子波矢较小，因而还需考虑因子(1-co15高温时，晶格中总的声子数比例于T变化，且涉及的声子波矢约为qD大小，因子(1-cosθ)与温度无关，电阻率随温度线性变化，需注意两点：1、低温下电子-声子散射过程中U过程的影响。如图6.2所示，当近自由电子费米面接近布里渊区边界时，小的即可对电阻有明显的贡献。高温时，晶格中总的声子数比例于T变化，且涉及的声子波16这里为简单，去掉了加撇的上标。对球形费米面情形，能态密度上两式相比，可见1/τ比例于费米面处的能态密度。由此可理解过渡族金属电阻率一般较高的事实。过渡族金属d带很窄，d电子有效质量大，可动性差，因而导电主要靠s电子。2、在对进行计算的(6.2.3-3)式中，在k空间费米面上积分的体积元对k’的积分可改成对能量的积分，即这里为简单，去掉了加撇的上标。对球形费米面情形，能态176.2.4剩余电阻率在实际样品中，电子还将受到杂质原子的散射，这种散射是弹性的，源于杂质原子基态和最低激发态之间的能量间隔，一般为数个电子伏特的量级，远大于kBT。假如电子和杂质原子之间的散射势为，当杂质原子浓度ni很低，低到可以认为每次只和一个杂质原子作用时，按照量子力学微扰论的“黄金定则”，由于均不随温度的变化，电子和杂质原子散射产生的电阻与温度无关。6.2.4剩余电阻率在实际样品中，电子还将受18在有两种散射机制的情况下，如电子被杂质原子和声子散射，假如两种机制相互独立，总散射几率可表达为两种机制分别作用之和，即这意味着：即在几种不同的散射机制存在时，电阻率为各机制单独存在时电阻率之和。这一表述称为马西森定则。如果对每种机制，弛豫时间均与无关，则有：在有两种散射机制的情况下，如电子被杂质原子和声子散射19按照这一定则，金属的电阻率一般写成：来自电子-声子散射，与温度有关。对于结构完整的理想晶体，亦存在，常称为理想电阻率。来源于电子-杂质原子的散射，与温度无关。在低温下，当很小时，成为电阻率中的主要部分，一般称为剩余电阻率。按照这一定则，金属的电阻率一般写成：来自电子20当杂质原子具有局域磁矩时，电阻率随温度的变化与前述温度下降因电子-声子散射的减弱，电阻率单调下降，随后过渡到由杂质散射决定的常数剩余电阻率不同，一般在10~20K温度区内有极小，此后，温度下降时电阻率按对数规律比例于lnT上升，最终过渡到与温度无关的常数值。1964年近藤首先对电阻极小给出了正确的理论解释。从此，稀磁合金中电阻极小，以及与此关联的一系列低温反常现象，通称为近藤效应。6.2.5近藤效应当杂质原子具有局域磁矩时，电阻率随温度的变化与前述温21温度下降时电阻率从lnT反常逐渐过渡到常值。来源于杂质原子有效磁矩的趋于消失。反铁磁的耦合是磁性杂质原子被自旋取向相反的传导电子包围，从而对杂质磁矩起屏蔽抵消作用，这种作用随温度的降低、热涨落的减小而增大，最终在T→0时形成一个由杂质原子和聚集在其周围的自旋反向的传导电子形成的组合状态，总自旋为零，称为近藤单态，它对电阻行为的影响与上一节讨论的非磁性外来原子相同。温度下降时电阻率从lnT反常逐渐过渡到常值。来源于杂226.2.6半导体的电导率称为载流子的迁移率对于半导体材料，仍可用(6.2.1-4)式表示电场作用下相应的电流密度，但在其后的计算中，由于化学势在禁带中，载流子一般是非简并的，不能利用类δ函数的特性。假定τ是能量的函数，载流子服从经典的玻尔兹曼统计，易于证明，电导率仍可写成(6.2.1-13)式的形式，只需将τ理解成对能量的平均值。对于半导体材料，习惯上将(6.2.1-13)写成：6.2.6半导体的电导率称为载流子的迁移率对23其中n，p和分别为电子，空穴的浓度和迁移率。将写成的形式，可以看出迁移率表示单位电场下载流子的平均漂移速度。半导体中往往同时有电子和空穴两种载流子，其中n，p和分别为电子，空穴的浓度和迁移24对于本征半导体有：即温度下降时电阻率指数上升。3、载流子浓度往往随温度以指数函数的形式变化，成为σ(T)关系中的决定因素。1、对于金属，如前述，载流子浓度不变，随温度的变化主要反映在τ(T)

中。半导体电阻率随温度的变化与金属不同：2、半导体中的τ，也与温度有关。实验和理论表明，n在±2之间-2<n<2。对于本征半导体有：即温度下降时电阻率指数上升25６.２电导率本节主要讨论金属的电导率，着重于从电子—声子相互作用的角度解释电阻率随温度的变化６.２电导率本节主要讨论金属的电导率，着重于从电子—声子相互26 (6.2.1-1)6.2.1金属的直流电导率在前面的章节中在自由电子和能带论的基础上讨论了恒定电场作用下电子的半经典运动。按照波尔兹曼方程(6.1.1-14)，此时：相当于(6.1.1-7)式中 (6.2.1-2) (6.2.1-1)6.2.1金属的直27这给出在恒定电场作用下，在k空间中，非平衡分布相当于费米球刚性平移的结果。将(6.2.1-2)中对的微商改为对能量的微商，即。并利用前面讲态密度时，将对k空间中体积的积分改成在等能面上积分的技巧，注意电子速度和的关系，上式可写成：由于平衡分布对总电流没有贡献，即则有 (6.2.1-4)在f1为小量时，上式可等价的写成： (6.2.1-3)这给出在恒定电场作用下，在k空间中，非平衡分布相当于28的行为像费米能处的δ函数，上述积分只需在费米面上进行，相当于电导率

σ为张量，写成分量的形式，为： (6.2.1-7) (6.2.1-5) (6.2.1-6) (6.2.1-8)的行为像费米能处的δ函数，上述积29 (6.2.1-10) (6.2.1-11)将弛豫时间τ放在积分号内是因为一般情况下τ有可能依赖于。对于立方晶体，电导率张量简化为标量，假如和均沿立方边（取为x方向）则：由于对称性，可得：平均自由程 (6.2.1-9) (6.2.1-10) 30利用的关系，从(6.2.1-11)得到：这一公式与前面金属自由电子气体模型中得到的σ有相同的形式。但自由电子的质量m为有效质量m*所代替，弛豫时间更准确的表述为费米面上的电子的。两个公式中均有传导电子总的数密度n，这来源于(6.2.1-11)式中在k空间费米面上的积分，并非如经典的Drude模型所述，所有的电子都参与电荷的输运。对于各向同性的情形，并假定导电电子可用单一有效质量m*描述，则与的方向无关，利用的关系，从(6.2.1-11)316.2.2电子和声子的相互作用如将静止的理想晶体中单电子势写成在每个离子实附近的局域势之和。即：那么在有晶格振动时，对单电子态的微扰势为：为了解金属电导率随温度的变化，只需考虑对温度的依赖，因为n与温度无关。按6.1节中的讲述，需对电子所受散射作具体分析。在结构完整的理想晶体中，电子主要受声子的散射。在将电子和晶格系统分开处理的绝热近似的基础上，它们之间的相互作用应看作微扰，引起态间的跃迁。 (6.2.2-1) (6.2.2-2)6.2.2电子和声子的相互作用如将静止的理想晶体中单32是格点上离子实对平衡位置的偏离。在小位移假定下：其中A为振幅，为在振动方向上的单位矢量，为横波，为纵波。将上式代入(6.2.2-3)式。可得一个格波模对微扰势的贡献，为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支，将波矢、频率ω的简正模引起的原子位移写成实数形式：相当于将在附近按作级数展开，只保留一级项。 (6.2.2-3) (6.2.2-4)是格点上离子实对平衡位置的偏离。在小位移假定下：33其中因而这里碰到的是量子力学中含时间的周期性微扰，

δ函数保证过程是能量守恒的，即 (6.2.2-5) (6.2.2-6) (6.2.2-7) (6.2.2-8)其中因而这里碰到的是量子力学中含时间的周期性34散射矩阵元利用布洛赫函数的特性，可将(6.2.2-9)式右边被积函数坐标原点平移Rn，这样+，-号分别相应于吸收或放出一个声子。由于声子的能量和费米面上的电子相比很小，例如当时， ，而一般是几个eV，这种散射可以近似地看成是弹性散射。涉及光学声子时会有所不同。但在低温下，电子吸收光学声子，跃迁到能量较高的状态的几率很小。 (6.2.2-10) (6.2.2-9)散射矩阵元利用布洛赫函数的特性，可将35与前面讨论的中子和声子的散射类似，由于晶格的平移对称性，上式求和仅当波矢之和为倒格矢时方不为零，从而给出晶体动量守恒关系其中的过程称为N过程，的称为U过程。总的微扰势应考虑所有格波的贡献。(6.2.2-4)式中的 应写成的形式，，分别代表1个纵波和2个横波，是相应波矢为时的振幅，在(6.2.2-9)式中，除对求和外，还应对求和。 (6.2.2-11)与前面讨论的中子和声子的散射类似，由于晶格的平移对称366.2.3电阻率随温度的变化对外加电场情形，(6.2.1-2)式f1可写成金属的电阻率，从(6.2.1-13)式，比例于变化。后者按(6.1.1-20)式，与及有关 (6.2.3-1)简单地假定电子系统有球形费米面，则，如取电场方向为方向，则 (6.2.3-2)为和之间的夹角，将求和改称积分，有6.2.3电阻率随温度的变化对外加电场情形，(6.37 (6.2.3-3)这样，电子所受散射的频度，不仅与从到的跃迁几率有关，还涉及的权重因子。小角度的散射，对产生电阻几乎没有贡献，因为并不明显改变波矢方向，电子沿电场方向的定向运动基本保留。起主要作用的是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。从上小节的讨论，电子和格波一个简正模的相互作用导致的，比例于该格波振幅的平方。对于(6.2.2-4)式描述的格波模。晶格中每个原子的振动动能为： (6.2.3-3)这样，电子所38其中M为原子的质量。由于正弦项对时间的平均为1/2，晶体中N个原子参加的这一集体运动模式总的振动动能为：因此，振幅的平方与相应的格波模的能量相联系，用声子的语言，则是比例于相应的声子数。对的计算，最终要考虑所有格波模的贡献，对和求和，大体相当于将比例于总声子数变化。在低温下，声子比热与T3成正比，相当于声子系统能量比例于T4，如声子平均能量为kBT，则相当于总的声子数比例于T3变化。由此得到电子-声子散射的弛豫时间其中M为原子的质量。由于正弦项对时间的平均为1/2，39低温下涉及的声子波矢较小，因而还需考虑因子(1-cosθ)的影响，从图6.1可得sin(θ/2)=q/2kF，因而(1-cosθ)=2sin(θ/2)=1/2*(q/kF)2由于q≈kBT/ћc，(1-cosθ)因子比例于T2变化，这样，由于温度下降。小角度散射增加，最终电阻率比例于T5变化，即：通常称为布洛赫-格林艾森T5定律。低温下涉及的声子波矢较小，因而还需考虑因子(1-co40高温时，晶格中总的声子数比例于T变化，且涉及的声子波矢约为qD大小，因子(1-cosθ)与温度无关，电阻率随温度线性变化，需注意两点：1、低温下电子-声子散射过程中U过程的影响。如图6.2所示，当近自由电子费米面接近布里渊区边界时，小的即可对电阻有明显的贡献。高温时，晶格中总的声子数比例于T变化，且涉及的声子波41这里为简单，去掉了加撇的上标。对球形费米面情形，能态密度上两式相比，可见1/τ比例于费米面处的能态密度。由此可理解过渡族金属电阻率一般较高的事实。过渡族金属d带很窄，d电子有效质量大，可动性差，因而导电主要靠s电子。2、在对进行计算的(6.2.3-3)式中，在k空间费米面上积分的体积元对k’的积分可改成对能量的积分，即这里为简单，去掉了加撇的上标。对球形费米面情形，能态426.2.4剩余电阻率在实际样品中，电子还将受到杂质原子的散射，这种散射是弹性的，源于杂质原子基态和最低激发态之间的能量间隔，一般为数个电子伏特的量级，远大于kBT。假如电子和杂质原子之间的散射势为，当杂质原子浓度ni很低，低到可以认为每次只和一个杂质原子作用时，按照量子力学微扰论的“黄金定则”，由于均不随温度的变化，电子和杂质原子散射产生的电阻与温度无关。6.2.4剩余电阻率在实际样品中，电子还将受43在有两种散射机制的情况下，如电子被杂质原子和声子散射，假如两种机制相互独立，总散射几率可表达为两种机制分别作用之和，即这意味着：即在几种不同的散射机制存在时，电阻率为各机制单独存在时电阻率之和。这一表述称为马西森定则。如果对每种机制，弛豫时间均与无关，则有：在有两种散射机制的情况下，如电子被杂质原子和声子散射44按照这一定则，金属的电阻率一般写成：来自电子-声子散射，与温度有关。对于结构完整的理想晶体，亦存在，常称为理想电阻率。来源于电子-杂质原子的散射，与温度无关。在低温下，当很小时，成为电阻率中的主要部分，