线性微分方程通解的结构课件

线性微分方程解的结构第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构

第十二章

线性微分方程解的结构第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质证00性质2证00性质2性质3性质4(非齐次线性方程解的叠加原理)注

性质1~性质4可推广到n阶线性微分方程的情形.性质3性质4(非齐次线性方程解的叠加原理)注性质1例2的解，解例2的解，解问题1三、二阶线性微分方程解的结构回顾：问题1三、二阶线性微分方程解的结构回顾：问题2答:不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解并不是通解.但是则为解决通解的判别问题,还需引入函数的线性相关与线性无关概念.问题2答:不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是定义12.1是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关；否则称为线性无关.若存在不全为0的常数定义12.1是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n例3下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？线性无关解例3下列各函数组在给定区间上是线性相关线性无关解故该函数组在任何区间I上都线性相关;解故该函数组在任何区间I上都线性相关;解特别地,对于两个函数的情形：定理例如：特别地,对于两个函数的情形：定理例如：注可以证明：注可以证明：1.齐次线性微分方程解的结构推论n个线性无关的特解，则此方程的通解为方程：如果y1(x)与y2(x)是方程(6.1)的两个线性无关的特解,那么就是方程(6.1)的通解.1.齐次线性微分方程解的结构推论n个线性无关的特解，则此方程验证：例5验证：例5定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)2.非齐次线性微分方程解的结构定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)2.证

由性质3,可知是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y中含有两个独立任意常数，因而也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解.证由性质3,可知是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y例6例6例7解(1)由性质3，知(2)例7解(1)由性质3，知(2)齐次线性方程(2)的通解为：由定理12.2，知原方程(1)的通解为：齐次线性方程(2)的通解为：由定理12.2，知原方程(1)的求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解的关键：注1°确定与其相对应的二阶齐次线性方程(6.1)的两个线性无关的解;2°求(6.2)的一个特解.求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解注1°确定与其相对内容小结解的叠加原理函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分方程解的性质2、二阶线性微分方程解的结构内容小结解的叠加原理函数组线性相关与线性无关1、二阶线性微分思考题思考题思考题解答代入原方程，得思考题解答代入原方程，得线性微分方程通解的结构课件线性微分方程解的结构第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二阶线性微分方程解的结构

第十二章

线性微分方程解的结构第六节二、二阶线性微分方程解的性质三、二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质二、二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质证00性质2证00性质2性质3性质4(非齐次线性方程解的叠加原理)注

性质1~性质4可推广到n阶线性微分方程的情形.性质3性质4(非齐次线性方程解的叠加原理)注性质1例2的解，解例2的解，解问题1三、二阶线性微分方程解的结构回顾：问题1三、二阶线性微分方程解的结构回顾：问题2答:不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解并不是通解.但是则为解决通解的判别问题,还需引入函数的线性相关与线性无关概念.问题2答:不一定.的解，例如：是某二阶齐次线性方程的解,也是定义12.1是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I

上线性相关；否则称为线性无关.若存在不全为0的常数定义12.1是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n例3下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？线性无关解例3下列各函数组在给定区间上是线性相关线性无关解故该函数组在任何区间I上都线性相关;解故该函数组在任何区间I上都线性相关;解特别地,对于两个函数的情形：定理例如：特别地,对于两个函数的情形：定理例如：注可以证明：注可以证明：1.齐次线性微分方程解的结构推论n个线性无关的特解，则此方程的通解为方程：如果y1(x)与y2(x)是方程(6.1)的两个线性无关的特解,那么就是方程(6.1)的通解.1.齐次线性微分方程解的结构推论n个线性无关的特解，则此方程验证：例5验证：例5定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)2.非齐次线性微分方程解的结构定理12.2(二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)2.证

由性质3,可知是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y中含有两个独立任意常数，因而也含有两个独立任意常数，因而它是(6.2)的通解.证由性质3,可知是非齐次线性方程(6.2)的解,又Y例6例6例7解(1)由性质3，知(2)例7解(1)由性质3，知(2)齐次线性方程(2)的通解为：由定理12.2，知原方程(1)的通解为：齐次线性方程(2)的通解为：由定理12.2，知原方程(1)的求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通解的关键：注1°确定与其相对应的二阶齐次线性方程(6.1)的两个线性无关的解;2°求(6.2)的一个特解.求二阶非齐次线性微分方程(6.2)的通