【高考解码】高三数学二轮复习（新课标）第一部分：专题一集合与常用逻辑用语、复数、算数、与合情推理、不等式

第1讲集合与常用逻辑用语1．(2015·新课标Ⅱ高考)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝()A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{0，1，2}【解析】由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1，0}．故选A.【答案】A2．(文)(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵x＞1，∴x3＞1，又x3－1＞0，即(x－1)(x2＋x＋1)＞0，解得x＞1，∴“x＞1”是“x3＞1”的充要条件，故选C.【答案】C(理)(2015·重庆高考)“x＞1”是“logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”的充分而不必要条件，故选B.【答案】B3．(2015·山东高考)设m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0【解析】根据逆否命题的定义，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.【答案】D4．(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1【解析】该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.【答案】A从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.集合的概念及运算①考查集合的概念、集合间的关系；②以数集和不等式为背景，考查集合的运算；③以新信息为载体考查集合的创新型试题.题型：选择题或填空题难度：基础题2.命题真假的判断与否定①考查命题的真假；②考查四种命题和逻辑联结词；③考查全称命题与特称命题的真假与否定.题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题3.充要条件的判断①判断充分、必要条件；②根据条件求相应参数值(或范围).题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题eq\a\vs4\al(集合的概念及运算（自主探究型）)1．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，则∩Q＝()A．[0，1)B．(0，2]C．(1，2)D．[1，2]【解析】先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以＝{x|0<x<2}＝(0，2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1，2)，所以()∩Q＝(1，2)．【答案】C2．(2015·山西考前质检)已知集合M＝{1，2，3，4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8B．4C．3D．2【解析】本题主要考查集合的子集个数的计算，意在考查考生的运算求解能力．由题意，得P＝{3，4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.【答案】B3．(文)(创新题)对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b2＝1，,c2＝b))时，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i【解析】本题以新定义为背景主要考查集合的相关知识，意在考查分析能力、转化能力．∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.【答案】B3．(理)(2015·湖北高考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30【解析】本题以新定义为背景主要考查集合的相关知识，意在考查分析能力、转化能力．集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．【答案】C【规律感悟】解答集合运算问题的策略首先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表的意义．然后根据集合中元素的性质化简集合．(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴．(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn图．(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．(4)若给定集合是创新题，要紧扣新定义、新运算、新性质．eq\a\vs4\al(命题真假的判断与否定（师生共研型）)【典例1】(1)(2015·新课标Ⅰ高考)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)(2015·河北唐山一模)命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象恒过定点(2，0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真【解析】(1)依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.(2)本题主要考查命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数的图象、不等式的解法等，意在考查考生的运算求解能力，考查考生对基础知识的综合应用能力．∵x3＜x2，∴x2(x－1)＜0，∴x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图象过点(2，0)，∴loga1＝0，对∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q为真命题．故选A.【答案】(1)C(2)A[一题多变]若题(2)变为：若命题p：曲线eq\f(x2,a－2)－eq\f(y2,6－a)＝1为双曲线，命题q：函数f(x)＝(4－a)x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】当p为真命题时，(a－2)(6－a)>0，解之得2<a<6.当q为真命题时，4－a>1，即a<3.由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a<6.当p假q真时，a≤2.因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3，6)．【答案】(－∞，2]∪[3，6)【规律感悟】1.命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识判断．(2)四种命题真假的判断依据，一个命题和它的逆否命题同真假．(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．2．全称命题与特称(存在性)命题真假的判定方法(1)全称命题：判定全称命题为真命题，必须考虑所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例．(2)特称(存在性)命题：判断特称命题(存在性命题)的真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．3．常见命题的否定形式[针对训练]1．(预测题)已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，下列说法正确的是()A．p的否定是真命题B．p的否命题是真命题C．p的逆命题是假命题D．p的逆否命题是假命题【解析】命题p的否命题是：若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2，是真命题，且p是真命题，故p的逆命题是真命题，逆否命题是真命题，p的否定是假命题，故选B.【答案】B2．(2015·山东高考)若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．【解析】由已知可得m≥tanx(x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))))恒成立．设f(x)＝tanx(x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))))，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝taneq\f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.【答案】1eq\a\vs4\al(充要条件的判断（多维探究型）)命题角度一以集合、不等式、函数为命题背景【典例2】(1)(2015·湖南高考)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2015·四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)本题考查集合间的包含关系及充要关系的判断，是基础题．结合韦恩图可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.(2)本题考查指数函数、对数函数的图象和性质，考查充要关系的判定，属于中档题．由指数函数的性质知，若3a＞3b＞3，则a＞b＞1，由对数函数的性质，得loga3＜logb3；反之，取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，显然有loga3＜logb3，此时0＜b＜a＜1，于是3＞3a＞3b，所以“3a>3b>3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件，选B.【答案】(1)C(2)B命题角度二以平面向量、三角函数为命题背景【典例3】(1)(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2015·陕西高考)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．解题思路为按充分、必要条件的定义解题．若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.(2)本题主要考查充分必要条件的概念、判断方法，考查二倍角公式等知识．∵cos2α＝cos2α－sin2α，∴当sinα＝cosα时，cos2α＝0，充分性成立；当cos2α＝0时，∵cos2α－sin2α＝0，∴cosα＝sinα或cosα＝－sinα，必要性不成立，故选A.【答案】(1)A(2)A命题角度三已知充要条件求参数的值(或范围)【典例4】(原创题)已知条件p：eq\f(4,x－1)≤－1，条件q：x2＋x＜a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[－2，－eq\f(1,2)]B．[eq\f(1,2)，2]C．[－1，2]D．(－2，eq\f(1,2)]∪[2，＋∞)【解析】本题主要考查已知充要条件求参数的范围，意在考查计算能力和分析转化思想．由eq\f(4,x－1)≤－1，即eq\f(4,x－1)＋1≤0，化简，得eq\f(x＋3,x－1)≤0，解得－3≤x＜1；由x2＋x＜a2－a，得x2＋x－a2＋a＜0，即(x＋a)[x－(a－1)]＜0，当－a＜a－1，即a＞eq\f(1,2)时，不等式的解集为{x|－a＜x＜a－1}；当－a＝a－1，即a＝eq\f(1,2)时，不等式的解集为∅；当－a＞a－1，即a＜eq\f(1,2)时，不等式的解集为{x|a－1＜x＜－a}．由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．当a＞eq\f(1,2)时，由{x|－a＜x＜a－1}{x|－3≤x＜1}，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤－a，,1≥a－1，))解得eq\f(1,2)＜a≤2；当a＝eq\f(1,2)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以显然满足条件；当a＜eq\f(1,2)时，由{x|a－1＜x＜－a}{x|－3≤x＜1}，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤a－1，,1≥－a，))解得－1≤a＜eq\f(1,2).综上，a的取值范围为[－1，2]．故选C.【答案】C【规律感悟】1.充分、必要条件的判断方法先判断p⇒q与q⇒p是否成立，然后再确定p是q的什么条件．2．判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．[针对训练]1．(文)(2015·重庆高考)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.【答案】A(理)(2015·天津高考)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于不等式|x－2|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则1＜x＜2可以推出1＜x＜3，反之不成立，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．故选A.【答案】A2．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)，x∈R为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx(x∈R)是偶函数，而由f(x)＝cos(x＋φ)，x∈R是偶函数不一定得出φ＝0，而是φ＝kπ(k∈Z)，故A正确．【答案】A3．(2015·浙江名校联考)一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件为()A．m>1且n<1B．mn<0C．m>0且n<0D．m<0且n<0【解析】因为y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)经过第一、三、四象限，所以－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.【答案】B数形结合思想求解集合间的关系及集合运算问题[思想诠释]集合间的关系及集合运算问题用到数形结合思想的常用类型：1．集合关系的判断：如判断两个点集之间的关系、由不等式组成的集合之间的关系．2．求交集、并集、补集：求集合的交集、并集、补集常借助数轴及韦恩图直观求解．3．求参数取值范围：已知集合之间的关系，求参数的取值范围．[典例剖析]【典例】(1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝()A．(－1，3)B．(－1，0)C．(0，2)D．(2，3)(2)(预测题)已知集合A＝{x|x2－a≥0}，B＝{x|x＜2}，若⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4]B．[0，4]C．(－∞，4)D．(0，4)【审题策略】(1)借助数轴，根据并集的定义求解；(2)解集合A并求∁RA，然后就a进行分类讨论，借助数轴解决问题．【解析】(1)将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1，3)，故选A.(2)＝{x|x2＜a}，当a≤0时，＝∅，显然满足；当a＞0时，＝{x|－eq\r(a)＜x＜eq\r(a)}，由⊆B，画出下图，得eq\r(a)≤2，即0＜a≤4.故实数a的取值范围是(－∞，4]，选A.【答案】(1)A(2)A[针对训练](2015·皖南模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))))))，B＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤m}，若A⊆B，则m的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0，1)的距离分别是1，1，eq\r(2)，由A⊆B得三角形所有点都在圆的内部，故eq\r(m)≥eq\r(2)，解得m≥2.【答案】[2，＋∞)1．必记公式(1)A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∪B＝A⇔B⊆A.(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(4)若集合A的元素有n个，则A的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.2．重要结论(1)四种命题间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(2)充分、必要条件设集合A＝{x|x满条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，qp)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，pp)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)A与B互不包含3.易错提醒(1)忽视集合元素性质的验证：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，在解决含有字母参数的集合问题时，易忽视三种性质导致失误．(2)忽略空集的讨论：空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如，A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．(3)集合的含义认识不清：如集合A＝{x|y＝2x}，B＝{y|y＝2x}，C＝{(x，y)|y＝2x}是三个不同的集合．解决集合问题，要注意认清集合的含义，去寻找解决问题的方法．(4)混淆命题的否定与否命题：分清命题的否定和否命题的区别，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．限时训练(一)建议用时实际用时错题档案40分钟一、选择题1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2【解析】集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6，8，10，12，14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.【答案】D2．(2015·重庆高考)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则()A．A＝BB．A∩B＝∅C．ABD．BA【解析】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴BA.【答案】D3．(2015·辽宁大连一模)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2＜ln2B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2D．存在x∈R，使得x2＜ln2【解析】由全称命题的否定知：命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为“存在x∈R，使得x2＜ln2”，故选D.【答案】D4．(2015·河南洛阳二模)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝eq\r(3)”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±eq\r(3)，故“m＝eq\r(3)”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．【答案】A5．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，＜，命题q：∀x∈(0，eq\f(π,2))，tanx＞x.则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．p∨(綈q)C．p∧(綈q)D．(綈p)∧q【解析】由指数函数的单调性可知命题p：∃x0∈(－∞，0)，＜为假命题，则命题綈p为真命题，易知命题q：∀x∈(0，eq\f(π,2))，tanx＞x为真命题，则命题綈q为假命题，根据复合命题的真值表可知命题p∧q为假命题，命题p∨(綈q)为假命题，命题p∧(綈q)为假命题，命题(綈p)∧q为真命题，故选D.【答案】D6．(创新题)若集合S满足对任意的a，b∈S，有a±b∈S，则称集合S为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是()A．自然数集NB．整数集ZC．有理数集QD．实数集R【解析】取自然数集N中两个值2、4，而2－4＝－2∉N，所以选A.【答案】A7．(预测题)已知集合A＝{x|y＝ln(x2－2)}，集合B＝{x|x2－x－12≤0}，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为()A．(－∞，－3)∪(4，＋∞)B．(－∞－3)∪[－eq\r(2)，eq\r(2)]∪(4，＋∞)C．[－3，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，4]D．[－3，＋∞)【解析】由题意知A＝(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)，B＝[－3，4]．由韦恩图知，阴影部分所表示的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，所以选B.【答案】B8．(2015·陕西五校三模)下列命题正确的个数是()①命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③x2＋2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b＜0”．A．1B．2C．3D．4【解析】因为命题“∃x，p”的否定为“∀x，綈p”，所以①正确；因为f(x)＝cos(2ax)，令eq\f(2π,|2a|)＝π，得a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔a≤x＋2在x∈[1，2]上恒成立⇔a≤(x＋2)min，x∈[1，2]，因此③不正确；因为“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b＜0且a与b不反向”，故④不正确．【答案】B9．已知p：|x－4|≤6，q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是()A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】解绝对值不等式|x－4|≤6，得－2≤x≤10，解不等式(x－1)2－m2≤0(m>0)得，1－m≤x≤1＋m.因为p是q的充分不必要条件，所以[－2，10]⊆[1－m，1＋m]，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10，,m＞0，))解得m≥9.【答案】B10．(2015·广东高考)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝()A．200B．150C．100D．50【解析】对于集合E，当满足0≤p<s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4时，s的值最大，此时分类讨论：当s＝4时，p，q，r均可取0，1，2，3四个数中的任意一个，此时共有43个不同的值；当s＝3时，p，q，r均可取0，1，2三个数中的任意一个，此时共有33个不同的值；当s＝2时，p，q，r均可取0，1两个数中的任意一个，此时共有23个不同的值；当s＝1时，p，q，r只可取0，此时共有1个不同的值；于是，card(E)＝1＋23＋33＋43＝100.对于集合F，由于0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4相互独立．于是仅看0≤t＜u≤4，当u＝4时，t可取0，1，2，3四个数；当u＝3时，t可取0，1，2三个数；当u＝2时，t可取0，1两个数；当u＝1时，t只取0一个数；这样(t，u，v，w)中(t，u)的不同情形有1＋2＋3＋4＝10种；同理(t，u，v，w)中(v，w)的不同情形也有10种，故集合F中的不同元素个数也是100.故card(E)＋card(F)＝200.【答案】A二、填空题11．(预测题)若M＝{x∈Z|logeq\s\do9(\f(1,3))x≥－1}，则集合M的真子集的个数为________．【解析】M＝{x∈Z|logeq\s\do9(\f(1,3))x≥－1}＝{x∈Z|0<x≤3}＝{1，2，3}，集合M中有3个元素，它有7个真子集．【答案】712．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】由题意得，x为任意的实数，都有ax2－ax－2≤0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝a2＋8a≤0，))得－8≤a<0，∴－8≤a≤0.【答案】[－8，0]13．(2015·武汉调研)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的________．【解析】依题意，“若綈p，则q”是假命题，“若q，则綈p”是真命题，所以“若綈q，则p”是假命题，“若p，则綈q”是真命题，故p是綈q的充分不必要条件．【答案】充分不必要条件14．(2015·深圳调研)设S是实数集R的非空子集，如果∀a，b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是________．①存在有限集S，S是一个“和谐集”；②对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”；③若S1≠S2，且S1，S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅；④对任意两个“和谐集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R.【解析】对于①，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S，0－0＝0∈S，因此①正确；对于②，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，②正确；对于③，依题意，当S1，S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，③正确；对于④，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝eq\r(2)k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，④不正确．【答案】④15．(2014·浙江高考)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．【解析】若①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，又a≠2且b≠2，∴c＝2矛盾；若②正确，则a＝2，b＝2，此时不合题意；若③正确，则a＝2，b≠2，c≠0，即有a＝2，b＝0，c＝1，∴100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.【答案】201

第2讲复数、算法与合情推理1．(2015·新课标Ⅱ高考)若a为实数，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4【解析】∵eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，又a∈R，∴a＝4.【答案】D2．(2015·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．－10B．6C．14D．18【解析】S＝20，i＝1，i＝2＋i＝2，S＝S－i＝20－2＝18，不满足i≤5，i＝2＋1＝4，S＝S－i＝18－4＝14，不满足i＞5，i＝2＋i＝8，S＝S－i＝14－8＝6，满足i＞5.故输出S＝6.【答案】B3．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】“至少一个实根”的对立事件为“一个实根也没有”．故选A.【答案】A4．(2015·陕西高考)观察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，……，据此规律，第n个等式可为________．【解析】等式的左边的通项为eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq\f(1,n＋1)，共有n项，故为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).【答案】1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.复数的概念及运算①考查复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等；②考查复数的几何意义及四则运算.题型：选择题或填空题难度：基础题2.合情推理①主要考查归纳推理和类比推理；②有时也考查推理证明中基本方法题型：选择题或填空题难度：中档题3.程序框图(流程图)①主要考查含条件结构或循环结构的输出结果问题；②有时也考查判断框条件的判断.题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题eq\a\vs4\al(复数的概念及运算（自主探究型）)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．iB．－iC．1D．－1【解析】本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念，意在考查考生对基础知识的掌握情况．i607＝i4×151.i3＝－i，又－i的共轭复数为i，选A.【答案】A2．(2015·安徽高考)设i是虚线单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】本题考查复数的运算和几何意义．解题的关键是把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式．eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B.【答案】B3．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3【解析】本题考查复数的概念，先利用复数的运算法则将复数化为x＋yi(x，y∈R)的形式，再由纯虚数的定义求a.因为a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(10（3＋i）,（3－i）（3＋i）)＝a－eq\f(10（3＋i）,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.【答案】D【规律感悟】复数的基本概念与运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．eq\a\vs4\al(合情推理（师生共研型）)【典例1】(1)(文)(2014·陕西高考)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．(理)(2015·山东高考)观察下列各式：Ceq\o\al(0,1)＝40；Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝41;Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝42；Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝43；……照此规律，当n∈N*时，Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝________．(2)(2014·全国新课标Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．【解析】(1)(文)本题主要考查归纳推理，通过观察、分析、归纳解决问题．f1(x)＝eq\f(x,1＋x)；f2(x)＝f(eq\f(x,1＋x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；f3(x)＝f(eq\f(x,1＋2x))＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)；猜想：f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).(理)本题考查归纳推理，意在考查考生的归纳推理能力．根据已知，只需归纳等式的右边即可．第一个等式，n＝1，而右边式子为40＝41－1；第二个等式，n＝2，而右边式子为41＝42－1；第三个等式，n＝3，而右边式子为42＝43－1；第四个等式，n＝4，而右边式子为43＝44－1；……归纳可知，第n个等式的右边为4n－1.(2)利用逻辑推理的知识求解．由丙可知乙至少去过一个城市，由甲可知甲去过A、C城市，且比乙多，故乙去过一个城市，且没去过C城市．故乙去过A城市．【答案】(1)(文)eq\f(x,1＋2014x)(理)4n－1(2)A[一题多变]若题(1)变为：观察下列不等式：1＋3＋3＜π2，1＋3×2＋3×22＜π4，1＋3×3＋3×32＜π6，……照此规律，第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是________．【解析】根据所给不等式易归纳推理出第n(n∈N*)个不等式是1＋3n＋3n2＜π2n，所以可以归纳推测出第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2＜π2n－2.【答案】1＋3(n－1)＋3(n－1)2＜π2n－2【规律感悟】合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．[针对训练]1．对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形构成如图1所示的几何图形，其面积S1＝eq\f(5,9)；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(n).若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn＝________．【解析】对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割或3×3×3个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新“几何体①”，其体积V1＝eq\f(9,27)＝eq\f(1,3)；第二步，将新“几何体①”的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新“几何体②”，其体积V2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)；…，依此类推，到第n步，所得新“几何体”的体积Vn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)2．(创新题)对于命题：若O是线段AB上一点，则有|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．【解析】将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有VO－BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.【答案】VO－BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.eq\a\vs4\al(程序框图（多维探究型）)命题角度一求输入或输出值【典例2】(1)(2015·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为()A．2B．7C．8D．128(2)(2015·新课标Ⅰ高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()A．5B．6C．7D．8【解析】(1)根据框图的功能模拟运行即可得出答案．由程序框图知，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥2，,9－x，x＜2.))∵输入x的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y的值为8.故选C.(2)本题考查了考生对程序框图的掌握情况，依次写出S，m，n的值，判断出何时退出循环即可．由程序框图可知，S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)，n＝1，eq\f(1,2)＞0.01；S＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,8)，n＝2，eq\f(1,4)＞0.01；S＝eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)，m＝eq\f(1,16)，n＝3，eq\f(1,8)＞0.01；S＝eq\f(1,8)－eq\f(1,16)＝eq\f(1,16)，m＝eq\f(1,32)，n＝4，eq\f(1,16)＞0.01；S＝eq\f(1,16)－eq\f(1,32)＝eq\f(1,32)，m＝eq\f(1,64)，n＝5，eq\f(1,32)＞0.01；S＝eq\f(1,32)－eq\f(1,64)＝eq\f(1,64)，m＝eq\f(1,128)，n＝6，eq\f(1,64)＞0.01；S＝eq\f(1,64)－eq\f(1,128)＝eq\f(1,128)，m＝eq\f(1,256)，n＝7，eq\f(1,128)＜0.01.故选C.【答案】(1)C(2)C命题角度二完善程序框图(流程图)【典例3】(1)已知函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥2，,2－x，x＜2.))如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．(2)(2015·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A．s≤eq\f(3,4)B．s≤eq\f(5,6)C．s≤eq\f(11,12)D．s≤eq\f(25,24)【解析】本题考查程序框图的识别与判断框中条件的确定．(1)框图中的①是分段函数解析式分段的条件，同时逻辑判断“是”后的运行结果y＝2－x，故填写x＜2.②是分段函数的另一个解析式y＝log2x.(2)第一次循环，得k＝2，s＝eq\f(1,2)；第二次循环，得k＝4，s＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；第三次循环，得k＝6，s＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)；第四次循环，得k＝8，s＝eq\f(11,12)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24)，此时退出循环，输出k＝8，所以判断框内可填入的条件是s≤eq\f(11,12)，故选C.【答案】(1)①x＜2②y＝log2x(2)C【规律感悟】1.解答程序框图(流程图)问题的方法(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，造成失误．2．循环结构的两个注意点(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环．[针对训练]1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝()A.eq\f(6,7)B.eq\f(3,7)C.eq\f(8,9)D.eq\f(4,9)【解析】第一次循环，S＝eq\f(1,1×3)，此时i＝2，不满足条件，继续第二次循环，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)，此时i＝3，不满足条件，继续第三次循环，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋(eq\f(1,5)－eq\f(1,7))]＝eq\f(3,7)，此时i＝4＞3，退出循环，输出S的值为eq\f(3,7)，选B.【答案】B2．(2015·兰州诊断)如图，程序输出的结果为132，则判断框中应填()A．i≥10?B．i≥11?C．i≤11?D．i≥12?【解析】由题意知，S＝1，i＝12；S＝12，i＝11；S＝132，i＝10，此时输出S，所以判断框中应填“i≥11？”，故选B.【答案】B转化与化归思想求解复数和算法问题[思想诠释]复数和算法问题用到转化与化归思想的常见题型：1．复数的运算：如求复数的几何意义、概念问题、运算等问题都要转化为复数的运算，尤其除法运算．2．算法的输入、输出和判断：程序框图的输入和输出结果及判断条件问题都要用转化思想．[典例剖析]【典例】(1)(2015·湖南高考)已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)(2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为________．【审题策略】(1)直接解方程求出z，再化简即可；(2)结合程序框图，逐步转化验证求解．【解析】(1)由题意得z＝eq\f(（1－i）2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，故选D.(2)执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414＞0.005，a＝eq\f(3,2)，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086＞0.005，a＝eq\f(7,5)，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014＞0.005，a＝eq\f(17,12)，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|＜0.005，输出n＝4.【答案】(1)D(2)4[针对训练]1．(2015·长春质检(二))复数eq\f(1－i,2－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(（1－i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i.故选D.【答案】D2．(2015·大连高三双基测试)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．－1【解析】S和n依次循环的结果如下：eq\f(1,1－a)，2；1－eq\f(1,a)，4；所以1－eq\f(1,a)＝2，a＝－1.故选D.【答案】D1．必记公式复数的运算方法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．2．重要结论(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，eq\f(a＋bi,b－ai)＝i，eq\f(a－bi,b＋ai)＝－i.3．易错提醒(1)①遇到i2，忘记应化为－1.②虚数与纯虚数的条件不要弄混，当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．③要注意i的周期性，不要记错．(2)识别程序框图有误：读不懂程序框图的逻辑顺序，混淆处理框与输入框的区别，不能准确把握判断框中的条件，对条件结构中的流向确定不准确．限时训练(二)建议用时实际用时错题档案40分钟一、选择题1．(2015·山东高考)若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i【解析】由已知z＝i(1－i)＝i－i2＝i＋1，所以z＝1－i.故选A.【答案】A2．(2015·四川高考)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)【解析】由程序框图与循环结束的条件“k＞4？”可知，最后输出的S＝sineq\f(5π,6)＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，选D.【答案】D3．(2015·河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．【答案】C4．(2015·山东泰安二模)设复数z1＝1＋i，z2＝2＋xi(x∈R)，若z1·z2∈R，则x的值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】z1·z2＝(1＋i)(2＋xi)＝(2－x)＋(x＋2)i.由z1·z2∈R得x＋2＝0，即x＝－2.故选A.【答案】A5．(2015·陕西高考)根据下边框图，当输入x为2006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28【解析】由题意可得，x依次为2006，2004，2002，…，0，－2，执行y＝3－(－2)＋1＝10，故输出的y＝10.选C.【答案】C6．(预测题)观察下图12343456745678910…则第几行的各数之和等于20152()A．2015B．2013C．1007D．1008【解析】由题意知S1＝12，S2＝32，S3＝52，S4＝72，……Sn＝(2n－1)2，∴2n－1＝2015，∴n＝1008，故选D.【答案】D7．(2015·青岛二模)复数eq\f(1＋i,i3)(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】eq\f(1＋i,i3)＝eq\f(（1＋i）i,i4)＝(1＋i)i＝i＋i2＝－1＋i.故选B.【答案】B8．已知i是虚数单位，z＝(eq\f(1－i,1＋i))2＋i2015，且z的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))，则|eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A．4B．2C.eq\r(2)D．1【解析】z＝(eq\f(1－i,1＋i))2＋i2015＝(－i)2－i＝－1－i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝－1＋i，则|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(（－1）2＋12)＝eq\r(2).故选C.【答案】C9．(2015·江西南昌二模)如图所示程序框图，其功能是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由程序框图可知y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln|x|，|x|＞1,x2，|x|≤1))，则根据题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|＞1,ln|x|＝x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|≤1,x2＝x))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|≤1,x2＝x))，得x＝0或x＝1.令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数，又f(1)＝ln1－1＝－1＜0，故当x＞1时，方程lnx＝x即ln|x|＝x无解；当x＜－1时，ln|x|＞ln1＝0，则ln|x|＞x，即ln|x|＝x无解，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|＞1,ln|x|＝x))无解．综上所述，符合条件的x值有2个．【答案】B10．(预测题)如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是()A．i≤7?B．i＞7?C．i≤9?D．i＞9?【解析】当i＝10时必须满足条件，故舍去A、C，i＝10，S＝1，满足条件得，S＝10，i＝9；满足条件，S＝90，i＝8；继续满足条件，S＝720，i＝7，输出合题意，故选B.【答案】B二、填空题11．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________．【解析】设z＝a＋bi，则(a＋bi)(a－bi)＝＝|z|2＝3.【答案】312．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．【解析】由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.【答案】－213．(2015·山东高考)执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．【解析】当x＝1时，1＜2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x＜2，则y＝3×22＋1＝13.【答案】1314．(文)(预测题)设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________．【解析】由f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)得，f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,（22－1）x＋22)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,（23－1）x＋23)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(x,（24－1）x＋24)，……∴当n≥2且n∈N*时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝eq\f(x,（2n－1）x＋2n).【答案】eq\f(x,（2n－1）x＋2n)(理)(预测题)观察下列等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1；eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12；eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39；……则当m＜n且m，n∈N时，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝________(最后结果用m，n表示)．【解析】由eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，知m＝0，n＝1，1＝12－02；由eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12，知m＝2，n＝4，12＝42－22；由eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39，知m＝5，n＝8，39＝82－52；……依此规律可归纳，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝n2－m2.【答案】n2－m215．(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S的范围是________．【解析】当0≤t≤2时，S＝t－3∈[－3，－1]．当－2≤t＜0时，2t2＋1∈(1，9]，则S∈(－2，6]．综上，S∈[－3，6]．【答案】[－3，6]第3讲不等式与线性规划1．(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.eq\f(a,c)>eq\f(b,d)B.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)【解析】解决本题时可采用特值法判断：令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，易知A，B，C均错误．故选D.【答案】D2．(2015·广东高考)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y，≤2))则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B.eq\f(23,5)C．6D.eq\f(31,5)【解析】作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)经过点A时z取得最小值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,4x＋5y＝8))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝\f(4,5)))，此时，zmin＝3×1＋2×eq\f(4,5)＝eq\f(23,5).【答案】B3．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)【解析】－x2－3x＋4>0⇒(x＋4)(x－1)<0⇒－4<x<1.【答案】(－4，1)4．(2015·重庆高考)设a，b＞0，a＋b＝5，则eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值为________．【解析】(eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq\r(a＋1)·eq\r(b＋3)≤9＋2·eq\f(（\r(a＋1)）2＋（\r(b＋3)）2,2)＝9＋a＋b＋4＝18，所以eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)≤3eq\r(2)，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝eq\f(7,2)，b＝eq\f(3,2)时等号成立．所以eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值为3eq\r(2).【答案】3eq\r(2)从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.不等式的性质与解法①考查利用不等式的性质判定命题的真假；②考查一元二次不等式的解法；③考查由含参不等式恒成立求参数范围.题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题2.基本不等式的应用①考查利用基本不等式求最值；②考查由最值求参数范围.题型：选择题或填空题难度：中档题3.线性规划问题①考查求区域面积；②考查求最值；③考查由最值求参数的值或取值范围.题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题eq\a\vs4\al(不等式的性质与解法（自主探究型）)1．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz【解析】用特值法进行验证．令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.【答案】B2．(2015·江苏高考)不等式＜4的解集为________．【解析】本题考查不等式的求解，意在考查考生对指数函数单调性的应用能力以及对一元二次不等式解法的掌握情况．不等式＜4⇔x2－x＜2⇔－1＜x＜2，故原不等式的解集为(－1，2)．【答案】(－1，2)3．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．【解析】含参数的二次不等式问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立来解决．∵对于任意x∈[m，m＋1]，f(x)<0恒成立．∴由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1<0,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0))，解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))【规律感悟】确定含参二次不等式的四个分类标准标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式．标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向．标准三：判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解．标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小．eq\a\vs4\al(基本不等式的应用（师生共研型）)【典例1】(1)(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x⊗y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．(2)(2015·福建高考)若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4【解析】(1)本题是新定义题，主要考查利用基本不等式求最值等有关知识，考查考生的阅读理解能力和运算求解能力．因为x＞0，y＞0，所以x⊗y＋(2y)⊗x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)＝eq\f(1,2)(eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x))≥eq\r(2)，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝eq\r(2)y时取等号．故x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为eq\r(2).(2)本题主要考查直线方程、基本不等式的应用等基础知识，意在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力．因为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.【答案】(1)eq\r(2)(2)C[一题多变]若题(2)变为：(2015·山东济宁二模)在△ABC中，E为AC上一点，eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，P为BE上任一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，则eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)的最小值是________．【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(A