中考数学二轮复习专题练习(上)常用辅助线-旋转新人教版

223.辅助线之一旋转.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形BE的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积.ABE,AEB90,AC、BD交于O.已知AE、解析:显然 BOA BEA 90,所以 OBA OAB EBA EAB90,所以 OBA EBA EAB OAB,所以 OBE OAE ,则逆时针旋转OEA,旋转90,则OA与OB重合,E落在BE上白E处，且BOEAOE,OEOE,BEEA4,因为BOE EOA90,所以OAE AOE90,所以OEE'是等腰直角三角形.且EE'532,，一 〜 1作OFBE,所以OF-EE1.—,一1 2所以SOEB-152.5cm2.2.如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90,ADCD,DPAB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.解析:QADDC把VDAP绕D点逆时针旋转90,使DC与AD重合,则PDEADC90,QDPB90,四边形DPBE为矩形.QDP旋转至DE,则DPDE,矩形DPBE为正方形,且S正方形DPBE=SI边形ABCD=16,DP4..如图，正方形ABCD中，FADFAE.求证：BEDFAEAD答案：见解析AD答案：见解析解析：••.四边形ABCD是正方形，，ABAD.将VADF绕A点顺时针旋转至VABM，使AD与AB重合.则BMDF,且DAFBAM,MAFD.DCPAB,..AFDFAB.•BAFEAFBAE,且EAF=DAFBAM,BAFBAMBAEEAMAFDM.故AEEMBEBMBEDF.4.如图，正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E.求证:AFDFBE.答案：见解析解析:

•••四边形•••四边形ABCD是正方形，，ABAD.将VADF绕A点顺时针旋转至VABM，使AD与AB重合.则BMDF,且3 4,MAFD.AE平分BAF, 1=2,3 2=4 1,即EADMAE.AD//BC,•.MEAEAD,MEAMAE,AMME.即AMBMBE.AFDFBE,得证.AB.5.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF45,AHEF,H为垂足，求证：AHAB.答案：见解析答案：见解析解析：••・四边形绕ABCD为正方形，，ADAB.15，求AEF15，求AEF的面积.答案：见解析将VADF绕A点顺时针旋转至VABG.则1 2,AFAG.•••3 445,，1 545.2 545,即EAG EAFAEAE,VAGEVAFE(SAS).根据全等三角形白^对应高相等（利用三角形全等可证得■）,可得ABAH.6.如图所示，在正方形ABCD中，ABJ3,点E、F分别在BC、CD上，且BAE30,DAF解析：如图所示，将ADF绕点A顺时针旋转90,得到ABG，则G、B、E共线.BAGDAF15,AGAF.而GAE153045,且FAE90153045,故GAE FAE,•••AEAE,•,GAEVFAE.由此可得EFEG,AEFAEG90 30 60由此可得EFEG,AEFAEG90 30 60FEC180 60 60 60EFC90 60 30FEC180 60 60 60EFC90 60 30在RtABE中，AB73,BAE30,故BE1,CE731.在 RtEFC 中， EFC 30，则EF2(* 1)EG.1 1 — — —故SAEFSAEG -EG AB -2( 31),33 3.7.如图，正方形ABCD的边长为1,AB、AD上各存一点P、Q,若APQ的周长为2,求PCQ的度数.解析:把CDQ绕点解析:把CDQ绕点C旋转90至iJCBF的位置,CQ=CF..AQAPQP2,又AQQDAPPB2,..QD+BP=QP.又DQ=BF,..PQ=BPBFPF.QCPWFCP...QCPFCP.又.QCF90PCQ45又.QCF90PCQ458.如图：正方形ABCD的边长为6cmE8.如图：正方形ABCD的边长为6cmE是AD的中点，点P在AB上，且ECP45.则PE的长是多少cm.VPEC的面积是多少cm2・.①求PE的长：•.四边形ABCD为正方形，，BCDC.将VEDC绕C点逆时针旋转90至VBCM处，使DC与BC重合,1…则ECCM, 1 2.MBED-AD32••1 390 45 45, 2 345,则PCMPCE,PCPC,VPCMVPCE,PMPE.设PBx,则PMx3PE,APABBP6x.,在RtVAPE中，有AP2AE2PE2.

2 2 26x 32 x3,解得x2.••PEx35.②求VPEC的面积:.VPECVPCE,-SVPECS-SVPECSVPCM1八 1八—BCPM—BCBPBM2 21-623 15.29.如图，在直角梯形9.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BCBCADB90,ABBC12,E是AB上一点，且DCE45,BE4,求DE的长.解析:解析:过C作CGAD,交AD延长线于G.•.四边形ABCD是正方形，，BCCG.将VBEC绕C点顺时针旋转90,至VCGF,使BC与CG重合.则有1 2,CECF,GFBE4.••ECD45, 1 3904545.2 345.・CDCD，•二VCEDVCFD.故DEDF.

设DGx设DGx,则DFx4DEADAGDG12x在RtVAED中，ae2AD2ED2.口r2 2 2即82 12xx4.解这个方程，得：x6.DEx410.10.如图，在ABC中，ACB90,ACBC,P是ABC内的一点，且PB1,PC2,PA3,求BPC的度数.解析:的度数.解析:如图，将APC绕点C旋转，使CA与CB重合，TOC\o"1-5"\h\z即APC里BEC,PC=CE1 2,••• 2 PCB 90,••• 1 PCB 90.PCE为等腰直角三角形，CPE 45 ,PE2PC2 CE2 8.又•••PB2 1,BE29,•• PE2PB2 BE2贝U BPE 90 .BPC CPE BPE4590 13511.如图,P是等边11.如图,P是等边ABC内一点，若AP3,PB4,PC5,求APB的度数.A解析:如图，将BPC沿点B逆时针旋转60,则BPBP,连接PP,AP.VPBP60,BPBP4,VBPP为等边三角形，PP4,PPB60.AP2PP2AP2，「•APP90,「•APBPPBAPP15012.P为等边ABC内一点， APB113,APC123,求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数 .答案：见解析解析:常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段要判断AP、BP、CP三条线段可以构成一个三角形的三边,的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以C为中心，将APC逆时针旋转60,点变到点变到B点，线段CA变到CB,此时，CPCP1,并且PCPPC"为等边三角形，所以PPi这时， BPPi就是以BP、AP(易知BRP BRC CRP而BPC360o113o123o所以BPR BPCCPB因此PBP180o63o64oP点变到R点,60°,BRCAPC123o.CP,CPPCPP600.BP1)、CP(PP1)为三边构成的三角形APC600123°60°63°124°124°60°64°53°13.如图，P为正方形ABCD内一点，PA1,PD2,PC3.求APD的度数.解析:ABMABM•・四边形ABCD为正方形，，ADDC.将PDA绕着D点按顺时针旋转90到MDC的位置（如图），连接PM.则PDDM2,PDM90PDM是等腰直角三角形.PM2A,PMD45•PM28,MC2PA21,PC29PM2MC2PC2••PMC为直角三角形.PMC90,APDDMCPMDPMC135.13.如图所示，P是等边ABC中的一点，PA2,PB2J3,PC4,试求ABC的边长.CB A答案:2.7解析:B CB CPlCB A由于有等边三角形，故可考虑将 PBA绕点B旋转60,使PA、PB、PC出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.解：将PBA绕点B逆时针旋转60,则BA与BC重合，A点转至C点，P点转至Pi点，连接PPi,如图所示，有PCPA2,RBPB2J3,PBPi60.故PBPi为等边三角形，PRBP2J3,在PCPi中，PC24222(273)2RC2RP2,1一故PRC90,PC-PC,2从而有CPPi30,故BPCBPRPPC60 30 90.所以，在RtPBC中，BC2PB2PC242(273)228,BC2^/7.i4.如图所示，P为正方形ABCD内一点，若PAa,PB2a,PC3a(a0).求：⑴ APB的度数；⑵正方形的边长.B CB C答案：（1）135；⑵ab后下星解析:Q(1)将APB绕点B顺时针旋转90,得到CQB.连接PQ,因为PBQ90,PBQB2a,所以PQBQPB45,PQ272a.PQC中，PC3aCQa,PQ2缶，则PC2CQ2PQ2,所以PQC90,故APBCQB9045 135.(2)因APBBPQ13545 180,则a、P、Q三点共线,故AQ22aa(12,2)aQCa,在RtAQC中,根据勾股定理得ac、a2[（12.2）a]2所以ABACsin45£ac5g.15.在ABC中，ABAC,P是ABC内任意一点，已知APCAPB,求证：PBPC.答案：见解析解析:因为ABAC,所以可将ABP绕点A旋转到ACD的位置,ADCAPB枝PPD、AD、CD,则APAD,PBDC,ADCAPB因为APCAPB因为APCAPB,所以APCADC由ADAP由ADAP,可得APD ADP,则DPCDCPC,即PBABC外的一点，PA3,ABC外的一点，PA3,PB4,PC5,求APB的度数.16.如图，P是等边答案：30解析：ABAC,C解析：ABAC,C・•・将VAPC绕A点逆时针旋转60至VABM，使AC与AB重合,则AMAP3PAB60BMPC5,BAMPACPABBAC120.•••PAMBAMPAB120 60 60,VAPM为等边三角形，则PMAM3,APMPAM60,在VPMB中，:BM2PM2PB2,，VMPB为直角三角形，即 BPM90.BPABPMAPM90 60 30.17.如图，正方形ABCD内一点P,PADPDA15,连ZPB、PC,请问：PBC是等边三角形吗？为什么？答案：见解析解析:AC答案：见解析解析:AC将APD绕点D逆时针旋转90,得DPC,再作DPC关于DC的轴对称图形DQC,得VAPDVCQDCPD.所以PDQD,QDCDCQPADPDA15,PDQ901515 60PDQ为等边三角形，即 PQD60又.DQCAPD又.DQCAPD1801515 150,PQC36060150 150DQC.PADPDA15APPDPQC36060150 150DQC.PADPDA15APPD,则有DQQC.QDQD.PQPCQQCP15.PCD30PCBDCBPCD90 30 60PQPCQQCP15.PCD30PCBDCBPCD90 30 60.同理可得PBC60.PBCPBC为等边三角形.18.VABC中，C90,四边形CDEF是18.VABC中，C90,四边形CDEF是VABC的内接正方形，AE30cm,BE24cm,求S/adeSVBEF的值.解析:cC如图，•••四边形EFCD是正方形，，EF将VBEF绕点E逆时针旋转90至VGED,使EF与ED重合.则有VBEFVGED.FED90,BEFAED90.BEFGED,GEDAED90故SVADESVBEF故SVADESVBEFSVADESVGED- 1- 1SV7AEG1GEEA5BEEA27.19.梯形19.梯形ABCD中，ADPBC,B90,AB1,AD3,BC5,DEDC且DEDC,求AE的长和VADE面积.解析:F长和VADE面积.解析:F••DEDC，，将VADE绕D点顺时针旋转90,至VFDC处，使DE与DC重合.则DCDE,DFAD3,AEFC,延长FD交BC于点G,•・旋转角是90,•••FDA90,••ADPBG,FGB90,.•・四边形ABGD是矩形，BGAD3,.BC5,•.GCBCBG532,DGAB1,在RtVFGC中，根据勾股定理有FG2GC2FC2,2 2 2即31 2FC,解得FC2、5SVADE SVFDC SVFGC SVDGC1FG2GC1-~-DGGC3.220.在梯形ABCD中，ADPBC90CD12,ABE45，若AE10,求CE的长。DS答案：6或4解析:.ADPBC,D90,C90过点B作BMDA,交DA延长线与点故四边形DMBC是矩形,•••BCDC12,矩形DMBC是正方形，则BMDCBC12,将VBCE绕B点顺时针90,至VBMN处,则VBCEWBMN,MBNEBC,ABE45,EBCABM45MBNABM45ABE,.BEBN,VABE^VABN,•.ANAE10,设ECx,则MNx,AMANMN10x,DADMAM1210x2x,••DEDCEC12x,..在RtVADE中，x22 12x2102,解得x6或x4,即EC的长为6或4.21.如图，P等边三角形ABC内一点，且APC117,BPC130，求以AP、BP、CP为边的三角形各内角的度数。答案：见解析解析:答案：见解析解析:要判断AP、BP、CP三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以C为中心，将APC逆时针旋转60，则A点变到B点，线段CA变到CB,P点变到D点，此时，CPCD,并且PCD60,BDC APC117PCD为等边三角形，所以PDCP,CPD CDP60.ABACAECF..ABACAECF.这时，BPD就是以BP、AP(这时，BPD就是以BP、AP(BD)、CP(PD)为三边构成的三角形.易知BDPBDCCDPAPC60 117 60 57而BPC360 117 130 113所以BPD所以BPDBPCCPD130 60 70因此PBD180 57 70 5322.如图，因此PBD180 57 70 5322.如图，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中点，EDFD,ED与AB交于E,FD与AC交于F.求证：BEAF,AECF答案：见解析答案：见解析解析：连ZAD.•••ABAC