细长中心受压直杆临界力的欧拉公式课件

第11章压杆稳定轴向受压单向偏心受压第11章压杆稳定轴向受压单向偏心受压

图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺能承受的荷载.图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴

再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺寸为11.5×0.6mm2，材料的许用应力[σ]=230MPa，根据强度条件可以计算出钢锯条能够承受的的轴向压力为F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而实际上，这个钢锯条会在不到5N的压力下就朝厚度很薄的方向弯曲，丧失承载能力。由此可见，钢锯条的承载能力并不是取决于其轴向的压缩强度，而是与它受压时直线形式的平衡失去稳定性有关。再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺寸压杆稳定性的概念

构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳衡和临界平衡。判断平衡是否稳定，必须加干扰。干扰可以是加一个力；可以是使其振动；甚至是吹一口气。

1、稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形式下的平衡，称为稳定平衡。

2、不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形式下的平衡，称为不稳定平衡。

3、临界平衡（随遇平衡）：临界情况。小变形情况下，干扰到那里，就在那里保持曲线形式的平衡。压杆稳定性的概念构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳§2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式简化1剪切变形的影响可以忽略不计2不考虑杆的轴向变形§2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式简化1剪边界条件挠曲线中点的挠度边界条件挠曲线中点的挠度欧拉公式挠曲线为半波正弦曲线欧拉公式挠曲线为半波正弦曲线§3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式.压杆的长度因数

L

LLL

§3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式.利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力

两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。例题11.11.节点B的平衡2.两杆分别达到临界力时F可达最大值两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)压杆失稳可能有以下三种形式:1.每根压杆两端固定分别失稳例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)2.两杆下端固定上端自由，以z为中性轴弯曲失稳。例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)3.两杆下端固定上端自由，以y为中性轴弯曲失稳。例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别

一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。例题11.3一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方将x=0,y=0,

代入上述二式得X=L将x=0,y=0,§4欧拉公式的应用范围.临界应力总图柔度大柔度杆或细长杆不能用欧拉公式.§4欧拉公式的应用范围.临界应力总图柔度大柔度杆或根据柔度的大小可将压杆分为三类:1.大柔度杆或细长杆

压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限.2.中长杆

压杆亦发生屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限.截面上某些部分已进入塑性状态.为非弹性屈曲.3.粗短杆

压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服.临界应力总图根据柔度的大小可将压杆分为三类:1.大柔度杆或细长杆压

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。例题11.41.计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。例题11.42.计算各杆的临界荷载图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢A3钢制成的矩形截面杆，受力情况及两端销钉支撑情况如图所示，b＝40mm，h＝75mm，L＝2100mm，L1＝2000mm，E＝206GPa，试求压杆的临界应力。例题11.5A3钢制成的矩形截面杆，受力情况及两端销钉支撑情况§5实际压杆的稳定因数§6压杆的稳定计算.压杆的合理截面§5实际压杆的稳定因数§6压杆的稳定计算.压影响压杆承载能力的因素:1.细长杆影响因素较多,与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。2.中长杆影响因素主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比及压杆的横截面面积2.粗短杆影响因素主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截面面积。影响压杆承载能力的因素:1.细长杆影响因素较多,与弹性模量提高压杆承载能力的主要途径

为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：（1）尽量减少压杆杆长

对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。两种桁架中的①、④杆均为压杆，但图b中压杆承载能力要远远高于图a中的压杆。提高压杆承载能力的主要途径为了提高压杆承载能力，必（2）增强支承的刚性提高压杆承载能力的主要途径

支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。（3）合理选择截面形状

当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量使从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.因此,对一定的横截面面积,正方形截面或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好.

当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束.（2）增强支承的刚性提高压杆承载能力的主要途径（3）合理选择（4）合理选用材料

在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。

但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。（4）合理选用材料但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷

图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内；B.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xz面内；C.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xy面内；D.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。例题11.6B图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。A

图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（）相同。A.长度因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。例题11.7B图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（例题11.8

在下列有关压杆临界应力σcr的结论中，（）是正确的。A.细长杆的σcr值与杆的材料无关；B.中长杆的σcr值与杆的柔度无关；C.中长杆的σcr值与杆的材料无关；D.短粗杆的σcr值与杆的柔度无关。D例题11.8在下列有关压杆临界例题11.9

图示各杆横截面面积相等，在其它条件均相同的条件下，压杆采用图（）所示截面形状，其稳定性最好。(A)(B)(C)(D)D例题11.9图示各杆横截面面积相等，在其例题11.10例题11.11

将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提高（）压杆的承压能力。A.细长；B.中长；C.短粗D.非短粗。

由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（）。A.稳定性提高，强度不变；B.稳定性不变，强度提高；C.稳定性和强度都提高；D.稳定性和强度都不变。AB例题11.10例题11.11将低碳钢第11章压杆稳定轴向受压单向偏心受压第11章压杆稳定轴向受压单向偏心受压

图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺能承受的荷载.图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴

再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺寸为11.5×0.6mm2，材料的许用应力[σ]=230MPa，根据强度条件可以计算出钢锯条能够承受的的轴向压力为F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而实际上，这个钢锯条会在不到5N的压力下就朝厚度很薄的方向弯曲，丧失承载能力。由此可见，钢锯条的承载能力并不是取决于其轴向的压缩强度，而是与它受压时直线形式的平衡失去稳定性有关。再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺寸压杆稳定性的概念

构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳衡和临界平衡。判断平衡是否稳定，必须加干扰。干扰可以是加一个力；可以是使其振动；甚至是吹一口气。

1、稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形式下的平衡，称为稳定平衡。

2、不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形式下的平衡，称为不稳定平衡。

3、临界平衡（随遇平衡）：临界情况。小变形情况下，干扰到那里，就在那里保持曲线形式的平衡。压杆稳定性的概念构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳§2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式简化1剪切变形的影响可以忽略不计2不考虑杆的轴向变形§2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式简化1剪边界条件挠曲线中点的挠度边界条件挠曲线中点的挠度欧拉公式挠曲线为半波正弦曲线欧拉公式挠曲线为半波正弦曲线§3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式.压杆的长度因数

L

LLL

§3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式.利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力

两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。例题11.11.节点B的平衡2.两杆分别达到临界力时F可达最大值两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)压杆失稳可能有以下三种形式:1.每根压杆两端固定分别失稳例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)2.两杆下端固定上端自由，以z为中性轴弯曲失稳。例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别例题11.2

两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式,并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)3.两杆下端固定上端自由，以y为中性轴弯曲失稳。例题11.2两根直径为d的圆杆,上下两端分别

一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。例题11.3一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可沿水平方将x=0,y=0,

代入上述二式得X=L将x=0,y=0,§4欧拉公式的应用范围.临界应力总图柔度大柔度杆或细长杆不能用欧拉公式.§4欧拉公式的应用范围.临界应力总图柔度大柔度杆或根据柔度的大小可将压杆分为三类:1.大柔度杆或细长杆

压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限.2.中长杆

压杆亦发生屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限.截面上某些部分已进入塑性状态.为非弹性屈曲.3.粗短杆

压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服.临界应力总图根据柔度的大小可将压杆分为三类:1.大柔度杆或细长杆压

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。例题11.41.计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢

图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。例题11.42.计算各杆的临界荷载图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢A3钢制成的矩形截面杆，受力情况及两端销钉支撑情况如图所示，b＝40mm，h＝75mm，L＝2100mm，L1＝2000mm，E＝206GPa，试求压杆的临界应力。例题11.5A3钢制成的矩形截面杆，受力情况及两端销钉支撑情况§5实际压杆的稳定因数§6压杆的稳定计算.压杆的合理截面§5实际压杆的稳定因数§6压杆的稳定计算.压影响压杆承载能力的因素:1.细长杆影响因素较多,与弹性模量E，截面形状，几何尺寸以及约束条件等因素有关。2.中长杆影响因素主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比及压杆的横截面面积2.粗短杆影响因素主要取决于材料的屈服强度和杆件的横截面面积。影响压杆承载能力的因素:1.细长杆影响因素较多,与弹性模量提高压杆承载能力的主要途径

为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：（1）尽量减少压杆杆长

对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长从而提高压杆承载能力的目的。两种桁架中的①、④杆均为压杆，但图b中压杆承载能力要远远高于图a中的压杆。提高压杆承载能力的主要途径为了提高压杆承载能力，必（2）增强支承的刚性提高压杆承载能力的主要途径

支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。（3）合理选择截面形状

当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量使从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.因此,对一定的横截面面积,正方形截面或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好.

当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束.（2）增强支承的刚性提高压杆承载能力的主要途径（3）合理选择（4）合理选用材料

在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。

但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。（4）合理选用材料但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷

图示两