数学基础知识

关于数学基础知识第一页，共五十六页，2022年，8月28日第二章数学基础知识第一节统计学基础知识第二节微积分知识第三节线性代数知识第二页，共五十六页，2022年，8月28日第一节统计学基本知识一、算术平均算术平均（arithmeticmean）就是我们日常生活中使用的普通的平均数，其定义如下式：第三页，共五十六页，2022年，8月28日二、加权算术平均加权平均（weightedarithmeticmean）是将各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再求平均的方法。其定义如下式：第四页，共五十六页，2022年，8月28日三、变化率变化率的定义如下式：第五页，共五十六页，2022年，8月28日四、几何平均几何平均（geometricmean）是n个数据连乘积的n次方根，其定义如下式：

第六页，共五十六页，2022年，8月28日五、移动平均所谓移动平均（moving

average），就是对时间序列数据的前后数据求平均，将不必要的变动（

循环变动、季节变动和不规则变动）平滑（smoothing），也即剔除这些变动，从而发现长期变化方向的一种方法。第七页，共五十六页，2022年，8月28日通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算，下面是3项移动平均和5项移动平均的定义。3项移动平均：

第八页，共五十六页，2022年，8月28日5项移动平均：

第九页，共五十六页，2022年，8月28日EXCEL演示?三项移动平均五项移动平均第十页，共五十六页，2022年，8月28日六、方差与标准差为了了解数据的结构，有必要考察数据的集中趋势和分散的程度。对于集中的趋势，我们从前面学习过的算术平均中已经大体有所了解，而对于分散的程度，通过对方差（variance）与标准差（standarddeviation），以及下一节将要介绍的变动系数的计算，能够得到很多信息。第十一页，共五十六页，2022年，8月28日方差的计算方法是，先将每个数据与算术平均数之差（即离差）的平方相加求和，再除于样本数减一(样本，总体不减）。而标准差是方差的正的平方根。由于方差是通过平方计算的，它与原数据的次数有所不同，而标准差由于是方差的平方根，因而又与原数据的次数相同。因此，标准差与原数据的单位相同，而方差则不附加单位。

第十二页，共五十六页，2022年，8月28日方差S2的定义分别如下式（样本）：

第十三页，共五十六页，2022年，8月28日标准差S的的定义分别如下式：第十四页，共五十六页，2022年，8月28日七、变动系数变动系数（coefficientofvariation）又称变异系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表示。变动系数CV的定义如下式：

第十五页，共五十六页，2022年，8月28日八、标准化变量标准差变量（standardizedvariable）,又称基准化变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平均数的偏离程度，是标准差s的多少倍。借此可以看出该数据在全体数据所处的位置。标准化变量z的定义如下式：第十六页，共五十六页，2022年，8月28日九、相关系数

所谓相关系数（correlationcoefficient）是用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒的消费量、汇率与牛肉的进口价格等两个变量X、Y之间的相互关系的大小和方向（正或负）的系数。通过计算相关系数，可以知道X与Y之间具有多大程度的线性（linear）关系。相关系数R的定义如下式：第十七页，共五十六页，2022年，8月28日第十八页，共五十六页，2022年，8月28日相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下的不同含义：

（1）R=1完全正相关（perfectpositivecorrelation）（2）R>0正相关（positivecorrelation）（3）R=0不相关（nocorrelation）（4）R<0负相关（negativecorrelation）（5）R=-1完全负相关（perfectnegativecorrelation）为什么会有上述结果？请结合公式思考。第十九页，共五十六页，2022年，8月28日十、概率分布随机变量在各个可能值上出现的概率的大小的情况，叫概率分布。概率分布可用概率函数描述。离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率，则概率函数为P（X=xi）i=1,2,3,…n概率函数满足P（X=xi）≥0；第二十页，共五十六页，2022年，8月28日十一、概率分布连续性的随机变量概率函数第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日十二、总体与样本数理统计中把所研究对象的全部单位所组成的集合，叫做总体。从总体中抽出的部分单位所组成的集合，叫做样本。单个对象叫个体。第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日十三、正态分布当连续的随机变量的概率密度函数形式为时，称X的分布为正态分布,记为X～，密度函数中和是X的数学期望和方差。第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日十三、正态分布（总体分布）当和时，称X服从标准正态分布，记为X～。对于非标准正态分布的X，总可以作如下变换，，使Z服从标准正态分布。第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日正态分布为何重要？身高？体重？财富？空调运行时间？…………第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日十四、抽样分布

1、分布2、t分布3、F分布第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日1、分布统计量定义为

Xi符从正态分布。

xi服从标准正态分布，

服从自由度为n的卡方分布，卡方分布其实就是残差平方和。Xi服从正态分布第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日分布的密度函数为：其数学期望其方差为，第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日N=4N=15第三十页，共五十六页，2022年，8月28日如果随机变量X服从标准正态分布N（0，1）；随机变量Y服从自由度为n、方差为2n的分布。并且X和Y相互独立，则统计量：服从t分布（注：可以将分子理解为符合标准正态分布的参数，分母看作其标准差。2、t分布第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日t分布的密度函数为其数学期望E（t）=0，方差t分布的特点是：左右对称；当n很大时，非常接近正态分布。第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日对于从标准正态分布中的总体中抽的容量为n的简单随机样本，其样本均值与样本标准差S构成如下统计量。服从自由度为n-1的t分布，记为t～t(n-1)。注意：这里的分母是子样标准差除以自由度，实际上是子样均值的标准差！只有这样才与分子保持一致性。分子被平均了，分母当然也要平均！t分布在小样本（n<30）统计推断中占有重要的地位。第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日T分布图形：正态分布相当于标准差为1的t分布。而t分布的标准差多小于1。因而出现这种尾部肥大的现象。正态分布T分布第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日如果随机变量Xi(i=1,2,3,…n),Yi(i=1,2,3,…n)是相互独立的，而且服从相同的正态分布。令3、F分布第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日则统计量服从第一自由度、第二自由度的F分布。记为F～F(,)3、F分布注：F分布在方差分析中有着重要的作用。例如判断两个正态分布总体的方差是否有显著差异，需要利用F分布。其分子与分母其实是两个方差，在进行回归检验时正是利用F函数这个特点。第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日F分布图形第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日比较：正态分布T分布F分布卡方分布第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日本班同学的身高平均是2.5米，如何证明该假设是错的？大概率与小概率事件试验：直接进行试验，发生的应该是大概率事件；若小概率事件发生，假设出现错误。判断：对假设进行肯定或否定。第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日假设（假说）检验：原假设：即拟否定假设，用H0表示；备择假设：拟证实假设，用H1表示。拟证本班同学平均身高2.5米.H0：M=2.5H1：M≠2.5验证：直接找一个学生，测量其身高；判断：假设,该生在1.9与3.1之间的概率是95%;在此之外的概率为5%。若在上述范围内,无法推翻假设,相反可推翻.第四十页，共五十六页，2022年，8月28日例1：正态分布检验设甲、乙两台机床生产同类型产品，其产品重量分别服从方差为70克（）与90克（）的正态分布。从甲机床中随机地取出35件，其平均重量是137克，独立地从乙机床随机取出45件，其平均重量130克，问在显著性为0.02时，两台机床的产品就重量而言有无显著差异？第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日解：理论：第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日例2：比较两种安眠药A、B的疗效，以10个患者为实验对象，数据如下：问：在显著性水平为0.02时，两种药的疗效是否相同？（t分布）第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日解：由于患者相同，可以建立z变量，然后假设z的均值是0，对其进行t双尾检验第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日例3（卡方分布）：设已知维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布N（1.405,0.002304)。在生产某段时间，抽取了5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.4,1.44.问该段时间纤维精度是否正常？（显著性水平是0.1，双侧检验，即左0.05,右0.05，阴影部分是0.95）解：第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日9.4913.5第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日例4（F）：甲乙两台机床加工同一种轴。从这两台机床加工的轴中随机抽取若干根，没得直径（单位为毫米）为：假定各台机床加工轴的直径分别服从正态分布，试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异。显著性取0.05,单侧检验。第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日解：第五十页，共五十六页，2022年，8月28日F分布图形第五十一页，共五十六页，2022年，8月28日思考题：试验发现喂食转基因大豆的10只小老鼠两年后有7只患癌症死亡。有人说该结果不可信，因为10只样本太小，不具有代表性。你如何看待该结论？第五十二页，共五十六页，2022年，8月28日第二节微积分基础知识速度与经济学：理解导数的实践意义；函数与导数：复习导数主要计算公式；微分与积分：了解微分与积分的概念，复习微分与积分主要公式，重点是复合函数的微分。第五十三页，共五十六页，2022