高中数学选修1-1(文)第二章-圆锥曲线与方程-例题与练习

第38页共38页第二章圆锥曲线与方程§2.2椭圆知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.（2）.椭圆的标准方程：（＞＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2、椭圆的简单几何性质（＞＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，(2).离心率：0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：，.=+(4).椭圆的的内外部点在椭圆的内部(5).焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立、等关系．面积公式：§2.1.1椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的定义应用 例1：评析：点在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点椭圆的定义，二是点满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义题型二椭圆标准方程的求法例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义可知：又所以所求的标准方程为解法2，所以可设所求的方程为，将点代人解得：所以所求的标准方程为评析求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来然后结合条件建立所满足的等式，求得的值，再代人方程备选题例3：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，．因为点P在圆上，所以．即，即，这就是动点M的轨迹方程．评析本题中的点M与点P相关，我们得到，是关键，利用点P在上的条件，进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法．点击双基1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（C）A.B.C.D.2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（B）ABCD３.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B)A4、椭圆的一个焦点坐标是，那么________15、椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为解：焦点为，可设椭圆方程为；点在椭圆上，，所以椭圆方程为课外作业一、选择题1．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（D）A B C D2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （D）A． B． C． D．3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （D）A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（C）A．B．C．或D．以上都不对5．椭圆的两个焦点是F1(－1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（C）。A＋＝1B＋＝1C＋＝1D＋＝16、椭圆的焦点坐标为（C）A、B、C、D、7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)（A）2EQ\r(,3)（B）6（C）4EQ\r(,3)（D）128．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（A）A．椭圆 B．线段C．不存在 D．椭圆或线段二、填空题9方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是_______10．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________．11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，则M的轨迹方程是三、解答题12．将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．答案： 13．答案：14．思悟小结要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指的与具体数值，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为，也可以设方程为，避免讨论和繁杂的计算§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第一课时）典例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．例1已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解把椭圆的方程写成：，，，由，得，椭圆的标准方程为：，故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，四个顶点坐标分别为评析：解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程，然后判断焦点在哪个坐标轴上，准确的求出a,b，进而求出其他有关性质题型二椭圆的几何性质简单应用例2设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A．B．C．D．分析利用椭圆的几何性质和定义解一设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．解二∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴.∵，∴，∴．故选D．评析解法一中的是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型备选题例3：椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0),B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离心率.解本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为，左焦点F(-c,0)，则，化简，得5a2-14ac+8c2=0得或（舍），评析：应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线(a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴a2>b2,∴a2>c2-a2从而.点击双基1中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则椭圆的方程是（C）A.B.C.D.2答案：ABCD4．．椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|为45、若方程(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是m＜－1课外作业一、选择题1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(D)A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=12答案3．椭圆和具有（A）A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于(B)A. B. C. D.5.椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（D）A21B22C23D246．椭圆上的点到直线的最大距离是 （D）A．3 B． C． D．7．椭圆两焦点为，，P在椭圆上，若△的面积的最大值为12，则椭圆方程为（B）A.B.C.D.8．过点M（－2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为 （D）A．2 B．－2 C． D．－二、填空题9．已知点（0,1)在椭圆eq\f(x2,5)+\f(y2,m)=1内，则m的取值范围是[1,5)(5,+∞).10．椭圆的离心率为，则的值为___________．解：当时，；当时，11．设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____．解：设，则中点，得，得即三解答题12.答案：13已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．解:由，∴椭圆的方程为：或.14椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.解：设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0又将，代入①化简得.(2)又由（1）知，∴长轴2a∈[].思悟小结1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从椭圆的标准方程读出几何性质，更要能够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题。2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第二课时）典例剖析题型一直线与椭圆例1已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:.联立方程组,消去y得,.设A(),B(),AB线段的中点为M()那么:,=所以=+2=.也就是说线段AB中点坐标为(-,).评析直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一元二次方程的问题．题型二求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题例2评析“点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程备选题例3．在中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求的重心的轨迹方程。MBOEyDACx解如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M为的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知，，于是==.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.MBOEyDACx26，，又，，，故所求的椭圆方程为.评析有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为点击双基1答案：答案：3．点P是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，则△的周长是（B） （A）12 （B）10 （C）8 （D）64．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于_________．5．已知是椭圆上的点，则的取值范围是____________．课外作业一、选择题答案：D2．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（A） A．B．C．2 D．43、若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（C）A.EQ\f(\r(2),2)B.EQ\f(1,3)C.EQ\f(1,2)D.EQ\f(\r(3),2)4．已知椭圆方程为EQ\F(x2,8)+\F(y2,m2)=1，焦点在x轴上，则其焦距等于 （A）（A）2eq\r(8–m2) （B）2eq\r(2eq\r(2)–|m|)（C）2eq\r(m2–8) （D）2eq\r(|m|–2eq\r(2))5．若椭圆eq\f(x2,16)+\f(y2,m)=1的离心率为EQ\F(1,3),则m的值等于 （）（A）18或EQ\F(124,9) （B）18或EQ\F(128,9) （C）16或EQ\F(124,9)（D）16或EQ\F(128,9)6．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是（A） （A）（B）（C）(D)7．若P是椭圆上一点,F1、F2为其焦点，则cos∠F1PF2的最小值是（D）A．B．－1C．D．8设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（A.）.A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要解：a＝5，b＝3，∴c＝4，F（4，0），e＝.由焦半径公式可得|AF|＝5－x1，|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故成等差数列Û（5－x1）＋（5－x2）＝2×Û，二、填空题9．椭圆eq\f(x2,m)+\f(y2,4)=1的焦距为2,则m的值为.5或310．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是.eq\f(x2,16)+\f(y2,25)=111、长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C（x，y）满足，则动点C的轨迹方程是.答案：三、解答题12已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的方程。解：设椭圆的标准方程则有，解得所以，所求椭圆的标准方程为13．直线与椭圆交于不同两点A和B，且（其中O为坐标原点），求k的值．解：将代入，得．由直线与椭圆交于不同的两点，得即．设，则.由，得．而．于是．解得．故k的值为．14已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12，圆:的圆心为点.（1）求椭圆G的方程；（2）求的面积；（3）问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为：（）半焦距为c;则,解得,所求椭圆G的方程为：.（2）点的坐标为，（3）若，由可知点（6，0）在圆外，若，由可知点（－6，0）在圆外；思悟小结1,在直线与椭圆的位置关系问题中，要注意弦长问题，垂直问题、中点弦问题等，解决的一般思路是联立直线与椭圆的方程组，消去一个未知量，通过题意找到根与系数的关系，利用韦达定理列式求解。2把椭圆方程与直线方程联立消去，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：（1），直线与椭圆有两个公共点，此时的弦长的求法：①求两点的坐标，利用两点间的距离公式；②由韦达定理得到弦长公式，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长。（2）直线与椭圆有一个公共点，相切（3）直线与椭圆有无公共点，相离§2.2双曲线知识梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率离心率e越大，开口越大.（2）.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.（3）焦半径公式，.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为渐近线方程：；②若渐近线方程为双曲线可设为；③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.④双曲线焦点三角形面积：，高。§2.2.1双曲线的定义与标准方程典例剖析题型一双曲线标准方程的判断题型二求双曲线标准方程例2已知双曲线过两点，求双曲线的标准方程解法1当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为：当双曲线的焦点在Y轴上时，设双曲线的方程为：解得：（不合舍去）综上：所求的双曲线方程为：解法2因为双曲线的焦点位置不定，所以设双曲线的方程为：备选题例3：确定一个双曲线的标准方程需要三个条件，两个定形条件，一个定位条件：焦点坐标。1、圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（）2、设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的（D） A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支D．一个椭圆3．若曲线表示双曲线，则的取值范围是5、设的顶点，，且，则第三个顶点C的轨迹方程是_____课外作业一、选择题1动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（D）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线2．方程表示双曲线，则的取值范围是 （D）A． B． C． D．或3．双曲线的焦距是 （C）A．4 B． C．8 D．与有关4如果双曲线－y2=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜AF2｜等于(D)A.5+B.5+2C.8 D.115．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（A）A．28B．22 C．14 D．126、答案A7、设分别是双曲线的左右焦点．若点P在双曲线上，且则=（B）A．B．C．D．8已知是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是（B）A直线B圆C椭圆D双曲线二、填空题9过点A(－2，4)、B(3，－2)的双曲线的标准方程为.－=110.与双曲线16x2－9y2=－144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为－=1 三、解答题12．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。双曲线方程为．13．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程．将和看着整体，解得，∴即双曲线的标准方程为．思悟小结由给定条件求双曲线的方程常用待定系数法。首先是根据焦点的位置设出方程的形式（含参数），再由题设条件确定参数的值，应特别注意焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏。§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第一课时）题型一双曲线的性质例1已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程..题型二有共同渐近线的双曲线方程的求法例2求与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程．双曲线方程为：备选题例3设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）⑴求直线AB方程；⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？解法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）则∴k=1，满足△>0∴直线AB：y=x+1法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。（2）设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）则∴M（-3，6）∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上评析：此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心，充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在学习中必须引起足够重视.点击双基1、若双曲线的离心率是，则实数的值是（B）A.B.C.D.2、若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（D）A．B．C．D．3、若，则是方程表示双曲线的（A） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既充分也不必要条件4、双曲线的两个焦点为，点在该双曲线上，若，则点到轴的距离为.5、若双曲线－=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为2．课外作业一、选择题1.方程mx2＋ny2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是（B）A(0,)B(0,)C(,0)D(,0)2．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （B）A． B． C． D．3．若，双曲线与双曲线有 （D）A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D．相同的焦点4、若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（B）A． B． C． D．5、过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是(D)(A)(B)(C)(D)6、双曲线的一条渐近线与椭圆交于点、，则=（Ｃ）A.+ B. C. D.7、双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为(A)解：假设,由双曲线定义且,解得而由勾股定理得8、给出下列曲线：①4x+2y－1=0;②x2+y2=3;③④，其中与直线y=－2x－3有交点的所有曲线是 （D）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④二填空题9若双曲线的一条渐近线方程为，则a＝__________.210已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为或11．直线与双曲线相交于两点，则=______三解答题12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）焦点在x轴上,虚轴长为12，离心率为；（２）顶点间的距离为6，渐近线方程为．（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得，．∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．（2）解１：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得，．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．解２：设以为渐近线的双曲线的方程为当＞０时，，解得，＝．此时，所要求的双曲线的方程为．当＜０时，，解得，＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为13．14．思悟小结1.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置。2渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为的双曲线方程可设为，若与有共同的渐近线也可以设出双曲线系§2.2.2双曲线的简单的几何性质（第二课时）典例剖析题型一应用双曲线的定义及性质解题例1求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项．证明：设等轴双曲线的方程为，双曲线上任一点P的坐标为则P到中心的距离为，等轴双曲线的离心率是，所以点P到两焦点的距离分别为，所以评析：涉及双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要双曲线的定义，P到两焦点的距离分别为即为焦半径公式，请同学们自行推导题型二直线与双曲线的位置关系例已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.分析联立方程组，结合数形讨论解联立方程组消去y得(2k2—1)x2+4kbx+2b2+1=0,当时，直线与双曲线的渐近线平行，（1）当时，有一个交点；（2）当时，没有交点，所以不合题意．当时，依题意有△=(4kb)2—4(2k2—1)(2b2+1)=—4(2k2—2b2—1)≥0，对所有实数b恒成立，∴2k2—1≤0，得所以评析利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明．注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种．一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线．另一种是与双曲线相切的直线也有两条．备选题例3：代表实数，讨论方程所表示的曲线.解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；当时，曲线为两条平行于轴的直线；当时，曲线为焦点在轴的椭圆；当时，曲线为一个圆；当时，曲线为焦点在轴的椭圆评析：针对的各种情形进行分类讨论.点击双基1．双曲线的焦距为（.D）A． B． C． D．2若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（C）A、B、C、D、解:对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离因为，而，因此，因此其渐近线方程为.3．已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（B）A．4条B．3条C．2条D．1条4、与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为5、已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．课外作业一、选择题1.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是DA-y2=1和-=1B-y2=1和y2-=1Cy2-=1和x2-=1D-y2=1和-=12．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（D）A．1 B．2 C．3 D．43.与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是(C)A8B4C2D14.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是(C)A（-∞,0）B(-3,0)C(-12,0)D(-12,1)5已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为（D）(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.56如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（A）(A) (B) (C) (D)7、设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（B）A． B． C． D．8．已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于(C)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）填空题9.双曲线的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是．10、若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，则a＋b的值是．11．已知双曲线的离心率的取值范围是，则两渐近线夹角的取值范围是．三、解答题12.13．答案：14．设椭圆与双曲线有共同焦点F1(─4,0),F2(4,0),并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a(2<a<4)，则椭圆长半轴长为2a,由半焦距为4,得它们的方程分别为：(1)和=1(2)(2)´4─(1)得：(3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化简得：(x─5)2+y2=9或(x+5)2+y2=9.解法2：用定义法求解.|F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,解得：|F1P|=3´|F2P|或3´|F1P|=|F2P|.即：3或3,化简得：(x─5)2+y2=9或(x+5)2+y2=9．思悟小结1涉及双曲线上的点到两个焦点、的距离问题为，即为焦半径公式，请同学们可以尝试推导。2解决直线与双曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更方便。§2.3抛物线知识梳理1．抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．方程叫做抛物线的标准方程．注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；2．抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离．§2.3.1抛物线及其标准方程典例剖析题型一：求抛物线标准方程的基本量例1①已知抛物线的方程为，求它的准线方程及焦点坐标。②求焦点是的抛物线的标准方程。 解：①∵∴焦点坐标为，准线方程为 ②∵焦点在x轴的负半轴上 ∴它的标准方程为评析：求抛物线的基本量时应该注意将其方程化为标准方程，抛物线的标准方程有四种形式。题型二：求抛物线的标准方程例2已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（—3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.解1设抛物线方程y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—,0)，由题设可得：，解得故抛物线的方程为y2=—8x,m的值为±.解2设抛物线方程为y2=—2px(p＞0)，则焦点F（—,0），准线方程为x=.根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则+3=5，∴p=4．因此抛物线方程为y2=—8x，又点M（—3，m)在抛物线上，于是m2=24，∴m=±评析比较两种解法，可看出运用定义方法的简捷.备选题例3如图所示，点且设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；解：设，由知：R是TN的中点，则则就是点N的轨迹曲线C的方程评析此问题是平面解析几何和向量知识的结合，以向量为背景求圆锥曲线方程是命题的一种方向。点击双基1、顶点在原点，焦点是的抛物线方程是(B)(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x2.、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是(B)(A)(B)(C)(D)03、过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有(B)(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条解：过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求4抛物线的焦点坐标是_____________;(a,0)5、动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是.x2=8y课外作业一、选择题1．抛物线的焦点坐标是（C）A．B． C． D．2．抛物线的焦点到准线的距离是（B）A．B．C．D．3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上,其上的点到焦点的距离为5,则抛物线方程为（D）A．B． C． D．4.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是(A)A.Bx=CDx=5.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是(C)AB4C8D26．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（D） A．B． C． D．7若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为(B)(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)8过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于(C)(A)2a(B)(C)(D)解：作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p,q，则p=q=|FK|,二、填空题9．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是x2＝8y 10．平面上的动点P到点A（0，－2）的距离比到直线l：y＝4的距离小2，则动点P的轨迹方程是x2＝－8y11．抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_______．三、解答题12．求经过点的抛物线的标准方程．解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或在第一种情形下，求得抛物线方程为：；在第二种情形下，求得抛物线方程为：；13在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.解：如图，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|，由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|，显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2．故点P的坐标为（2，2）.14.已知圆与顶点原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．解：设所求抛物线，因为△AOB的垂心恰为抛物线的焦点,所以AB⊥X轴,则可设A,,.而,,由题意,可得,即.又A点既在圆上又在抛物线上所以得所以,思悟小结1.重视定义在解题中的应用；灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化。2注意确定四种标准方程的条件，明确抛物线的焦距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中的系数的关系。§2.3.2抛物线的简单的几何性质（第一课时）典例剖析题型一利用定义和几何图形的性质求解.例1求证：以抛物线y2=2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．证明如图，过A，B分别作AC，BD垂直于l，垂足为C，D．据抛物线定义有：|AC|=|AF|，|BD|=|BF|，所以|AB|＝|AC|＋|BD|.又由ACDB是梯形，据梯形中位线性质知：即|MH|为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证．评析题型二：焦点弦问题例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.解1如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.由题可知，直线AB的方程为y=x—1，代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=3—2，分别代入直线方程得y1=2+2,y2=2—2即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）∴|AB|=解2设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1∴|AB|=|x1—x2|解3设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|即|AF|=|AA′|=x1+1；同理|BF|=|BB′|=x2+1∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8评析：解2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视．备选题例3在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。解：设点，距离为，，当时，取得最小值，此时为所求的点。评析，此问题可以设点,利用抛物线标点法求解；也可以设与相切，求出切点的坐标点击双基1从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（B） A．5 B．10 C．20 D．2过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，则的最小值为（C）ABCD无法确定3、若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、（4，4）且与相切的圆共有（C）．A.个B.个C.个D.个4、过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于8．5、过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝__－p2课外作业一、选择题1．焦点是的抛物线的标准方程是（A） （A） （B） （C） （D）2.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(－5,2)到焦点距离是6,则抛物线的方程为（D）（A）（B）（C）（D）3.一个正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（A）（A）（B）（C）（D）4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）45．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）（A）3（B）4（C）5（D）66.抛物线截直线所得弦长等于（A）A.（B） （C） （D）157动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是(C)（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x（C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x8、如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（B） A． B． C．D．二、填空题9.抛物线的焦点的坐标是,准线方程是.10.已知圆，与抛物线的准线相切，则_______2_．11．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是______)三、解答题12已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2，求这抛物线的方程．解:设抛物线方程为.当时,根据对称性设,,代入圆方程得,,求得抛物线方程为.同理可得13．动直线y=a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．解：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得消去，得轨迹方程为，即14．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得解之得或，故所求的抛物线方程为，思悟小结1要重视抛物线“定义的应用”、“回归定义”有时使问题变得简捷明确。2焦点弦的性质：设直线过焦点与抛物线相交于两点，的倾斜角为，则有：;;通经的长度为；§2.3.2抛物线的简单的几何性质（第二课时）典例剖析题型一焦半径问题例1已知半圆的直径AB为2r，半圆外的直线l与BA的延长线垂直且交于G点，½AG½=2a，（2a<EQ\F(r,2)）半圆上有相异两点M和N．它们与直线l的距离分别为d1、d2,，d1==½MA½，d2=½NA½，求证：½AM½+½AN½=2r．分析此题涉及几何性质，常常用抛物线的定义、焦半径公式来解决．证明以AG的中点为原点，垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，则圆的方程为(x—a—r)2+y2=r2，又由已知可知点M、N在以A为焦点，l为准线的抛物线线y2=4ax上，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，将抛物线线的方程代入圆方程可得：x2+2(a—r)x+a2—2ar=0，从而有：x1+x2=2(r—a)；又由抛物线的焦半径公式可得：½MA½=x1+=x1+a,½NA½=x2+=x2+a；所以½AM½+½AN½=x1+a,+x2+a=x1+x2+2a=2(r—a)+2a=2r评析由抛物线的定义导出的焦半径公式常是解决几何问题的有力工具．题型二直线与抛物线的位置关系例2焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0截得的弦长为，求这抛物线的标准方程.分析焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x2=ay(a≠0).解设抛物线方程为:x2=ay(a≠0)，由方程组消去y得：2x2—ax+a=0，∵直线与抛物线有两个交点.∴Δ=(—a)2—4×2×a＞0，即a＜0或a＞8设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=，∴|AB|=，∵|AB|=，∴=，即a2—8a—48=0，解得a=—4或a=12．∴所求抛物线标准方程为：x2=—4y或x2=12y评析此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于x或y的二次方程，结合韦达定理求解．备选题例3A、B是抛物线（p>0）上的两点，满足，（1）求证：A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）求证：直线AB过定点．（3）求AB中点Ｍ的轨迹方程．分析依题意可设出A、B的两点坐标，然后根据条件求之．解（1）设A，B，由得：·+y1·y2=0；即y1·y2=－4p2，从而x1·x2=（2）由两点式方程可得AB的方程为：(y1+y2)y=2px+y1·y2；即(y1+y2)y=2px－4p2，令y=0,得x=2p；即直线AB过定点E(2p,0)（3）设AB的中点为M(x,y)，则；消去，得AB中点Ｍ的轨迹方程：（x≥2p）评析此题的方法很多，上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法，其它的方法请同学们自己尝试．点击双基1准线是的抛物线的标准方程是（D） （A） （B） （C） （D）2以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（D）A或BC或D或3、已知双曲线右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（D）A．B．C． D．4、以抛物线的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.5.设斜率为1的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于A,B两点，则=-3课外作业一、选择题1．如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （A）A．（1,0） B．（2,0） C．（3,0） D．（－1,0）2．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （A）A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）3．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1A．m B．2m C．4.5m D．9m4．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （C）A．y2=－2x B．y2=－4x C．y2=－8x D．y2=－16x5．过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（C）A．2a B． C．4a D．6、已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为（B）A．1 B．2 C．3 D．47抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，则k的值是(D)(A)2(B)-2(C)4(D)-48．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（C ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．二、填空题9．抛物线的焦点为椭