2023年高考数学一轮复习第八章直线与圆圆锥曲线7双曲线练习含解析

双曲线考试要求1..2).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．把平面内与两个定点F

|FF|)的点的轨迹叫做双1 2 12曲线．两个定点F，F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．1 22．双曲线的标准方程和简单几何性质2 2

2 2标准方程

—2 2

—2 2图形焦点 FF1 2 1 2焦距 |FF|＝2c12范围顶点

或或对称轴：坐标轴；对称中心：原点AA1 2 1 2性质 实轴：线段AA，长虚轴：线段BB，长实半轴长轴 12 12虚半轴长：bc离心率渐近线

by＝±xa

e＝a∈(1，＋∞)

ay＝±xbc的关系 ＝＋2>>，>>0)常用结论双曲线的焦点到其渐近线的距离为若P

|PF||1 2＝c－a.

min

min122a.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F，F分别为双曲线的左、右焦点，则1 22S ＝ ，其中θ为∠FPF.△PFF θ 1 212 tan22 2 2 2与双曲线－有共同渐近线的方程可表示为－2 2 2 2思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)2 2方程mn＝1(mn>0x轴上的双曲线．(×)2 2 xy(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(√)2 2 mn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)教材改编题2 2a若双曲线a2

－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心2率为( )A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即又222，∴＝2.2∴2＝＝，∴＝5.22 2P是双曲线－＝1|PF|PF|1620 1 2 1 2等于( )A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B1|＝17.

1 2 2 2 23．(2022·汕头模)写一个焦点在y轴上且离心率为3的双曲线方．2答案2－2＝12c33，可得＝，∴＝2－＝2，2因此，符合条件的双曲线方程为2－2＝1题型一双曲线的定义及应用例1(1F－2,0F(2,0N是圆21上任意一点，点F

关于点N的1 2 1对称点为线段FM的中垂线与直线FM相交于点则点P的轨迹( )1椭圆C．答案B

2D．圆解析如图，连接NMF的中点，又O为F

的中点，1 12所以|MF|＝2.因为点F关于点N的对称点为FM的中垂线与直线FM相交于点2 1 1 2|，1所以||PF|－|PF||＝||PF2 1 2＝|MF|＝2<|FF|，2 12所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F，F为焦点的双曲线．1 2(2)已知FF为双曲线222的左、右焦点，点P在CFPF＝60°，FPF1 2 1 2 1 2的面积答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF|－|PF2，1 2在△FPF中，由余弦定理，得1 2|PF|＋|PF2FF2cos∠FPF＝ 1

2 121 2 2|PF|·|PF|1 21＝，2∴|PF|·|PF|＝8，1 23∴S 1PF|·|PF|·sin60°＝23.＝|△FPF 2 1 21 2延伸探究在本例

PF＝60°”PF

F

＝0”则FPF的面积为 ．·答案2·

1 2 1 2 1 2解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF|－|PF2，1∵F

2F

F

⊥F· ＝0，∴ ，1 2 1 2FPF|PF|PF|＝|FF2，1 2 1 2 12即PF|2＋PF|＝1，1 2∴|PF|·|PF|＝4，1 2∴S 1PF|·|PF|＝2.＝|△FPF 2 1 21 2教师备选1．已知圆C3)2＝1，C－3＋＝，动圆M同时与圆C和圆C

相外切，则1 2 1 2动圆圆心M的轨迹方程( )2A－8＝12B.8－＝12C－8＝1(≤1)2D－8＝1(≥1)答案C解析设圆M的半径为，由动圆M同时与圆C1

和圆C2

相外切，得|MC|＝1＋r，|MC1 2|MC|－|MC|＝2<6，2 1所以点M的轨迹是以点C(－3,0C(3,0)为焦点的双曲线的左支，1 2，又则222＝，2所以点M的轨迹方程为－8＝11C y

23(7(2，2(2022·

的渐近线方程为

＝±30)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时周长的最小值( )A．8 B．1047C．4＋3答案B7

D．3＋3172 217解析由已知得双曲线方程为4－3＝P|P′|4，△PAF三点共线时，故△PAF10.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF|－|PF||＝2a，1 2|PF|·|PF的联系．1 21(1)(2022·C的离心率为C的1 2两个焦点P为C上一点PF|＝3PF若PFF的面积为2则双曲线C的实轴长( )1 2 12A．1B．2C．3D．6答案B解析由题意知，|PF|－|PF1 2所以|PF2 1c又离心率3，|FF12cos∠F

92＋12＝1 2 22 13＝62＝－，3＝sin∠FPF22，＝1 2 3

△PF

1 22＝··3· ＝22＝2，2 312所以a＝1，实轴长2a＝2.2 24(2)F是双曲线－＝1124的最小值答案9解析设双曲线的右焦点为F|，1 1|PF最小．1由双曲线的图象，可知当点A，P，F1

共线时，满足|PF最小，15|AF|＋41又|AF|＝51题型二双曲线的标准方程

2 2－例2(1)(2021·：2－

＝1过点(2，3)，2，则该双曲线的b2b标准方程( )2A－3＝1

2B.3－＝132 2C－3＝1

D.3

－＝1答案Ac解析∵e＝a＝2，则2＝2－＝3，2 2则双曲线的方程为－ ＝1，2 32

2 3 1 a b将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得－

＝＝1，解得

＝1，故

＝3，因此，2双曲线的方程为2－3＝1.

2 32 2y 1x(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是2答案2－9＝1

＝±，则双曲线的标准方程是 32解析设双曲线的方程是－9≠0)．(3，2)，所以λ 9＝2－92故双曲线的标准方程为－9＝1.教师备选2 2过双曲线：－的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点2 2以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过两(O为坐标原)，则双曲线C的标准程为( )2 24A.－＝1412

2 2B.7－9＝162 2C.8－8＝1

2 2D.－124答案Abxa

4－a＋＝4，解得22 24＝，2＝1，因此双曲线的标准方程为－＝1.4122．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程．2 2答案 －2575解析设双曲线方程为m－n1(m>09－2＝，∴m n72－491，m 1解得

＝－，75＝－1.252 2∴双曲线的标准方程为－＝1.2575思维升华求双曲线的标准方程的方法定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定，b或2，从而求出，.2 2待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－2 2再根据条件求λ的值．跟踪训练2已知双曲线过渐近线方程为则该双曲线的标准方程( )2 2

2 216A. －1216

B.3－2＝12 32 223C－3＝123

D. －23答案C2解析因为双曲线的渐近线方程为＝±3－3＝(≠0)，2将点(2,3)代入其中，得，所以该双曲线的标准方程为－3＝1.2 2(2)(2022·佛ft调研)已知F分别为双曲线－为双曲1 2 2 27线上一点与x轴垂直F且虚轴长为2则双曲线的标准方程( )22 2A.4－2＝12 2C.4－8＝1

122 2B.3－2＝12D．－2＝1答案D解析由题意可知|PF

43c|PF

23c

1|＝3，3|＝ ，322，

43c23c a由双曲线的定义可得3－3即c＝3a.又＝2，＝22，

＝2，2∴＝，∴双曲线的标准方程为2－2＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线3(1)由伦敦著名建筑事务所SteynStudio2 2－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，2 2则该双曲线的方程( )2 2 32 2A.－＝1124

B.4－4＝12 2 2 2C.4－4＝1

D.－＝1164答案B解析由题意知，b＝2，c又因为e＝a＝

b12＝84解得＝，3

32 2所以双曲线的方程为4

－4＝1.

2 2(2)设O为坐标原点，直线与双曲线：－)的两条渐近线分别交于2 2E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值( )A．4B．8C．16D．32答案Bb解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.a分别为直线与双曲线C所以不妨设所以S 1a DE 1a

bab△OE××|＝××2＝＝8，2 2所以＝＋≥2a＝16bC8.2 2 2 2思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－

＝0，2 2xy y b

2 2＝0＝±ab a

2 2－(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线2－b

2＝1(>0，>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率＝，满足关系式＝＋2.命题点2离心率4(1)(2021·F，FCCPF＝1 2 1 260°，|PF|＝3|PF|，则C的离心率( )1 27 13A.2B.2C.7D.13答案A解析设|PF|PF2 1在△FPF中，1 2|FF＝2＋9－2×××cos60°12＝9c2c |FF|C的离心率PF

12PF|7m 7

| |－|1 2＝2m＝2.高考改编2 2已知双曲线：－)的左、右焦点分别为F，点A在双曲线E的左支上，2 2 1 2且∠FAF＝120°，|AF|＝2|AF|，则双曲线E的离心率( )1 2A.3C.7答案

2 1B.5D．7A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F，F，1 2设|AF1由|AF|＝2|AF知|AF2 1 2由双曲线定义得|AF|－|AF2 1在△AFF中，12|AFAF＝120°，1 2 1 2由余弦定理知，|FF|＝|AF|2|AF2－2AF|AF|cos120°12 1 2 1 2＝＋16＋8＝22，∴|FF|＝212又|FF12c∴27.

2 2(2)(2022·F，F：－)的左、右焦点，点P1 2 2 2C上在第一象限内的一点，若sin∠PFF＝3sin∠PFFC的离心率的取值范围( A．(1,2)C．(3，＋∞)答案A解析在△PFF中，

21 12B．(1,3)D．(2,3)12sin∠PFF＝3sin∠PFF，21 12|＝3|PF|，1 210P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF|－|PF1 2所以|PF1 2在△PFF|PF|＋|PF|>|FF|，12 1 2 12得3a＋a>2c，即2a>c，c所以e＝a<2，教师备选21．(2022·济南模拟)已知双曲线m

2m＝1(m>0)的渐近线方程为±3y＝0，则m等于＋1( )1A.2

B.3－13＋12

D．2答案A解析由渐近线方程

b 3y＝±a 3yb 3所以a＝3，2 1则＝，2 3m 1 1即 mm ＝，＝.＋13 22 2F：－OF为直径的圆与圆2 22＝2交于Q两点．|P|O，则C的离心率( )A.2 B.3C．2答案

2 2

D.5解析令双曲线：－＝1>0>0)的右焦点F0)，则＝2＋.2 2是以OF为直径的圆的直径，11且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，c则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，2由O2＋M|＝|O|2，得22＝2，c2，即离心率2.思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，cc的方程或不等式，利用＝2和＝转化为关于e不等式)求得离心率的值(或范围)．2 23(1)(多选)已知双曲线：－的离心率上的点到其焦2 2点的最短距离为1，( )A．双曲线C的焦点坐标B．双曲线C的渐近线方程为C．点(2,3)在双曲线C上D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点答案BCc解析双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率所以2所以＝，所以双曲线C的方程为－31，所以C的焦点坐标为(±2,0)A错误；b双曲线C的渐近线方程为a32223＝1，(2,3)在双曲线C上，C(1,03C的一条渐2 2 2 2(2)(2022·C：－＝1C：－1 4 9

2 2 2则双曲线C2

的离心率的取值范围( )12A.1，1

B.1，

1 2 3C. 13

13 2D.3，＋∞答案D2 2 2C y解析因为双曲线：－＝1的渐近线方程为＝±x，1 4 9 32 2 b双曲线C：－)的渐近线方程为2 2

22 2

a2 2为使双曲线C：－＝1与双曲线C：－1 4 9b2

2 2 2a只需>，a3

c 22

b

4 13则离心率为e＝＝

＝ 2> 1＋＝ .a

9 3课时精练双曲线9216＝1的焦点坐标( )A. 5

0，±512±B.12

12C．(±5,0) D．(0，±5)答案A2 2解析将双曲线的方程化为标准形式为11＝1，9161 1 25所以＝＋＝ ，9161445，125 所以焦点坐标为±，0.122 2已知双曲线m－m 的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程( )＋62 2

2 2A.2－4＝1 B.4－8＝1132C－8＝1

2 2D.2－8＝1答案D22 2所以双曲线的标准方程为28＝1.2 2若双曲线E：9－＝1F，点P在双曲线E|PF|＝3，则16 1 2 1|PF等于( )2A．11B．9C．5D．3答案B解析方法一依题意知P|PF|－|PF|＝2×32 1＝6|PF|＝6＋3＝9.2方法二根据双曲线的定义，得||PF|－|PF||＝2×3＝6，2 1所以||PF|－3|＝6，2所以|PF|＝9|PF|＝－3(2 22 24．(2022·：9－＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C的离心率( )423A．2B.3C.D.3 3答案A2 2解析双曲线：9－21＋，0b渐近线方程为，即32 2∵双曲线：9－2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3，＝3b9＋＝3∴2＋93，∴＝9＋＝9＋332＝，ec6∴离心率

＝＝＝2.a3a142 25．(多已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的( )169双曲线C8C y 3x双曲线

的渐近线方程为＝±4双曲线C3C 9双曲线

上的点到焦点距离的最小值为4答案ABC解析因为216，故A所以双曲线C的渐近线方程为y b 3 ＝±x＝±x，故B正确；a 4因为＝2＋＝16＋，(－5,0(5,0(5,03－＝0C双曲线C上的点到焦点距离的最小值为故D2 2

|15|32＋－4

＝3，26．(多选)(2022·：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F，F，一2 9 1 2y 3条渐近线方程为

＝为C上一点，则以下说法正确的( )4A．C8

B．C

5的离心率为3C．|PF|－|PF|＝8 D．C101 2答案ADy 3解析由双曲线方程知，渐近线方程为

＝±x，ay3而一条渐近线方程为2 2

＝x，4∴a＝4，故C：－＝1，169∴双曲线实轴长为2a＝8，4ec 16＋954离心率

4 ＝，P可能在C不同分支上，15则有||PF|－|PF||＝8，1 2焦距为2＝22＋＝10.∴A，D，B，C

2 27．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C2 2的渐近线方程答案3x2 2解析因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，＝2，所以＝3，2 2＝2，所以＝3，22＝22＝

2＋2 22 2b所以该双曲线的渐近线方程为a2 29设双曲线－＝1的右顶点为，右焦点为.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直916线与双曲线交于点则△AFB的面积32答案15解析因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF

y4x的方程为

＝(－5)，3代入双曲线方程解得17

3.5，－＝|所以S 1AF＝|

15|·||＝×2×＝y 1 3232|·||＝×2×＝△AFB

B 2 15152 2已知双曲线－＝1F，F.164 1 2

在双曲线上，且MFM1MFM

F·2·

＝0，求M点到x轴的距离；若双曲线C(32，2)，求双曲线C解(1)不妨设M点到x轴的距离为∵F1

F·2·

＝0，∴MF⊥MF.1 2设|MF|＝m，|MF1 2由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①Rt△FMF中，1 216由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵S△MF

1 1＝mn＝4＝×2ch，2 212h25∴＝5.M x 25.即点到轴的距离为52 2(2)设双曲线C∵双曲线C(32，2)，18 4∴16－λ－

λ＝1，4＋解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，2 2∴双曲线C的方程为－＝1.128：－＝1(>0，2 2：－＝1(>0，C a b

FF y 25，2 2，，渐近线方程是＝± AFF，，渐近线方程是＝±

1 2 512求双曲线C的标准方程；直线与双曲线C交于不同的两点求实数m的取值范围．b25解(15，①S 1 cb△AF

＝×2·2

＝6，②122＝2，③由①②③可得＝，2，2 2∴双曲线C的标准方程是54＝1.(2)由题意知直线l不过点，y，y)，线段PQ的中点为，y)，连接1 1 2 2 0 02 2与54＝1联立，消去(4522－1km－－2＝0，45≠0，由452≠0且>80－5＋4

④>0，17∴x＋x

10km

，xx

522021 2 2

1 ＝－4－2，x＋x 5km∴x＝1 2＝ ，0 2 4－52y＝kx＋m＝4m.0 0 4－52由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，4mk－2ky－24－52 1∴k＝0 ＝ ＝－，AD x0

5km k4－52化简得10＝－9，⑤m 9 m由④⑤，得

<－或2

>0.8由10＝－9>，得<.9m m 9 m8综上，实数的取值范围是<－或0<<.2 92 21142＝1PC为坐标原点，则下列说法正确的( )双曲线C的离心率为622 2双曲线48＝1C的渐近线相同若PFO的面积为2答案ABC解析因为2，＝2，所以＝2＝6，ec 6所以＝a＝2，故A正确；2 2

y 2C的渐近线方程为＝±

2B正确；双曲线4－8＝1的渐近线方程为＝±2 2因为POPF F

x y d

|2×6|⊥，点

(6，0)到渐近线

－2＝0的距离＝

＝2，618所以2，所以62－ 22＝2，所以△PFO

1的面积为×2×2＝2，2故C正确；的最小值即为点F即2D12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C:

2 24－1>0)，以C3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围( )

1A.1，

B.1，2 2，C.3，2

12

D．(1，13)答案Bb解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，2又该圆的圆心为(c，0)，bc故圆心到渐近线的距离为 ，则由题意可得

＋4bc<3，即22<94)，2＋4又－4)<9，解得<1，即<13，ecc13，又则＝＝<a22a

13故离心率的取值范围是1，2 2

2.已知双曲线－2 2线x＋y＋5＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线的斜率分别为k，k，则k＋k的取值范围( )1 2 1 2A．(1，＋∞)C．(2，＋∞)答案A

B．(2，＋∞)D．[2，＋∞)192 2解析由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b，由双曲线2 2的左焦点在直线5＝0上，可得则由＋＝，得＝，＝，2双曲线的方程为4－＝，由题意可得2 2 14 则－＝，即 4 －44n nkk＝ ·12 2 1＝ ＝，2－44k，k>0，则k＋k≥2kk＝1，1 2 1 2 12分别为双曲线的左、右顶点，可得k≠k，则k＋k>1.2 2

1 2 1 2已知双曲线：－F，F，O为原点，若以FF2 2

1 2 12为直径的圆与C的渐近线的一个交点