工程力学-第9章 弯曲刚度问题

第二篇材料力学工程力学(静力学与材料力学)弯曲刚度问题第二篇材料力学工程力学(静力学与材料力学)第9章返回总目录上一章中已经提到，如果忽略剪力的影响，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移。位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。第9章

弯曲刚度问题

若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。第9章

弯曲刚度问题

基本概念工程中的叠加法梁的刚度设计

结论与讨论简单的静不定问题

小挠度微分方程及其积分

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弯曲刚度问题

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弯曲刚度问题

梁弯曲后的挠度曲线梁的挠度与转角基本概念梁的位移与约束密切相关梁的位移分析的工程意义梁弯曲后的挠度曲线基本概念梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elasticcurve），或挠度曲线（deflectioncurve），简称弹性线或挠曲线。基本概念根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：

基本概念梁的挠度与转角基本概念梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；

变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope）用表示；基本概念

横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。

梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：基本概念在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。基本概念梁的位移与约束密切相关基本概念三种承受弯曲的梁

AB段各横截面都受有相同的弯矩（M＝Fa）作用。三种情形下，AB段梁的曲率（1／）处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。对于没有约束的梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。

基本概念梁的位移分析的工程意义基本概念位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。

机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。

基本概念工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。

基本概念小挠度微分方程及其积分

第9章

弯曲刚度问题

返回首页返回总目录小挠度曲线微分方程

积分常数的确定约束条件与连续条件

小挠度微分方程及其积分

小挠度曲线微分方程

小挠度微分方程及其积分

力学中的曲率公式数学中的曲率公式小挠度微分方程及其积分

小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。<<1小挠度微分方程及其积分

小挠度微分方程及其积分

采用向下的w坐标系，有对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：

其中C、D为积分常数。

小挠度微分方程及其积分

积分常数的确定约束条件与连续条件

小挠度微分方程及其积分

积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。小挠度微分方程及其积分

例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。小挠度微分方程及其积分

解：1．

确定梁约束力

因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。

2．

分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。小挠度微分方程及其积分

AB段

解：2．

分段建立梁的弯矩方程BC段

于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为

小挠度微分方程及其积分

解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分小挠度微分方程及其积分

解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。小挠度微分方程及其积分

解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数

在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2小挠度微分方程及其积分

解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0小挠度微分方程及其积分

解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

小挠度微分方程及其积分

确定受力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程小挠度微分方程及其积分

工程中的叠加法第9章

弯曲刚度问题

返回首页返回总目录在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形工程中的叠加法当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

工程中的叠加法已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC

；B截面的转角B例题2工程中的叠加法解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。工程中的叠加法解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。工程中的叠加法解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加

将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:

工程中的叠加法叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形

工程中的叠加法对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。

工程中的叠加法已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC

和C例题3工程中的叠加法解：1.

首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

工程中的叠加法分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

工程中的叠加法

两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。

工程中的叠加法解：3．将简单载荷作用的结果叠加

工程中的叠加法简单的静不定问题第9章

弯曲刚度问题

返回首页返回总目录求解静不定问题的基本方法简单的静不定问题示例简单的静不定问题问题求解静不定问题的基本方法简单的静不定问题求解静不定梁．除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibilityequation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequations）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。据此，首先要判断静不定的次数，也就是确定有几个多余约束；然后选择合适的多余约束，将其除去，使静不定梁变成静定梁，在解除约束处代之以多余约束力；最后将解除约束后的梁与原来的静不定梁相比较，多余约束处应当满足什么样的变形条件才能使解除约束后的系统的受力和变形与原来的系统弯曲等效，从而写出变形协调条件。

简单的静不定问题简单的静不定问题示例简单的静不定问题3-3=04-3=1lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB简单的静不定问题5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy简单的静不定问题应用小变形概念可以推知某些未知量由于在小变形条件下，梁的轴向位移忽略不计，静定梁自由端B处水平位移u=0。既然u=0，在没有轴向载荷作用的情形下，固定铰支座和固定端处便不会产生水平约束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解这种超静定问题只需1个补充方程。可以写出变形协调方程为FBxBlAMAFAyFAxFBy简单的静不定问题应用小变形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy简单的静不定问题应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB对于两端固定的梁，同样有FBx=0，但这时的多余约束力除FBy外，又增加了MB。于是需要两个补充方程。但是，利用对称性分析，这种梁不仅结构和约束都对称，而且外加载荷也是对称的，即梁的中间截面为对称面。于是可以确定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy简单的静不定问题应用对称性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2简单的静不定问题与未知力偶MB对应的约束是对截面B转角的限制，故这种情形下的变形协调方程为

MBBlAMAql/2ql/2简单的静不定问题例题5求:

梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、

长度为lBAl简单的静不定问题解：1、平衡方程:2、变形协调方程：

FAy+FBy

-ql=0FAx=0MA-FByl+ql2/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB简单的静不定问题3、物性关系：2、变形协调方程：

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl

3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB简单的静不定问题解：4、综合求解FAy+FBy

-ql=0FAx=0MA-FByl+ql2/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl

3/3EIFBy

=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy

=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB简单的静不定问题梁的刚度设计第9章

弯曲刚度问题

返回首页返回总目录刚度设计准则刚度设计举例梁的刚度设计刚度设计准则梁的刚度设计对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。

梁的刚度设计对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则(criterionforstiffnessdesign)：

上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。梁的刚度设计刚度设计举例梁的刚度设计已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ=0.5°。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。

解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

B梁的刚度设计解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B梁的刚度设计1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，

梁的刚度设计B2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，

其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

梁的刚度设计结论与讨论第9章

弯曲刚度问题

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结论与讨论关于变形和位移的相依关系关于梁的连续光滑曲线关于求解超静定问题的讨论关于超静定结构性质的讨论提高刚度的途径

结论与讨论关于变形和位移的相依关系二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相依关系。

结论与讨论

BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什么会有位移？FPABC

总体变形是微段变形累加的结果;

有位移不一定有变形。

结论与讨论关于梁的连续光滑曲线

结论与讨论

由M

的方向确定轴线的凹凸性;

由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。

结论与讨论

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状

结论与讨论

结论与讨论试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状

结论与讨论

结论与讨论

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状

结论与讨论

结论与讨论关于求解超静定问题的讨论

结论与讨论BlA静定系统的选取与变形协调条件的建立解除一端的固定端约束，使结构变成静定的悬臂梁MBFByMAFAyBlAMAFAyMBFBy

结论与讨论BlAlAB静定系统的选取与变形协调条件的建立解除两端的固定端约束，