2023高考真题知识总结方法总结题型突破：16 解析几何中的圆问题(教师版)

专题16解析几何中的圆问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．1．答案或或或解析依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；2．(2022·全国甲文)设点M在直线上，点和均在上，则的方程为_____________．2．答案解析∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为．故答案为．3．(2022·北京)若直线是圆的一条对称轴，则()A．BC．1D．3．答案A解析由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选A．4．(2022·新高考Ⅰ)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．4．答案或或解析圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为，O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为或或．

5．(2022·新高考Ⅱ)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．5．答案解析关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线l，所以直线l为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线l的距离，即，解得，即；故答案为．【知识总结】1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．3．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d>rd＝rd<r4．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)图形量的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|5．直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN)．【题型突破】题型一圆的方程1．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝11．答案C解析到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1．2．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)2．答案C解析方法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．方法二(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))．则圆E的半径为|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)．3．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝163．答案B解析由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2．4．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．4．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析方法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．方法二线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的距离d＝eq\r(10)，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0．5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝45．答案A解析根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16．答案B解析设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化简得|4a－3b|＝5，①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝17．答案A解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝08．答案D解析设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq\f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq\f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D．9．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1,3)B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称D．点(2,3)在圆M内9．答案ABD解析设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5．故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为eq\r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．10．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π10．答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．题型二与圆有关的最值问题11．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．411．答案B解析由已知得线段AB为圆的直径．所以|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq\r(2)时，等号成立．12．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为()A．9B．14C．16D．2612．答案D解析设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8．圆C的圆心为C(3，eq\r(7))，半径为r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．413．答案B解析∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6．14．已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为()A．2B．eq\f(17,4)C．eq\f(29,5)D．eq\f(13\r(13),4)14．答案B解析由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9．eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，则eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq\f(3,4)，所以－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4)．15．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．15．答案2eq\r(5)解析因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq\r(5)的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5)．16．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．16．答案12解析由题意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12．17．等边△ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为()A．－5－2eq\r(3)B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3)D．－6－4eq\r(3)17．答案A解析设等边△ABC的边长为a，则面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．设N(x，y)，则x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2eq\r(3)y－11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)－1)－11＝－5－2eq\r(3)．18．已知点P在直线x＋y＝4上，过点P作圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)18．答案D解析设P(a，b)，则a＋b＝4，以OP为直径的圆的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq\f(1,4)(a2＋b2)，与圆O的方程x2＋y2＝4相减，得直线AB的方程为ax＋by＝4，即ax＋by－4＝0，因为a＋b＝4，所以b＝4－a，代入直线AB的方程，得ax＋(4－a)y－4＝0，即a(x－y)＋4y－4＝0，当x＝y且4y－4＝0，即x＝1，y＝1时该方程恒成立，所以直线AB过定点N(1,1)，点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，|MN|＝eq\r(5)，所以点M(3,2)到直线AB距离的最大值为eq\r(5)．19．若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π19．答案B解析直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,1)，设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此时弦长AB对的圆心角为eq\f(π,2)，所以劣弧AB的长为eq\f(π,2)×2＝π．题型三直线与圆的位置关系20．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离B．相交或相切C．相交D．相切20．答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3．圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线与圆相交．21．(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6B．8C．12D．1621．答案BC解析因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为eq\r(－3－02＋3＋12)＝5．又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为2eq\r(62－52)＝2eq\r(11)．又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．22．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝022．答案B解析当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0．23．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切23．答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．24．(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于()A．±2B．±eq\r(2)C．±eq\r(3)D．±eq\r(5)24．答案C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，则弦长为2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，则当k＝0时，弦长取得最小值为2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3)．25．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝025．答案C解析当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切线方程为4x－3y＋4＝0．综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0．26．若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为()A．eq\f(π,2)B．πC．2πD．3π26．答案B解析直线x＋ay－a－1＝0可化为(x－1)＋a(y－1)＝0，则当x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M(1,1)，设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此时弦长AB对的圆心角为eq\f(π,2)，所以劣弧AB的长为eq\f(π,2)×2＝π．27．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)27．答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋5－22－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D都正确．28．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．28．答案[2eq\r(2)，4)解析由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2．连接AC，PC，QC(图略)，设|AC|＝x，则x≥eq\f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)．∵AP，AQ为圆C的切线，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴|AP|＝|AQ|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(x2－4)．∵AC是PQ的垂直平分线，∴|PQ|＝2×eq\f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq\f(4\r(x2－4),x)＝4eq\r(1－\f(4,x2))．∵x≥2eq\r(2)，∴eq\f(1,2)≤1－eq\f(4,x2)<1，∴2eq\r(2)≤|PQ|<4，即线段PQ的长的取值范围为[2eq\r(2)，4)．29．(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为()A．l与C可能相离B．l不可能将C的周长平分C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq\f(3\r(2),2)D．l被C截得的最短弦长为429．答案BD解析对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(\r(2),2)，所以直线l被C截得的弦长为2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq\r(2)，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，所以直线l被C截得的弦长为2eq\r(5－d2)≥4，D选项正确．题型四圆与圆的位置关系30．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是()A．1B．2C．3D．430．答案C解析圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝eq\r(－1－32＋2－22)＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3．31．已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(11,2)，则这两圆的公共弦长为()A．5B．2eq\r(2)C．2D．131．答案C解析由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0．又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq\r(2)．所以这两圆的公共弦的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－2\r(2)2)＝2．32．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离32．答案B解析由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq\r(2)小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．33．若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(3,4)33．答案A解析|C1C2|＝eq\r(9＋a＋12)，因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<eq\r(9＋a＋12)<a＋2，解得a>3．34．圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．34．答案x－2y＋4＝02eq\r(5)解析联立两圆的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2