数字信号处理-0525二十二第五章

5.3具有线性相位FIR系统的零点分布所以，的零点也是的零点,反之亦然令：则：

的零点分布:

零点分布可能有四种情况：不在实轴也不在圆上，模<1（圆内）;不在实轴，但在圆上；模＝1；在实轴但不在圆上，模<1（圆内）;在实轴，且在圆上，模＝1;在单位圆内不在实轴也不在圆上，模<1（圆内）;

四个零点同时存在,构成系统.把该式展开其系数也是对称的，是具有线性相位的子系统。2、在实轴但不在圆上，模<1（圆内）;无共轭零点,有镜象零点两个零点同时存在,构成系统.其系数也是对称的，是具有线性相位的子系统。3、不在实轴，但在圆上；模＝1；无镜象对称零点,有共轭零点.两个零点同时存在,构成系统.其系数也是对称的，是具有线性相位的子系统。4、在实轴，且在圆上，模＝1;无镜象零点,也无共轭零点.只有一个零点存在,构成系统.其系数也是对称的，是具有线性相位的子系统。一个具有线性相位的FIR数字滤波器的转移函数可表示为上述四类FIR子系统的级联，即：很容易证明，每一个子系统的系数都是对称的，因此它们都具有线性相位。镜像对称点练习：P218–习题5.7线性相位FIRDF幅频响应特点0线性相位FIRDF幅频响应特点请观察P221图，LP、HP、BP、BS滤波器，它们的频率响应的差别突出反映在ω=？处的取值所以我们重点讨论满足线性相位的滤波器幅频响应在z=1,-1处的特征。第一类FIRDF(偶对称,N为奇)的特点：相位曲线是过原点的直线。H(1)=H(-1)=H(1)H(-1)H(1)=H(1),H(-1)=H(-1)即Z=-1和1(或零点和л点)都能保证上式成立

л点相当模拟频率ƒ

s／2，或者说模拟频率的最高频(高频端)因此,此类FIRDF可灵活设置低通\高通和带通滤波器.第二类FIRDF(偶对称,N为偶)的特点：相位曲线是过原点的直线。H(1)=H(-1)=H(1)-H(-1)

H(1)=H(1),H(-1)=-H(-1)即л点一定是幅度函数的零点,以保证对称性成立。л点是零点说明高端不通所以这类FIR系统:只能做低通和带通,不能设计高通和带阻滤波器.第三类FIRDF(奇对称,N为奇)

的特点：-有л/2附加相移，相位曲线是截距为л/2、斜率为-(N-1)/2的直线。H(1)=H(-1)=-H(1)-H(-1)H(1)=-H(1)，H(-1)=-H(-1)所以z=1和z=-1都需要是零点，才能保证都成立即零频和л频的幅频特性全为零。所以这类FIR系统只能做带通。第四类FIRDF(奇对称,N为偶)的特点：-有л/2附加相移。相位曲线与第三类相同。H(1)=H(-1)=-H(1)H(-1)H(1)=-H(1)，H(-1)=H(-1)。需要保证H(1)=0,即z=1处需要是零点（即零频率处）。所以这类FIR系统只能做高通和带通滤波器。练习：5.2对线性相位滤波器，h(n)偶对称，若设计高通和带阻滤波器，为什么滤波器的长度N不能取偶数？小结：线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。镜像对称：5.4全通系统和最小相位系统全通系统在滤波器结构设计、多速率信号处理、滤波器组和信道相位均衡等设计中有广泛应用。最小相位系统的一些性质在实际的滤波器设计中也有重要应用特殊的IIR系统

如果一个系统的幅频响应对所有的频率都等于1(或一个常数),即则称系统为全通系统。最简单的全通系统，纯延迟全通系统因为全通系统的相频特性并未受任何约束，所以其在传输系统中常用来进行相位校正一阶全通系统：镜像对称二阶全通系统：一对位于单位圆内的共轭极点，一对共轭零点和极点以单位圆为镜像对称。高阶全通系统：高阶全通系统的另一种表示形式：即：对该全通系统，可求出：1.

是IIR系统(不考虑这种纯延迟形式）；

2.极点数和零点数相等；

3.极点和零点是以单位圆镜像对称的；

4.极点都在单位圆内,零点都在单位圆外；w由0变到pi时，相频响应单调递减

5.全通系统的群延迟始终为正值。全通系统的特点：IIR系统的无限长，无法对称，即无法做到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统和IIR系统相级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做矫正，使其接近线性相位。全通系统的应用：全通系统还广泛应用在系统分析及一些特殊滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组）

一阶全通系统极零图幅频相频抽样响应无限长递减常数镜像

三阶全通系统极－零图幅频相频抽样响应无限长递减常数镜像

一个因果稳定的离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果：所有的零点都在单位圆内：最小相位系统；2.所有的零点都在单位圆外：最大相位系统；3.单位圆内、外都有零点：混合相位系统。最小相位系统练习：5.3:证明：如果一个离散时间系统是线性相位的，则它不可能是最小相位的。FIR：共轭、镜像、零点内有则外有，min要求零点全内练习：5.4:证明：系统2是最大相位系统5.4证明：在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中,最小相位滤波器对于ω轴（即零相位）具有最小的相位偏移；最小相位系统的性质：例：哪一个是最小相位系统？具有相同的幅频响应注意如何构造等幅系统函数注意如何构造等幅系统函数1、具有相同的幅频响应，故，左图重合2、根据性质1，系统1相对零相位具有最小的相位偏移，可知，蓝线应是系统1的相频响应定义：累计能量有：在具有相同幅频响应的系统中，最小相位系统的单位抽样响应的能量集中在n为较小值的范围内。设h(n)代表所有具有相同幅频响应的离散系统的单位抽样响应，例：例.三个系统：它们具有相同的幅频响应，试判断，哪一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？注意如何构造等幅系统函数极零h(n)幅频minmax混合相频累计能量练习：习题5.63.对于稳定因果系统，当且仅当其是最小相位

系统时,该系统才有可实现的逆系统（InverseSystem)。令：记：的逆系统IV?当且仅当H(z)是最小相位系统时，其逆系统才是因果、稳定的，即物理可实现的。一个因果稳定滤波器，若其逆系统是因果稳定的，则称