集中力偶课件

工程力学工程力学单元8梁的弯曲§8-1

平面弯曲和梁的类型§8-2

梁的内力§8-3

简捷法画梁的内力图§8-4

叠加法画弯矩图§8-5

练习题单元8梁的弯曲§8-1平面弯曲和梁的类型§8-2§8-1

平面弯曲和梁的类型一、弯曲变形与梁

1、弯曲变形：杆件受到垂直与杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用，杆轴由直线变成曲线，这种变形成为弯曲变形。

2、梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。

工程中梁式桥的主梁F1F2ABFAFBqFM§8-1平面弯曲和梁的类型一、弯曲变形与梁集中力偶课件

工程中房屋建筑的楼面梁

工程中房屋建筑阳台挑梁（a）（b）（c）（d）工程中房屋建筑的楼面梁工程中房屋建筑二、直梁的平面弯曲

1、平面弯曲（对称弯曲）：梁具有纵向对称面，若梁上所有外力（荷载和反力）都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。

受力特点：外力垂直与梁轴线。

变形特点：轴线在纵向对称面变成一条曲线。三、梁的类型1、悬臂梁2、简支梁3、外伸梁二、直梁的平面弯曲1、平面弯曲（对称弯曲）：§8-2

梁的内力剪力和弯矩一、梁的内力§8-2梁的内力剪力和弯矩一、梁的内力二、截面法求内力步骤：1、求反力2、求m面上内力①

切断m断面（垂直于梁轴）②绘受力图③应用平衡条件求解二、截面法求内力步骤：1、求反力三、剪力弯矩的正负号规定1、剪力：当截面上的剪力使所考虑的分离体有顺时针转动的趋势时为正。2、弯矩：当截面上的弯矩使所考虑的分离体产生向下凸的变形时（即上部受拉，下部受压）为正。三、剪力弯矩的正负号规定1、剪力：当截面上的剪力使所考虑的分四、简捷方法计算指定截面内力大小：在数值上等于截面一侧所有外力在垂直与轴线上投影的代数和。Q=ΣP。1、某指定截面上剪力Q正负：以外力定内力。截面左侧向上，或界面向下的外力使截面产生正剪力。即“左上右下为正”。2、某指定截面上弯矩M大小：在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。M=Σm。正负：截面左侧外力矩顺时针，截面右侧外力矩逆时针使截面产生正弯矩。即“左顺右逆为正”。四、简捷方法计算指定截面内力大小：在数值上等于截面一侧所有外例一求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力F=8kNFA3、计算2-2截面的内FBq=12kN/mFAFB例一求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。21§8-3

简捷法画梁的内力图一、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系MF1q(x)ABdxOxdxyxM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)结论1：梁上任意横截面上的剪力对X的一阶导数等于作用在该截面上的分布荷载集度。结论2：梁上任意横截面上的弯矩对X的一阶导数等于该截面

上的剪力。结论3：梁上任意横截面上的弯矩对X的二阶导数等于该截面

上的分布荷载集度。§8-3简捷法画梁的内力图一、弯矩、剪力、荷载集度之二、剪力图、弯矩图的图形规律外力情况q<0(向下)无荷载段集中力F作用处：集中力偶M作用处：剪力图上的特征↘(向下斜直线)水平线突变，突变值为F不变弯矩图上的特征(下凸抛物线)斜直线有尖点有突变，突变值为M最大弯矩可能的截面位置剪力为零的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧1、各种荷载下剪力图与弯矩图的形态表：2、其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；

③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。二、剪力图、弯矩图的图形规律外力情况q<0(向下)无荷载段集3、具体诠释：※剪力=0Q图：0线M图：水平线※剪力=常数Q图：水平线M图：斜直线

剪力Q＜0弯矩M递减剪力Q＞0弯矩M递增mll/2ABm/lm/lQM

-m/lmpABlPPlQ

+PMPl⑴当一段梁上荷载集度q(x)=0（无荷段）--3、具体诠释：※剪力=0Q图：0线⑵当一段梁上有均布荷载[q（x）=常数]※Q图：斜直线M图：二次抛物线qQ图下斜直线

M图下凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql²/8Mql/2ql/2qBAlqlql²/2Qql-ql²/2M-+⑵当一段梁上有均布荷载[q（x）=常数]※Q图：斜qQ图上斜直线

M图上凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql²/8Mql/2ql/2qlql²/2Qqlql²/2M+qBAl+-qQ图⑶M图的极值※Q（x）=0处M（x）有极值Q（x）由（+）经零到（-）

M图有极大值Q（x）由（-）经零到（+）

M图有极小值X=Q端/q

M极=M端±Q面积

Q端+-xM端+qQMM极⑶M图的极值※Q（x）=0处M（x）⑷集中力作用处※剪力Q图有突变集中力向下

Q图从左到右下突集中力向上

Q图从左到右上突※弯矩值不变弯矩图折变500500100100+--+Q（N）100400N200N1m1m1m100N

同号相减突变值=集中力的值

异号相加M（Nm）⑷集中力作用处※剪力Q图有突变集中力向下Q⑸集中力偶作用处※剪力Q图无变化※弯矩M图有突变集中力偶

M图从左到右上突集中力偶

M图从左到右下突

同号相减突变值=集中力偶值

异号相加++-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200500100100300Q（N）M（Nm）⑸集中力偶作用处※剪力Q图无变化※弯矩M图有突变集中⑹梁端有集中力、集中力偶Q端=±P（集中力）M端=±m（集中力偶）500500500100100+--+Q（N）100400N200N1m1m1m100N++-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200100100300Q（N）M（Nm）M（Nm）⑹梁端有集中力、集中力偶Q端=±P（集中力）M端=±m（集中三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图——简捷法1、简捷法：根据剪力图和弯矩图的图形规律快速绘制

剪力图和弯矩图的方法。2、简捷法绘图步骤

（1）求反力（悬臂梁除外）

（2）分段确定控制截面

梁端内侧Q图集中力左、右分布荷载起终处

梁端Ｍ图集中力集中力偶左、右分布荷载起终处（3）判断各段Q、M图的图形规律（定性分析）（4）求控制截面内力值（定量分析）（5）检查三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图——简捷法1、简捷法：根例：简捷法画图示梁的Q、M图Q（kN）M（kNm)75+45-

75+

1525-1.5m

+355083.75-1015.625+0.75mACDEB30kN/m1m1m4m2m60kN20kN/m120kN80kNm25kN75kN75例：简捷法画图示梁的Q、M图QM75+45-

练习:简捷法画图示梁的Q、M图BA3m2m1m2kN/m2kN3kNmCD2+3-3+1m2-+43Q(KN)M（kNm）练习:简捷法画图示梁的Q、M图BA3m2m1m2kN/m2

练习:简捷法画图示梁的Q、M图Q(N)M(Nm)+100100--400+200100+400300+400N300N3m1m1m200NmCAB100N200N/m2m练习:简捷法画图示梁的Q、M图QM(Nm)+100100

四、总结

五、布置作业1、弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系的意义是什么？思考题习题：教材140页9—42、如何确定弯矩的极值？

弯矩图上的极值是否就是梁内的最大弯矩？四、总结五、布置作业§8-4

叠加法画梁的弯矩图1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：BMAAqMBlB+MAMBM0++MAMBM0§8-4叠加法画梁的弯矩图1、叠加原理：当梁在各项荷

注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。

例作图示简支梁的弯矩图。2FCl/2ABFl/2l/2M注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合§8-5练习题1、求图所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。(a)11A1m0.5m1.2kNB2kNm5mA5kN11(b)2m1m1m22B6m(d)3m11BA3kN/mq5aA11(c)3aaa33B22§8-5练习题1、求图所示各梁中指定截面上的剪5kN5m(e)3m11BA2210kNm2.5m(f)1m11BA226.6m(g)3.3m1.7m18.5kN18.5kN10kN/mB11A1.7m5a(h)3aaqB11A5kN5m(e)3m11BA2210kNm2.5m(f)1m2、用简易法作图所示各梁的剪力图和弯矩图1mC1mDA3m10kN.m10kN.m(b)BCB1mA2.5m5kN/m(c)1mACB(d)2m15kN10kN.mCBAD(e)α3α5αqCBAα3αM0(f)ALBq(a)CBADE1m1m1m(h)4m10kN10kN30kNBα4α(k)qqαABα4α(l)AαppD20kN.m4mB(g)4kN.m4kN/mA1mACB(j)2m20kN/mACBADE(i)αααpp4a2、用简易法作图所示各梁的剪力图和弯矩图1mC1mDA3mAB5am(m)a4mA10kN/m(n)B80kNm80kNm3、用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。AB(1)Me1=8kN.m4mMe2=20kN.mAB(3)2m2mMe=8kN.mMe=8kN.mF=20kNAB(2)Me=8kN.m4m2mCq=5kN/mAB(4)3m3mCq=4kN/mF=8kNAB(6)2m6m2mCDq=6kN/mF=9kNAB(5)1m2m1mCF=2kNq=4kN/mDAB5am(m)a4mA10kN/m(n)B80kNm80kBACDL0.2L0.2Lq(8)5mB1mCA30kN.m20kN(9)2mB20kN.m20kN.m10kN/m(10)AlBqA2ql2ql2(11)3ααBAq(12)C3mA6kN/m1m2kN(7)BAB(14)ACqB(15)ACDqB(16)ACDFMe=1/4FAB(13)MeCB(17)Aαq2αqα2CBAqαα(18)qBACDL0.2L0.2Lq(8)5mB1mCA30kN.mACDBFAFBαααqα24、画出图所示简支梁的剪力图和弯矩图，并在图上标出各段端面的相应位置，并注明FS,max及Mmax。答：ACDBFAFBαααqα24、画出图所示简支梁的剪力图和弯ACBD2m2m8m20kN/m20kN100kNm5、画图所示梁的剪力图和弯矩图，并指出及答：。ACBD2m2m8m20kN/m20kN100kNm5、画l/4l/4l/2PPq1/41/41/2P1/41/41/2剪力图弯矩图6、外伸梁如图，已知P的取值范围在0与之间，值给定的情况下，问P在其取何值可使梁中危答：P的最佳值使得最大正弯矩和最大负弯矩相等。

试作剪力图和弯矩图。在险截面的弯矩值达到最小？l/4l/4l/2PPq1/41/41/2P1/41/41/谢谢大家！谢谢大家！工程力学工程力学单元8梁的弯曲§8-1

平面弯曲和梁的类型§8-2

梁的内力§8-3

简捷法画梁的内力图§8-4

叠加法画弯矩图§8-5

练习题单元8梁的弯曲§8-1平面弯曲和梁的类型§8-2§8-1

平面弯曲和梁的类型一、弯曲变形与梁

1、弯曲变形：杆件受到垂直与杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用，杆轴由直线变成曲线，这种变形成为弯曲变形。

2、梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。

工程中梁式桥的主梁F1F2ABFAFBqFM§8-1平面弯曲和梁的类型一、弯曲变形与梁集中力偶课件

工程中房屋建筑的楼面梁

工程中房屋建筑阳台挑梁（a）（b）（c）（d）工程中房屋建筑的楼面梁工程中房屋建筑二、直梁的平面弯曲

1、平面弯曲（对称弯曲）：梁具有纵向对称面，若梁上所有外力（荷载和反力）都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。

受力特点：外力垂直与梁轴线。

变形特点：轴线在纵向对称面变成一条曲线。三、梁的类型1、悬臂梁2、简支梁3、外伸梁二、直梁的平面弯曲1、平面弯曲（对称弯曲）：§8-2

梁的内力剪力和弯矩一、梁的内力§8-2梁的内力剪力和弯矩一、梁的内力二、截面法求内力步骤：1、求反力2、求m面上内力①

切断m断面（垂直于梁轴）②绘受力图③应用平衡条件求解二、截面法求内力步骤：1、求反力三、剪力弯矩的正负号规定1、剪力：当截面上的剪力使所考虑的分离体有顺时针转动的趋势时为正。2、弯矩：当截面上的弯矩使所考虑的分离体产生向下凸的变形时（即上部受拉，下部受压）为正。三、剪力弯矩的正负号规定1、剪力：当截面上的剪力使所考虑的分四、简捷方法计算指定截面内力大小：在数值上等于截面一侧所有外力在垂直与轴线上投影的代数和。Q=ΣP。1、某指定截面上剪力Q正负：以外力定内力。截面左侧向上，或界面向下的外力使截面产生正剪力。即“左上右下为正”。2、某指定截面上弯矩M大小：在数值上等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。M=Σm。正负：截面左侧外力矩顺时针，截面右侧外力矩逆时针使截面产生正弯矩。即“左顺右逆为正”。四、简捷方法计算指定截面内力大小：在数值上等于截面一侧所有外例一求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力F=8kNFA3、计算2-2截面的内FBq=12kN/mFAFB例一求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。21§8-3

简捷法画梁的内力图一、弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系MF1q(x)ABdxOxdxyxM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)q(x)结论1：梁上任意横截面上的剪力对X的一阶导数等于作用在该截面上的分布荷载集度。结论2：梁上任意横截面上的弯矩对X的一阶导数等于该截面

上的剪力。结论3：梁上任意横截面上的弯矩对X的二阶导数等于该截面

上的分布荷载集度。§8-3简捷法画梁的内力图一、弯矩、剪力、荷载集度之二、剪力图、弯矩图的图形规律外力情况q<0(向下)无荷载段集中力F作用处：集中力偶M作用处：剪力图上的特征↘(向下斜直线)水平线突变，突变值为F不变弯矩图上的特征(下凸抛物线)斜直线有尖点有突变，突变值为M最大弯矩可能的截面位置剪力为零的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧1、各种荷载下剪力图与弯矩图的形态表：2、其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；

③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。二、剪力图、弯矩图的图形规律外力情况q<0(向下)无荷载段集3、具体诠释：※剪力=0Q图：0线M图：水平线※剪力=常数Q图：水平线M图：斜直线

剪力Q＜0弯矩M递减剪力Q＞0弯矩M递增mll/2ABm/lm/lQM

-m/lmpABlPPlQ

+PMPl⑴当一段梁上荷载集度q(x)=0（无荷段）--3、具体诠释：※剪力=0Q图：0线⑵当一段梁上有均布荷载[q（x）=常数]※Q图：斜直线M图：二次抛物线qQ图下斜直线

M图下凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql²/8Mql/2ql/2qBAlqlql²/2Qql-ql²/2M-+⑵当一段梁上有均布荷载[q（x）=常数]※Q图：斜qQ图上斜直线

M图上凸抛物线ql/2ql/2qlABQ+-ql²/8Mql/2ql/2qlql²/2Qqlql²/2M+qBAl+-qQ图⑶M图的极值※Q（x）=0处M（x）有极值Q（x）由（+）经零到（-）

M图有极大值Q（x）由（-）经零到（+）

M图有极小值X=Q端/q

M极=M端±Q面积

Q端+-xM端+qQMM极⑶M图的极值※Q（x）=0处M（x）⑷集中力作用处※剪力Q图有突变集中力向下

Q图从左到右下突集中力向上

Q图从左到右上突※弯矩值不变弯矩图折变500500100100+--+Q（N）100400N200N1m1m1m100N

同号相减突变值=集中力的值

异号相加M（Nm）⑷集中力作用处※剪力Q图有突变集中力向下Q⑸集中力偶作用处※剪力Q图无变化※弯矩M图有突变集中力偶

M图从左到右上突集中力偶

M图从左到右下突

同号相减突变值=集中力偶值

异号相加++-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200500100100300Q（N）M（Nm）⑸集中力偶作用处※剪力Q图无变化※弯矩M图有突变集中⑹梁端有集中力、集中力偶Q端=±P（集中力）M端=±m（集中力偶）500500500100100+--+Q（N）100400N200N1m1m1m100N++-200Nm1m1m1m100Nm400Nm200100100300Q（N）M（Nm）M（Nm）⑹梁端有集中力、集中力偶Q端=±P（集中力）M端=±m（集中三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图——简捷法1、简捷法：根据剪力图和弯矩图的图形规律快速绘制

剪力图和弯矩图的方法。2、简捷法绘图步骤

（1）求反力（悬臂梁除外）

（2）分段确定控制截面

梁端内侧Q图集中力左、右分布荷载起终处

梁端Ｍ图集中力集中力偶左、右分布荷载起终处（3）判断各段Q、M图的图形规律（定性分析）（4）求控制截面内力值（定量分析）（5）检查三、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图——简捷法1、简捷法：根例：简捷法画图示梁的Q、M图Q（kN）M（kNm)75+45-

75+

1525-1.5m

+355083.75-1015.625+0.75mACDEB30kN/m1m1m4m2m60kN20kN/m120kN80kNm25kN75kN75例：简捷法画图示梁的Q、M图QM75+45-

练习:简捷法画图示梁的Q、M图BA3m2m1m2kN/m2kN3kNmCD2+3-3+1m2-+43Q(KN)M（kNm）练习:简捷法画图示梁的Q、M图BA3m2m1m2kN/m2

练习:简捷法画图示梁的Q、M图Q(N)M(Nm)+100100--400+200100+400300+400N300N3m1m1m200NmCAB100N200N/m2m练习:简捷法画图示梁的Q、M图QM(Nm)+100100

四、总结

五、布置作业1、弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系的意义是什么？思考题习题：教材140页9—42、如何确定弯矩的极值？

弯矩图上的极值是否就是梁内的最大弯矩？四、总结五、布置作业§8-4

叠加法画梁的弯矩图1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：BMAAqMBlB+MAMBM0++MAMBM0§8-4叠加法画梁的弯矩图1、叠加原理：当梁在各项荷

注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。

例作图示简支梁的弯矩图。2FCl/2ABFl/2l/2M注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合§8-5练习题1、求图所示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。(a)11A1m0.5m1.2kNB2kNm5mA5kN11(b)2m1m1m22B6m(d)3m11BA3kN/mq5aA11(c)3aaa33B22§8-5练习题1、求图所示各梁中指定截面上的剪5kN5m(e)3m1