初奥林匹克数学竞赛训练试题集07

初一奥林匹克数学比赛训练试题集（07）一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）已知a，b，c知足a+b+c＝0，abc＝8，那么的值是（）A．正数B．零C．负数D．正、负不可以够确立2．（4分）假如把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍B．扩大25倍C．减小5倍D．不变22的值是（）3．（4分）若（|x|﹣1）+（2y+1）＝0，则xyA．，﹣B．C．D．﹣14．（4分）以下代数式中的多项式共有（）个．2，﹣0.5，，2nm．，﹣xy，ax+bx+c，ab，A．1B．2C．3D．45．（4分）下边计算正确的选项是（）236B．1A．x?x＝xC．﹣2＝9D．3|x|2与﹣3|y|x、y的值分别是（）6．（4分）若5ab0.2ab是同类项，则A．x＝±3，y＝±2B．x＝3，y＝2C．x＝﹣3，y＝﹣2D．x＝3，y＝﹣27．（4分）若|1﹣|x||＝2，则（）A．x＝﹣1B．x＝﹣2C．x＝﹣3D．x＝±38．（4分）若三个连续偶数的和为18，这三个偶数分别为（）A．5，6，7B．4，6，8C．2，4，6D．6，8，10二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）9．（5分）初三年级参加数、理、化小组的人数是6：5：4，三组共有135人，参加物理小组有人．10．（5分）一个三位数的十位数字是m，个位数字比m小1，百位数字是m的3倍，则这个三位数是．11．（5分）a，b，c是小于4的整数，且a＜b＜c，若a+b+c＝abc，则这样的整数a，b，c第1页（共11页）有哪几组．2．12．（5分）若（x+3）+|y﹣4|＝0，则x﹣y＝13．（5分）若n是正整数，那么的值是数．（填整数，奇数，偶数，或许是零）14．（5分）两个自然数的和是50，它们的最大合约数是5，则这两个数的差是．15．（5分）若x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，且3x﹣2y＝1，则代数式10x+y能够取到个不同样的值，其值为．16．（5分）假如自然数a，b，c知足等式a2+b2＝c2，那么a，b，c中最罕有个偶数．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）要使对于x的方程||x﹣3|﹣2|＝a有三个整数解，则a的值是多少？18．（16分）已知自然数n的全部正约数的和是2n，则全部正约数的倒数和是多少？且证明你的结论．19．（16分）把两位数从19挨次写到80，获得n＝19202180，求证：1980|n．第2页（共11页）初一奥林匹克数学比赛训练试题集（07）参照答案与试题分析一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）已知a，b，c知足a+b+c＝0，abc＝8，那么的值是（）A．正数B．零C．负数D．正、负不可以够确立【分析】解题的重点是知道＝，而在公式（2222a+b+c）＝a+b+c+2（ab+bc+ac）里有ab+bc+ac这一部分，利用相等关系，可求出ab+bc+ac的值，再在不等式左右同除以abc的值，从而求的值．【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＝8，∴（a+b+c）2＝0，且a、b、c都不为0，∴（a+b+c）2222＝a+b+c+2（ab+bc+ac）＝0，∴ab+bc+ac＝﹣（a222+b+c），又∵a、b、c都不为0，222∴a+b+c＞0，∴ab+bc+ac＜0，又∵abc＝8＞0，∴＜0，∴＜0．∴的值是负数．应选：C．2222【讨论】本题利用了（a+b+c）＝a+b+c+2（ab+bc+ac）公式，以及不等式的有关性质，本题较难．2．（4分）假如把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）A．扩大5倍B．扩大25倍C．减小5倍D．不变【分析】把分式中的x和y都扩大5倍，依据分式的基天性质化简即可．第3页（共11页）【解答】解：＝×，故把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值扩大5倍．应选：A．【讨论】依据分式的基天性质，不论是把分式的分子和分母扩大仍是减小同样的倍数，分式的值不变．22）3．（4分）若（|x|﹣1）+（2y+1）＝0，则xy的值是（A．，﹣B．C．D．﹣1【分析】依据非负数的性质：偶次方，能够分别求出x和y的值，此后就能够求出xy的值了．22＝0，【解答】解：∵（|x|﹣1）+（2y+1）由非负数的性质可得（|x|﹣1）2＝0且（2y+1）2＝0，解得|x|＝1且2y＝﹣1，∴x＝±1y＝﹣，∴xy＝．应选：A．【讨论】察看非负数的性质：偶次方．求出x和y的值，问题就基本解决了，但要注意的是，x求出的值有两个，这是易错点．4．（4分）以下代数式中的多项式共有（）个．2，﹣0.5，，2nm．，﹣xy，ax+bx+c，ab，A．1B．2C．3D．4【分析】依据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行作答．【解答】解：多项式有：2，ax+bx+c，共2个．应选：B．【讨论】本题主要察看了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式、分式的定义相混杂．数字与字母的乘积叫做单项式，独自的一个数或字母也叫单项式．单项式必定不含有加减运算，而多项式含有加减运算，多项式的分母中必定不含字母．第4页（共11页）5．（4分）下边计算正确的选项是（）236B．1A．x?x＝xC．﹣2＝9D．3【分析】分别依据同底数幂的乘法、有理数的混杂运算、绝对值的性质对四个选项进行逐个计算即可．【解答】解：A、x2?x3＝x5，故本选项错误；B、1××＝1，故本选项正确；2C、﹣3＝﹣9，故本选项错误；D、＝，故本选项错误．应选：B．【讨论】本题察看的是同底数幂的乘法、有理数的混杂运算、绝对值的性质等有关知识，娴熟掌握以上知识是解答本题的重点．|x|23|y|x、y的值分别是（）6．（4分）若5ab与﹣0.2ab是同类项，则A．x＝±3，y＝±2B．x＝3，y＝2C．x＝﹣3，y＝﹣2D．x＝3，y＝﹣2【分析】依据同类项同样字母的指数同样可得出|x|＝3，|y|＝2，从而可得出x和y的值．|x|23|y|【解答】解：∵5ab与﹣0.2ab是同类项|x|＝3，|y|＝2，解得：x＝±3，y＝±2．应选：A．【讨论】本题察看同类项的知识，重点是掌握同类项同样字母的指数同样．7．（4分）若|1﹣|x||＝2，则（）A．x＝﹣1B．x＝﹣2C．x＝﹣3D．x＝±3【分析】把|1﹣|x||＝2从外向内挨次去掉绝对值符号即可得出答案．【解答】解：∵|1﹣|x||＝2，1﹣|x|＝2或1﹣|x|＝﹣2，|x|＝﹣1（舍去）或|x|＝3，x＝±3．应选：D．第5页（共11页）【讨论】本题察看了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，重点是从外向内挨次去掉绝对值符号．8．（4分）若三个连续偶数的和为18，这三个偶数分别为（）A．5，6，7B．4，6，8C．2，4，6D．6，8，10【分析】能够设中间的偶数为n，则三个连续偶数挨次为n﹣2，n，n+2，依据三数的和为18列出方程，求解即可．【解答】解：设中间的偶数为n，则三个连续偶数挨次为n﹣2，n，n+2，依据题意得：n﹣2+n+n+2＝18，解得n＝6．∴这三个连续偶数挨次为4，6，8．应选：B．【讨论】本题察看了一元一次方程的应用．解本题的重点是熟习偶数的性质，把中间的偶数设为未知数是解题的重点．二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）9．（5分）初三年级参加数、理、化小组的人数是6：5：4，三组共有135人，参加物理小组有45人．【分析】依据初三年级参加数、理、化小组的人数是6：5：4，能够设参加物理小组的人有x人，依据比率及总人数即可求得解．【解答】解：参加物理小组的有x人，依据题意得：，解得：x＝45（人）．即参加物理小组的有45人．故答案填：45．【讨论】本题察看了一元一次方程的应用，解题重点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系列出方程，再求解．10．（5分）一个三位数的十位数字是m，个位数字比m小1，百位数字是m的3倍，则这个三位数是311m﹣1．【分析】依据百位数、十位数、个位数的性质和定义即可列出有关代数式，注意结果化为最简形式．第6页（共11页）【解答】解：∵十位数字m，个位数字为m﹣1，百位数字是3m，∴这个三位数是：3m×100+m×10+m﹣1，整理得：311m﹣1．故答案填：311m﹣1．【讨论】本题察看了列数式的列法，解决问题的重点是读懂题意，正确表示出十位数和百位数的形式．11．（5分）a，b，c是小于4的整数，且a＜b＜c，若a+b+c＝abc，则这样的整数a，b，c有哪几组（1，2，3）或（﹣3，﹣2，﹣1）或（﹣1，0，1）或（﹣2，0，2）或（﹣3，0，3）．【分析】依据a+b+c＝abc可得（a+b）＝c（ab﹣1），又知，b，c是小于4的整数，且ab＜c，故考证可得出a、b、c的值．【解答】解：∵a+b+c＝abc，∴（a+b）＝c（ab﹣1）．且a＜b＜c＜4，故可试验得：a＝1，b＝2，c＝3，或a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1，或a＝﹣1，b＝0，c＝1，或a＝﹣2，b＝0，或a＝﹣3，b＝0，c＝3，故答案为（1，2，3）或（﹣3，﹣2，﹣1）或（﹣1，0，1）或（﹣2，0，2）或（﹣3，0，3）【讨论】本题主要察看整数问题的综合运用，解答本题的重点是把a+b+c＝abc分解成（a+b）＝c（ab﹣1），本题难度不大．212．（5分）若（x+3）+|y﹣4|＝0，则x﹣y＝﹣7．【分析】依据非负数的性质分别求得x，y的值，代入所求代数式即可求解．2【解答】解：∵（x+3）+|y﹣4|＝0，∴x＝﹣3，y＝4．∴x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7．【讨论】本题察看了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．（5分）若n是正整数，那么的值是偶数．（填整数，奇数，偶数，或许是零）第7页（共11页）【分析】可假定当n是奇数时或偶数时进行讨论，从结果中判断奇偶性．【解答】解：当n是奇数时：n22﹣1是偶数；[1﹣（﹣1）]?（n﹣1）＝n2n是偶数时[1﹣（﹣1）]?（n﹣1）＝0是偶数．故答案为偶数．【讨论】本题察看奇偶数的见解本题重点对n的奇偶性进行讨论可得结果．14．（5分）两个自然数的和是50，它们的最大合约数是5，则这两个数的差是20或40．【分析】由两个自然数的最大合约数是5，所以两数均含有素因子5，设这两数分别为x，y，则存正整数m，n，使得x＝5m．y＝5n，由两个自然数的和是50，则x+y＝5m+5n＝50，∴m+n＝10，由5是最大合约数，故m，n互质，此后讨论即可得出答案．【解答】解：由两个自然数的最大合约数是5，所以两数均含有素因子5，设这两数分别为x，y，则存正整数m，n，使得x＝5m．y＝5n，由两个自然数的和是50，则x+y＝5m+5n＝50，∴m+n＝10，由5是最大合约数，故m，n互质，于是m＝3，n＝7．x＝5m＝35．y＝5n＝15，或许m＝9，n＝1，x＝5m＝45，y＝5n＝5，∴两个自然数15，35，或45，5，∴两个数的差是35﹣15＝20或45﹣5＝40，故答案为：20或40．【讨论】本题察看了最大合约数，难度较大，重点是分类讨论两种状况．15．（5分）若x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，且3x﹣2y＝1，则代数式10x+y能够取到3个不同样的值，其值为11，34，57．【分析】由原方程能够获得用y表示x的一个方程：x＝，依据x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数分别代入求原方程的解即可，此后辈入10x+y中即可得解．【解答】解：由题意可知：x＝，x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，∴当x＝1时，y＝1；第8页（共11页）x＝3时，y＝4；x＝5，y＝7，原方程共三组解．∴10x+y能够取到3个不同样的值．挨次为：11，34，57．故答案分别填：3、11，34，57．【讨论】本题察看认识二元一次方程及代数式求值．解题重点是把方程3x﹣2y＝1的符合条件的x和y的值求出，再分别计算代入10x+y后的值．16．（5分）假如自然数2221个偶数．a，b，c知足等式a+b＝c，那么a，b，c中最罕有222222＝（c+b）（c﹣b），即可获得b+c与c﹣b都是【分析】依据a+b＝c，可得a＝c﹣b奇偶性与a的奇偶性同样，据此即可讨论a，b，c的奇偶性．【解答】解：∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）则：b+c与c﹣b的奇偶性同样∴若b+c与c﹣b都是奇数，则a为奇数，此时a，b，c中有1个偶数．b+c与c﹣b都为偶数，则a为偶数，此时a，b，c中有2个偶数．而a，b，c三数不可以能同时为奇数．故答案是：1．【讨论】本题主要察看了整数的奇偶性的讨论，正确理解b+c与c﹣b都是奇偶性与a的奇偶性同样是解题的重点．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）要使对于x的方程||x﹣3|﹣2|＝a有三个整数解，则a的值是多少？【分析】先依据绝对值的性质求出a的取值范围，去掉绝对值符号，再依据方程有3个不同样的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个同样，列出对于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：∵||x﹣3|﹣2|＝a，a≥0．|x﹣3|﹣2＝a或|x﹣3|﹣2＝﹣a．当|x﹣3|﹣2＝a时，|x﹣3|＝2+a，x﹣3＝2+a或x﹣3＝﹣2﹣a．x1＝5+a，x2＝1﹣a，第9页（共11页）|x﹣3|﹣2＝﹣a时，|x﹣3|＝2﹣a，a≤2，∴x﹣3＝2﹣a或x﹣3＝﹣2+a，x3＝5﹣a，x4＝1+a，若方程有3个不同样的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个同样．x1＝x2时，a＝﹣2，与a≥0矛盾；x1＝x3时，a＝0，此时原方程有2个解；x1＝x4时，a无解；x2＝x3时，a无解；x2＝x4时，a＝0，此方程有2个解；x3＝x4时，a＝2．综上有：当a＝2时，原方程有3个不同样的解．故答案为：2．【讨论】本题察看是方程的整数根及绝对值的性质，能依据题意判断出x1，x2，x3，x4中必有2个同样是解答本题的重点．18．（16分）已知自然数n的全部正约数的和是2n，则全部正约数的倒数