微分中值定理课件

2023/1/21一问题的提出(Introduction)

我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。2022/12/181一问题的提出(Introduct2023/1/22二微分中值定理(TheMeanValueTheorem)

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1预备定理——费马（Fermat）定理

费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。2022/12/182二微分中值定理微分中2023/1/23几何解释:2022/12/183几何解释:2023/1/24证明:2022/12/184证明:2023/1/25几何解释:2罗尔(Rolle)定理(Rolle’sTheorem)2022/12/185几何解释:2罗尔(Rolle)定理2023/1/26证2022/12/186证2023/1/272022/12/1872023/1/28注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.2022/12/188注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满2023/1/29例12）唯一性由零点定理即为方程的正实根.矛盾,证：1）存在性2022/12/189例12）唯一性由零点定理即为方程的正实2023/1/2103拉格朗日(Lagrange)中值定理2022/12/18103拉格朗日(Lagrange)中2023/1/211几何解释:证分析:弦AB方程为化归证明法2022/12/1811几何解释:证分析:弦AB方程为化归证2023/1/212作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2022/12/1812作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏2023/1/213拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：2022/12/1813拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推2023/1/214例2证由上式得2022/12/1814例2证由上式得2023/1/2154柯西(Cauchy)中值定理2022/12/18154柯西(Cauchy)中值定理2023/1/216几何解释:证作辅助函数2022/12/1816几何解释:证作辅助函数2023/1/2172022/12/18172023/1/218例42022/12/1818例42023/1/2192022/12/18192023/1/220三小结与思考判断题Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理2022/12/1820三小结与思考判断题RolleLa2023/1/221思考题1拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立.22022/12/1821思考题1拉格朗日2023/1/222一问题的提出(Introduction)

我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。2022/12/181一问题的提出(Introduct2023/1/223二微分中值定理(TheMeanValueTheorem)

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1预备定理——费马（Fermat）定理

费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。2022/12/182二微分中值定理微分中2023/1/224几何解释:2022/12/183几何解释:2023/1/225证明:2022/12/184证明:2023/1/226几何解释:2罗尔(Rolle)定理(Rolle’sTheorem)2022/12/185几何解释:2罗尔(Rolle)定理2023/1/227证2022/12/186证2023/1/2282022/12/1872023/1/229注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.2022/12/188注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满2023/1/230例12）唯一性由零点定理即为方程的正实根.矛盾,证：1）存在性2022/12/189例12）唯一性由零点定理即为方程的正实2023/1/2313拉格朗日(Lagrange)中值定理2022/12/18103拉格朗日(Lagrange)中2023/1/232几何解释:证分析:弦AB方程为化归证明法2022/12/1811几何解释:证分析:弦AB方程为化归证2023/1/233作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2022/12/1812作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏2023/1/234拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：2022/12/1813拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推2023/1/235例2证由上式得2022/12/1814例2证由上式得2023/1/2364柯西(Cauchy)中值定理2022/12/18154柯西(Cauchy)中值定理2023/1/237几何解释:证作辅助函数2022/12/1816几何解释:证作辅助函数2023/1/2382022/12/18172023/1/239例42022/12/1818例42023/1/2402022/12/18192023/1/241三小结与思考判断题Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）罗尔