2018-2019版人教A版数学选修4-5同步学案：第四讲 一 数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的基本原理。2。了解数学归纳法的应用范围。3.会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．思考1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案①第一辆自行车倒下;②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．思考2由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案适合解决一些与正整数n有关的问题．梳理数学归纳法的概念及步骤(1）数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:①证明当n＝n0时命题成立;②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立,证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．（3）数学归纳法的基本过程类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明eq\f(1,2)＋eq\f(1，22）＋eq\f（1,23）＋…＋eq\f(1，2n－1)＋eq\f（1，2n)＝1－eq\f(1，2n）(n∈N＋）．证明（1)当n＝1时,左边＝eq\f（1,2），右边＝1－eq\f（1，2)＝eq\f(1,2),等式成立．（2）假设当n＝k（k≥1)时，等式成立，即eq\f（1,2）＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2k）＝1－eq\f（1,2k）。当n＝k＋1时，eq\f（1,2）＋eq\f（1，22)＋…＋eq\f（1,2k）＋eq\f（1，2k＋1）＝1－eq\f（1,2k）＋eq\f（1,2k＋1）＝1－eq\f(1，2k＋1），即当n＝k＋1时，等式也成立．由（1)(2）可知，原等式对n∈N＋均成立．反思与感悟利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时,命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．跟踪训练1用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1，6)n(n＋1)(2n＋1）(n∈N＋)．证明（1)当n＝1时，左边＝12＝1,右边＝eq\f（1×2×3，6)＝1,等式成立．（2)假设当n＝k（k≥1，k∈N＋)时,等式成立,即12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(kk＋12k＋1,6）。当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋（k＋1）2＝eq\f（kk＋12k＋1,6）＋(k＋1）2＝eq\f（kk＋12k＋1＋6k＋12，6）＝eq\f（k＋12k2＋7k＋6,6）＝eq\f（k＋1[k＋1＋1]［2k＋1＋1］，6)。所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)（2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．类型二证明与整除有关的问题例2求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y）能被x＋y整除．(2）假设n＝k（k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2（x2k－y2k）＋y2k（x2－y2)．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2）能被x＋y整除．即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1）(2）可知，对任意正整数n，命题均成立．反思与感悟利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．跟踪训练2用数学归纳法证明：n3＋(n＋1）3＋（n＋2）3能被9整除(n∈N＋)．证明（1）当n＝1时,13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立．（2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1）时结论成立,即k3＋(k＋1)3＋（k＋2）3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋（k＋2）3＋（k＋3)3＝[k3＋(k＋1）3＋(k＋2)3]＋[（k＋3)3－k3］＝［k3＋（k＋1)3＋（k＋2)3］＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1）3＋（k＋2)3]＋9（k2＋3k＋3）．因为k3＋(k＋1）3＋(k＋2）3能被9整除，9（k2＋3k＋3)也能被9整除，所以（k＋1)3＋(k＋2）3＋(k＋3）3也能被9整除，即当n＝k＋1时结论也成立．由（1)（2）知，命题对一切n∈N＋成立．类型三用数学归纳法证明几何命题例3有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．证明(1)当n＝1时,一个圆将平面分成两个部分，且f（1）＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．(2）假设n＝k(k≥1）时命题成立，即k个圆把平面分成f（k）＝k2－k＋2个部分．则当n＝k＋1时,在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f（k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f（k＋1）＝f（k）＋2k＝k2－k＋2＋2k＝（k＋1)2－（k＋1）＋2。所以当n＝k＋1时，命题成立．综合(1)(2)可知,对一切n∈N＋，命题成立．反思与感悟(1）数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性,然后用数学式子予以描述，建立起f（k）与f（k＋1）之间的递推关系，实在分析不出的情况下,将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子,然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．（2）利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．跟踪训练3平面内有n条直线，其中任何两条不平行,任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成eq\f（1，2)(n2＋n＋2)个区域(n∈N＋)．证明(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又eq\f（1，2）×(12＋1＋2）＝2，∴n＝1时命题成立．（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N＋)时，命题成立,即k条满足题意的直线把平面分割成了eq\f(1，2)(k2＋k＋2)个区域．那么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了eq\f(1,2)(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k＋1个区域，∴k＋1条直线把平面分成了eq\f(1,2）（k2＋k＋2)＋k＋1＝eq\f（1,2)［(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．∴当n＝k＋1时命题也成立．由(1)（2)知，对一切的n∈N＋,此命题均成立．1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()A．1B．2C．3D．4答案C解析边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3。2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2，1－a）(n∈N＋，a≠1），在验证n＝1成立时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3答案B解析当n＝1时,n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2。3．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34（k＋1)＋1＋52(k＋1）＋1应变形为__________．答案81×（34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1（或25×（34k＋1＋52k＋1）＋56×34k＋1)解析34(k＋1)＋1＋52（k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×（34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.4．用数学归纳法证明1＋3＋…＋（2n－1）＝n2（n∈N＋）．证明（1）当n＝1时，左边＝1,右边＝1，等式成立．(2）假设当n＝k(k≥1）时，等式成立，即1＋3＋…＋（2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋（2k－1)＋［2(k＋1)－1］＝k2＋［2（k＋1）－1］＝k2＋2k＋1＝(k＋1）2。所以当n＝k＋1时等式成立．由(1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立．1．应用数学归纳法时应注意的问题（1)第一步中的验证,对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3。(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3）“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”,这是应用数学归纳法证明问题的核心环节,对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．(1)是要看有无归纳基础．（2）是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设．3．与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．一、选择题1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：(1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1,所以等式成立．(2)假设当n＝k（k≥1,k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时,1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f（1－2k＋1，1－2)＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．由（1)（2）知,对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述（）A．命题、推理都正确B．命题正确、推理不正确C．命题不正确、推理正确D．命题、推理都不正确答案B解析推理不正确，错在证明当n＝k＋1时，没有用到假设当n＝k时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．2．在数列｛an｝中,a1＝eq\r（2）－1，前n项和Sn＝eq\r(n＋1)－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()A．an＝eq\r（n＋1）－1 B．an＝neq\r（n＋1)－1C．an＝eq\r（2n）－eq\r(n） D．an＝eq\r（n＋1）－eq\r(n）答案D解析∵a1＝eq\r(2)－1，S2＝eq\r(3)－1，∴a2＝S2－S1＝eq\r（3)－eq\r(2），a3＝S3－S2＝eq\r（4）－eq\r（3)，a4＝S4－S3＝eq\r(5）－eq\r(4），猜想：an＝eq\r（n＋1）－eq\r(n）.3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(）A．假设n＝2k＋1（k∈N＋）时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N＋）时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k（k∈N＋)时正确,再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k（k∈N＋）时正确，再推n＝k＋2时正确答案B解析∵n为正奇数，∴在证明时,归纳假设应写成:假设当n＝2k－1（k∈N＋)时正确,再推出当n＝2k＋1时正确，故选B.4．设f(n）＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f（1，n＋2）＋eq\f（1，n＋3)＋…＋eq\f(1，2n)（n∈N＋),那么f(n＋1)－f（n）等于(）A.eq\f（1,2n＋1） B.eq\f(1，2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1）＋eq\f（1,2n＋2） D。eq\f（1，2n＋1）－eq\f（1,2n＋2)答案D解析因为f(n)＝eq\f（1,n＋1）＋eq\f（1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n），所以f（n＋1)＝eq\f(1，n＋2)＋eq\f（1,n＋3）＋…＋eq\f（1，2n)＋eq\f(1,2n＋1）＋eq\f(1，2n＋2),所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1）＋eq\f(1，2n＋2）－eq\f(1,n＋1)＝eq\f（1,2n＋1）－eq\f（1，2n＋2)。5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n（n＋1)（n＋2）＝eq\f（1，4)n（n＋1)(n＋a）(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值可以等于()A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3答案D解析令n＝1，2得到关于a,b的方程组,解得即可．6．某个命题与正整数n有关，若当n＝k（k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得（）A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立答案C解析由已知得当n＝k时成立⇒n＝k＋1时成立．∴当n＝k＋1时不成立⇒当n＝k时不成立．∴由当n＝5时不成立知，当n＝4时不成立．二、填空题7．设f(n)＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1,3n－1）(n∈N＋),则f(n＋1)－f（n)＝________.答案eq\f(1,3n）＋eq\f(1，3n＋1)＋eq\f（1,3n＋2）解析因为f（n)＝1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1，3n－1)，所以f（n＋1）＝1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1，3n－1)＋eq\f（1，3n)＋eq\f(1,3n＋1）＋eq\f(1，3n＋2)，所以f（n＋1)－f（n）＝eq\f(1,3n）＋eq\f（1,3n＋1）＋eq\f（1，3n＋2).8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________________．答案1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·eq\f(nn＋1，2）9．已知平面上有n（n∈N＋,n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n)条,则f（3)＝__________,f(4）＝____________,f（5)＝____________，f（n＋1）＝f（n）＋____________.答案3610n解析当n＝k时，有f(k）条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线,所以f（k＋1）＝f(k)＋k.所以f(3)＝3,f（4)＝6，f（5）＝10，f(n＋1)＝f（n）＋n。10．观察下列等式:（1＋1）＝2×1，（2＋1）(2＋2)＝22×1×3,(3＋1）(3＋2）（3＋3)＝23×1×3×5，…,照此规律，第n个等式可为____________________．答案(n＋1）(n＋2）…（n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1）解析由已知，得第n个等式左边为（n＋1)（n＋2）…(n＋n），右边为2n×1×3×…×（2n－1)．所以第n个等式为（n＋1)(n＋2)…（n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题11．用数学归纳法证明:当n为正整数时，f（n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明（1)当n＝1时，f（1）＝34－8－9＝64，命题显然成立．（2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋）时，命题成立,即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，f（k＋1)＝32（k＋1)＋2－8（k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9×8k＋9×9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1），即f（k＋1）＝9f（k)＋64（k＋1)．∴n＝k＋1时命题也成立．综合（1)（2）可知，对任意的n∈N＋，命题都成立．12．用数学归纳法证明：1－eq\f（1,2)＋eq\f(1，3）－eq\f（1，4)＋…＋eq\f(1,2n－1）－eq\f(1,2n）＝eq\f（1，n＋1)＋eq\f（1，n＋2)＋…＋eq\f(1，2n）（n∈N＋)．证明(1)当n＝1时，左边＝1－eq\f（1,2）＝eq\f(1,2)＝eq\f（1，1＋1)＝右边,所以等式成立．（2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋）时等式成立,即1－eq\f(1,2）＋eq\f（1，3)－eq\f（1,4)＋…＋eq\f(1，2k－1)－eq\f(1，2k）＝eq\f(1,k＋1）＋eq\f(1，k＋2)＋…＋eq\f(1，2k)，则当n＝k＋1时，1－eq\f(1，2）＋eq\f（1，3）－eq\f（1，4)＋…＋eq\f（1,2k－1）－eq\f(1，2k)＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f(1，2k＋2)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，k＋1)＋\f(1，k＋2）＋…＋\f(1，2k）))＋eq\f(1，2k＋1）－eq\f(1,2k＋2)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，k＋2）＋…＋\f（1，2k）＋\f(1，2k＋1))）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，k＋1)－\f(1，2k＋2)))＝eq\f(1，k＋2)＋…＋eq\f（1,2k）＋eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2）＝eq\f(1,k＋1＋1）＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立．由（1)（2)知,对任意n∈N＋等式都成立．13．请观察以下三个式子：(1)1×3＝eq\f(1×2×9，6）；（2）1×3＋2×4＝eq\f(2×3×11,6）；（3）1×3＋2×4＋3×5＝eq\f(3×4×13，6），归纳出一般的结论,并用数学归纳法证明该结论．解结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n（n＋2）＝eq\f（nn＋12n＋7，6)。证明:①当n＝1时，左边＝3,右边＝3，所以命题成立．②假设当n＝k（k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝eq\f（kk＋12k＋7，6)，当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)＝eq\f（kk＋12k＋7,6)＋（k＋1）(k＋3)＝eq\f（k＋1,6)（2k2＋7k＋6k＋18)＝eq\f（k＋1,6)（2k2＋13k＋18）＝eq\f（k＋1k＋22k＋9，6)＝eq\f(k＋1［k＋1＋1][2k＋1＋7］,6）,所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．四、探究与拓展14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋（n－1)2＋n2＋（n－1）2＋…＋22＋12＝eq\f（n2n2＋1,3）时,由n＝k(k∈N＋,k≥1）的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案(k＋1)2＋k2解析当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1）2＋…＋22＋