投入产出系数和投入产出模型

关于投入产出系数和投入产出模型第一页，共六十一页，2022年，8月28日2

⒈直接消耗直接消耗包括在生产经营过程中直接的生产消耗、直接用于管理的消耗、直接用于劳动保护的消耗和直接用于中小修理的消耗等。

⒉直接消耗系数

⑴定义第j个部门（或第j种产品）的1个单位产出量所直接消耗的第i个部门（或第i种产品）产出量的数量。用aij表示。

一、直接消耗系数第二页，共六十一页，2022年，8月28日3投入产出表基本表式第三页，共六十一页，2022年，8月28日4

(2)计算

注意：计算公式中分母是Xj而不是Xi，为什么？第四页，共六十一页，2022年，8月28日5﹤①②对于价值型投入产出表，存在﹤直接消耗系数的性质第五页，共六十一页，2022年，8月28日63、直接消耗系数矩阵

将直接消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用A表示，为一n阶方阵。第六页，共六十一页，2022年，8月28日7

表1假想的某年某国4部门价值型投入产出表

单位：亿元

中

间

使

用

最

终

使

用

产出投

入部门1部门2部门3部门4合计消费资本形成合计总产出部门196224179160659894479411600部门21667277160925111819713152240部门3320336102432020002203405602560部门4483362561608004803208001600中间投入合计480156815368004384271290436168000折旧4015014080410劳动报酬9522694614002082税利1282534233201124最初投入合计112067210248003616总

投

入16002240256016008000第七页，共六十一页，2022年，8月28日8对于假想表1所表示的投入产出模型，有第八页，共六十一页，2022年，8月28日9

对于1997年中国价值型投入产出表（6部门）有如下直接消耗系数矩阵第九页，共六十一页，2022年，8月28日102000年中国价值型投入产出表（6部门）直接消耗系数矩阵第十页，共六十一页，2022年，8月28日11

⒈完全消耗的含义任何产品在生产过程中，除了各种直接消耗关系外，还有各种间接消耗关系。

二、完全消耗和完全消耗系数完全消耗=直接消耗+全部间接消耗

=直接消耗+一次间接消耗

+二次间接消耗

+三次间接消耗

+…2.完全消耗系数完全消耗系数反映了部门间（产品间）的完全消耗关系，用bij表示。第十一页，共六十一页，2022年，8月28日12例：钢的生产中对电的消耗第十二页，共六十一页，2022年，8月28日13

3、完全消耗系数计算公式的推导

首先，j产品的生产要直接消耗i产品，即bij中应包括aij；

其次，计算j产品的生产中对i产品的全部间接消耗。

①j产品在生产中直接消耗了第k(k=1,2…n)种产品（包括对j产品自身的消耗）：akj

②而第k(k=1,2…n)种产品生产过程中全部消耗的第i种产品为:bik

③因此，j产品通过第k种产品而全部间接消耗的第i种产品为:bikakj第十三页，共六十一页，2022年，8月28日14

⑤最后，将第j种产品在生产过程中直接消耗的第i种产品与全部间接消耗的第i种产品相加，即为第j种产品生产对第i种产品的完全消耗：

④于是，第j种产品生产中通过n种产品而全部间接消耗的第i种产品为第十四页，共六十一页，2022年，8月28日15

写成矩阵形式第十五页，共六十一页，2022年，8月28日16

将完全消耗系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用B表示，为一n阶方阵。

完全消耗系数矩阵第十六页，共六十一页，2022年，8月28日17对于表1所表示的投入产出表，可计算得到第十七页，共六十一页，2022年，8月28日18

同样地，对于1997年中国全国价值型投入产出表（6部门），其完全消耗系数矩阵为：第十八页，共六十一页，2022年，8月28日19

4、完全消耗系数的性质

①某一个完全消耗系数不能单独求得，必须同时求出所有的完全消耗系数。为什么？第十九页，共六十一页，2022年，8月28日20中国1992年实物型投入产出表部分产品的消耗系数比较第二十页，共六十一页，2022年，8月28日21

1、折旧系数

三、其他消耗系数Dj

表示j产品在生产过程中的折旧额，则adj表示单位j产品中的折旧。其向量形式为

同样地，可计算完全折旧系数向量：第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日222、劳动消耗系数Vj

表示j产品在生产过程中所投入的劳动报酬，则avj表示单位j产品中的劳动报酬。其向量形式为同样地，可计算完全劳动消耗系数向量：第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日23

3、社会纯收入系数

Mj

表示j产品在生产过程中所形成的社会纯收入（利税额），则amj表示单位j产品中的社会纯收入。其向量形式为同样地，可计算完全社会纯收入系数向量：第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日24中国1997年6部门价值型投入产出表

其他直接消耗系数与完全消耗系数表第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日25四、基于消耗系数的经济数学模型

投入产出经济数学模型是在投入产出表的基础上，通过引入各种消耗系数而建立起来的反映经济系统各“部分”（部门或产品）相互依存的“投入-产出”平衡关系式。

行模型：按行向平衡关系建立的模型

列模型：按列向平衡关系建立的模型其他各种复杂的投入产出应用模型，都是这两个最基本的投入产出经济数学模型的扩展

第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日261.分配方程组和按行建立的模型

（1）分配方程组

对于投入产出表的每一行，不管是价值型还是实物型，都存在如下平衡方程：

引入直接消耗系数，可以写成：

这就是分配方程组。它反映每个部门的总产出是如何分配与使用的。第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日27

用矩阵表示该方程组，有

AX+Y=X其中分别为直接消耗系数矩阵、最终需求矩阵、总产量矩阵第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日28

①模型形式

由AX+Y=X

，容易得到：

(I-A)X=Y

或X=(I-A)-1Y

这就是按行建立的投入产出基本经济数学模型。

（2）按行建立的经济数学模型其中：1)(--=AIB称为“列昂惕夫逆矩阵”，其中的元素ijb表示生产单位j种最终产品对i产品的完全需要量，称为列昂惕夫逆系数，或完全需求系数，因此，列昂惕夫逆矩阵也称为完全需求系数矩阵。

第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日29

②

模型的经济意义

该模型揭示了最终使用量和总产出量之间的关系。即：已知：最终使用量，求出：保证经济系统各部分之间综合平衡的总产出量已知：各部门总产出量，求出：各部门产品最终使用量第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日30

Ⅰ.两者相差一个单位矩阵：完全消耗系数完全需要系数

③完全需求系数与完全消耗系数第三十页，共六十一页，2022年，8月28日31Ⅱ.二者的经济意义不同注意：

完全消耗系数是相对于1个单位最终使用而言的，而直接消耗系数是相对于1个单位的总产出量而言的。这是十分重要的区别。第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日32第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日33④实例中国1997年全国价值型6部门投入产出经济数学模型：第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日34

（1）.生产方程组

对于价值型投入产出表的每一列，存在如下平衡方程：

2.生产方程组与按列建立的模型

这就是生产方程组。它反映每个部门的总产出是如何形成的。可以写成第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日35

用矩阵表示该方程组，有其中第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日36①模型形式

（2）按列建立的经济数学模型②

模型的经济意义该模型揭示了最初投入量和总产出量（总投入量）之间的关系。因此：

已知：最初投入量，求出：相应的总产出量。

已知：总产出量，求出：最初投入量。这就是按列建立的投入产出基本经济数学模型。第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日37五、投入产出模型的基本假设和求解条件

任何经济数学模型都是都实际经济活动的抽象，都是在若干基本假设下建立的，或者只有在若干基本假设下才能成立。关键在于所舍弃的是事物的本质方面还是非本质方面。

1.投入产出模型的基本假设

(1)同质性假定（不可替代假设）

投入产出模型假设一个部门只生产一种产品，而且只采用一种技术生产；同时，一种产品只由一个部门生产。部门称为“纯部门”或“产品部门”。

第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日38Ⅰ.各“部门”投入量与产出量成正比，比例系数就是直接消耗系数。

Ⅱ.产品生产中各投入要素之间有固定比例，即投入要素的增减均呈现同一比例。

（3）系数不变假设投入产出模型假设直接消耗系数在一个周期内是不变的。（4）关于生产周期的假设投入产出模型假设每个部门的生产经营活动，从生产要素的投入到产出的分配与使用，都在一个周期内完成。

（2）比例性假定（线性假设）第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日39

（1）投入产出模型能够求解的条件

2、投入产出模型的求解条件

投入产出模型

X=(I-A)-1Y能够求解的条件是矩阵(I-A)有逆，且逆矩阵的元素不为负。

这一条件是从数学和经济意义两方面提出的。第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日40（2）价值型投入产出模型求解条件的证明

而在矩阵(I-A)中，主对角线元素为1-ajj，其它元素为-aij。所以该矩阵是主对角线元素占优势的矩阵。由线性代数知识可知，|I-A|0，所以矩阵(I-A)可逆。而且存在(I-A)的逆矩阵的元素都大于0。第四十页，共六十一页，2022年，8月28日41设有两个部门的投入产出模型：（1-a11)X1-a12X2=Y1-a21X1+(1-a22)X2=Y2Y1/a12Y2/(1-a22)一个直观的说明(霍金斯.西蒙(hawkinsSimon)条件)：X2X1

（1-a11)(1-a22)>a12a21

或（1-a11)(1-a22)-a12a21>0

要使该方程组有正解，必须使两线交于第一象限，即可推出：

X2=(1-a11)/a12*X1-Y1/a12(1)X2=a21/(1-a22)*X1+Y2/(1-a22)(2)(2)(1)即必须：（1-a11)/a12>a21/(1-a22)第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日42数学证明第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日43第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日44第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日45第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日46六、分配系数投入产出表中，横行表示各种产品的分配使用去向，分配系数表示部门之间产品的分配使用关系。

1.直接分配系数的含义：第i部门产品分配到第j消耗部门作中间使用的产品数量占第i部门总产品量的比重，称为分配系数。第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日472.直接分配系数矩阵：

将直接分配系数按照投入产出表中部门（或产品）的顺序排列而成的矩阵。用H表示，为一n阶方阵。第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日483.完全分配系数

各个部门之间除了具有直接的分配关系外，还存在着间接的分配关系。

完全分配系数综合反映了直接分配关系和间接分配关系。

设两个部门（产品）间的完全分配系数为则

第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日49写成矩阵形式，为整理，得

或

第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日503.引入直接分配系数的模型（1）行模型引入

系数，得代入上式，得该式也称为分配方程组第五十页，共六十一页，2022年，8月28日51写成矩阵形式其中第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日52当中间产品分配系数确定后，可在已知总产品的情况下，求最终产品。行模型形式

当中间产品分配系数确定后，可在已知最终产品的情况下，求总产品。①②第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日53（2）列模型引入

系数，得代入上式，得该式也称为生产方程组第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日54写成矩阵形式或者其中第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日55列模型形式①利用总产出求增加值利用增加值求总产出②第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日56

称为Ghosh供给驱动模型（Ghosh模型）。

(I-H)-1为Ghosh逆矩阵，也称为完全供给系数矩阵，元素表示i部门增加1个单位初始投入，对第j部门完全供给的产品