椭圆及其标准方程、性质讲义-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一讲椭圆及其标准方程、性质要点一、椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、（）的距离之和等于常数的点的轨迹。【注意：】这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.【思考】定义中的常数不满足时点的轨迹是什么？若，的轨迹存不存在？若存在，是什么？_______________若，的轨迹存不存在？若存在，是什么？_______________答案：(1)轨迹不存在.(2)P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．【练习1】判断：(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．()(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．()(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．()提示1：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．(2)×.2a<|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在．(3)√.符合椭圆的定义．(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．要点二、椭圆标准方程1、椭圆标准方程的推导：【仔细阅读课本106页推导过程，最好能够自行推导一遍，了解椭圆标准方程的由来。上课时我们也会一起来看这个过程，有不理解的地方最好标注。】2、椭圆的标准方程的两种形式：焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)F1(－c，0)，F2(c，0)2c(c>0)焦点在y轴上(a＞b＞0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(c>0)待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．(2)设方程．①依据上述判断设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)；②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．【练习2】已知a＝eq\r(13)，c＝2eq\r(3)，则该椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,13)＝1C．eq\f(x2,13)＋y2＝1 D．eq\f(x2,13)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,13)＝1【解析2】Db2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴，方程为eq\f(x2,13)＋y2＝1；当焦点在y轴，方程为eq\f(y2,13)＋x2＝1.【练习3】已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2eq\r(2)，且过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))，则椭圆C的标准方程为()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1【解析3】由椭圆的定义得2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2)))2＋2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\r(2)))2＋2)＝eq\r(7＋2\r(6))＋eq\r(7－2\r(6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－1))＝2eq\r(6)，所以a＝eq\r(6)，b＝eq\r(6－2)＝2.因此椭圆C的标准方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1.【练习4】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________【解析4】<m<25因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25.要点二、椭圆的性质1、椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.2、椭圆的对称性椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。3、椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、椭圆的离心率（重点★难点）离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）当越接近1时，c越接近a，椭圆越______（扁/圆）；当越接近0时，c越接近0，椭圆越______（扁/圆）；当且仅当a=b时，图形为_______.【练习5】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）【答案5】D【练习6】已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；【解析6】由题意得，即，解得。经典题型突破题型一求椭圆的标准方程用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．【例1】求与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq\r(15))的椭圆的标准方程．题型二利用椭圆定义求轨迹方程与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，1.定义法求轨迹方程如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．2．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．【例2】如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【例3】已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．题型三椭圆中的焦点三角形问题(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L＝2a＋2c.②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③设P(xP，yP)，焦点三角形的面积＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).【例4】已知椭圆eq\f(x