数学三历年真题答案

17/17数学三历年真题答案数学三历年真题答案

【篇一：2014考研数学三真题及答案】

ss=txt>数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）设liman?a,且a?0,则当n充分大时有（）

a（a）an?

2

（b）an?

a2

1n1

（d）an?a?

n

（c）an?a?

（2）下列曲线有渐近线的是（）（a）y?x?sinx（b）y?x2?sinx1x12

（d）y?x?sin

x

（c）y?x?sin

（3）设p(x)?a?bx?cx?dx，当x?0时，若p(x)?tanx是比x3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（a）a?0（b）b?1（c）c?0（d）d?

2

3

16

（4）设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在区间[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x)（b）当f(x)?0时，

f(x)?g(x)（c）当f(x)?0时，f(x)?g(x)

（d）当f(x)?0时，f(x)?g(x)

0a

（5）行列式

0cab000b

?

cd000d

（a）(ad?bc)2（b）?(ad?bc)2（c）a2d2?b2c2（d）

b2c2?a2d2

（6）设a1,a2,a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量

组?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量组?1,?2,?3线性无关的

（a）必要非充分条件（b）充分非必要条件（c）充分必要条件（d）既非充分也非必要条件

（7）设随机事件a与b相互独立，且p（b）=0.5，p(a-b)=0.3，求p（b-a）=（）（a）0.1（b）0.2（c）0.3（d）0.4

（8）设x1,x2,x3为来自正态总体n(0,?

)分布为

（a）f（1,1）（b）f（2,1）（c）t(1）（d）t(2)

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.．．．

（9）设某商品的需求函数为q?40?2p（p为商品价格），则该商品的边际收益为_________。(10)设d是由曲线xy?1?0与直线y?x?0及y=2围成的有界区域，则d的面积为_________。(11)设2

服从的?

a

xe2xdx?

1

，则a?_____.4

2ex

(12)二次积分?dy?(?ey)dx?________.

0yx

11

2

22

（13）设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围

是_________

（14）设总体x

?2x

?

的概率密度为f(x;?)??3?2

??0

??x?2?

其它

2

，其中?是未知参数,

x1,x2,...,xn,为来自总体x的简单样本，若c

?x

i?1

n

i

是?2的无偏估计，则c=_________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

?

求极限lim

x???

x

1

?2?1??t

?t?e?1??t?dt????

1

x2ln(1?)

x

（16）（本题满分10分）

.设平面区域d?{(x,y)|1?x?y?4,x?0,y?

0}，计算d

2

2

（17）（本题满分10分）

?2z?2zx2x

设函数f(u)具有2阶连续导数，z?f(ecosy)满足2?2?4(z?ecosy)e，若

?x?y

x

f(0)?0,f(0)?0，求f(u)的表达式。

（18）（本题满分10分）求幂级数

?(n?1)(n?3)x

n?0

?

n

的收敛域及和函数。

（19）（本题满分10分）

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明：（i）0?（ii）

?

x

a

b

g(t)dt?x?a,x?[a,b];

?

a?

a

?ag(t)dtf(x)dx?bf(x)g(x)dx.

?

a

?1?23?4???

（20）（本题满分11分）设a??01?11?，e为3阶单位矩阵。?120?3???

①求方程组ax?0的一个基础解系；②求满足ab?e的所有矩阵b?1?1

（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵?

????1

（22）（本题满分11分）

1?1??0

??

1?1??0

与?????

??

1?1??00?1?

?

0?2?

相似。????

0?n?

设随机变量x的概率分布为p{x=1}=p{x=2}=从均匀分布

u(0,i)(i?1,2)（1）求y的分布函数fy(y)（2）求ey

（23）（本题满分11分）

1

，在给定x?i的条件下，随机变量y服2

设随机变量x与y的概率分布相同，x的概率分布为p{x?0}?y的相关系数?xy?

12

,p{x?1}?,且x与33

1

2

（1）求（x，y）的概率分布

（2）求p{x+y?1}

2014年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填

在答题纸指定位置上.．．．（1）a（2）c（3）d（4）c（5）b（6）a（7）（b）（8）（c）

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答

题纸指定位置上.．．．（9）

dr

?40?4pdp

3

?ln221

（11）a?

21

（12）(e?1)

2

（10）（13）[-2,2]（14）

25n

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.（15）【答案】【篇二：最新考研数学三(2003-2013年)历年真题+答案

详解】

s=txt>数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在

题中横线上）

1??

?xcos,若x?0,

（1）设f(x)??其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是x

若x?0,??0,

（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________.（3）设a0，f(x)?g(x)??

?a,若0?x?1,

而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=_______.

?0,其他，d

（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵a?e???t，b?e?

1

??t，a

其中a的逆矩阵为b，则a=______.

（5）设随机变量x和y的相关系数为0.9,若z?x?0.4，则y与z的相关系数为________.

（6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随机样本，则当n??

1n

时，yn??xi2依概率收敛于______.

ni?1

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x)

x

(a)在x=0处左极限不存在.(b)有跳跃间断点x=0.

(c)在x=0处右极限不存在.(d)有可去间断点x=0.[]（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(a)f(x0,y)在y?y0处的导数等于零.（b）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零.(c)f(x0,y)在y?y0处的导数小于零.(d)f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.[]

（3）设pn?

?

an?an

2

，qn?

?

an?an

2

?

，n?1,2,?，则下列命题正确的是(a)若

?a

n?1

n

条件收敛，则

?p

n?1

n

与

?q

n?1

n

都收敛.

(b)若

?a

n?1

?

n

绝对收敛，则

?p

n?1

?

n

与

?q

n?1

?

n

都收敛.

(c)若

?a

n?1?

?

n

条件收敛，则

?p

n?1?

?

n

与

?q

n?1?

?

n

敛散性都不定.

(d)若

?a

n?1

n

绝对收敛，则

?p

n?1

n

与

?q

n?1

n

敛散性都不定.[]

?abb???（4）设三阶矩阵a?bab，若a的伴随矩阵的秩为1，则必有????bba??

(a)a=b或a+2b=0.(b)a=b或a+2b?0.

(c)a?b且a+2b=0.(d)a?b且a+2b?0.[]（5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是

(a)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s

线性无关.

(b)若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数

k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(c)?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(d)?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：a1={掷第一次出现正面}，a2={掷第二次出现正面}，a3={正、反面各出现一次}，a4={正面出现两次}，则事件

(a)a1,a2,a3相互独立.(b)a2,a3,a4相互独立.

(c)a1,a2,a3两两独立.(d)a2,a3,a4两两独立.[]

三、（本题满分8分）设

f(x)?

1111??,x?[,1).?xsin?x?(1?x)2

试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.

四、（本题满分8分）

1

2

?2f?2f12

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又??1g(x,y)?f[xy,(x?y2)],求22

2?u?v?2g?2g

?.?x2?y2

五、（本题满分8分）计算二重积分i?

?(xe??d

2

?y2??)

sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域d={(x,y)x2?y2??}.

六、（本题满分9分）

x2n

求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.

2nn?1

?

n

七、（本题满分9分）

(1)求f(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出f(x)的表达式.八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且

f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.

九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组

?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn???a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn

??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn

?0,

?0,?0,?0,

其中

?a

i?1

n

i

?0.试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型

222

f(x1,x2,x3)?xtax?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，

中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求a,b

的值；

(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和

对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量x的概率密

度为

?1

,若x?[1,8],?

f(x)??3x2

其他;??0,

f(x)是x的分布函数.求随机变量y=f(x)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量x与y独立，其中x的概率分布为

x~??0.30.7??，

??

而y的概率密度为f(y)，求随机变量u=x+y的概率密度g(u).

?12?

2003年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在

题中横线上）

1??

?xcos,若x?0,

（1）设f(x)??其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2.x

若x?0,??0,

【分析】当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当??1时，有

11???1

??xcos?x??2sin,若x?0,

f?(x)??xx

若x?0,?0,?

显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.x?0

（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?4a6.

【分析】曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.

【详解】由题设，在切点处有

2

y??3x2?3a2?0，有x0?a2.

又在此点y坐标为0，于是有

3

0?x0?3a2x0?b?0,

222

故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.

【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3）设a0，f(x)?g(x)??

?a,若0?x?1,

而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=a2.

?0,其他，d

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】i?=a

??f(x)g(y?x)dxdy=

d

0?x?1,0?y?x?1

??a

2

dxdy

2

?

1

dx?

x?1

x

dy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.

1

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的

区域的公共部分上积分即可.

（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵

a?e???t，b?e?其中a的逆矩阵为b，则a=-1.

【分析】这里??t为n阶矩阵，而?t??2a2为数，直接通过ab?e进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

1

??t，a

1

??t)a11

=e???t???t???t???t

aa11

=e???t???t??(?t?)?t

aa1

=e???t???t?2a??t

a1

=e?(?1?2a?)??t?e,

a

11

于是有?1?2a??0，即2a2?a?1?0，解得a?,a??1.由于a0,故

a=-1.

2a

ab?(e???t)(e?

【篇三：2003考研数学三试题及解析】

>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

1??

?xcos,若x?0,

（1）设f(x)??其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2.x

若x?0,??0,

【分析】当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】当??1时，有

11???1

??xcos?x??2sin,若x?0,

f?(x)??xx

若x?0,?0,?

显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.

x?0

32

（2）已知曲线y?x?3ax?b与x轴相切，则b可以通过a表示为b?4a.

226

【分析】曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b与a的关系.

【详解】由题设，在切点处有

2

y??3x?3a?0，有x0?a2.

2

2

2

又在此点y坐标为0，于是有

3

0?x0?3a2x0?b?0,

222

故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.

【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满

足曲线方程.（3）设

a0，f(x)?g(x)??

?a,若0?x?1,

而d表示全平面，则

0,其他，?

i???f(x)g(y?x)dxdy=a2.

d

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】i?=a

??

d210

f(x)g(y?x)dxdy=

x?1

0?x?1,0?y?x?1

??a

2

dxdy

2

?dx?

x

dy?a

2

?[(x?1)?x]dx?a

1

.

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积

函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵

t

a?e???，b?e?

1

??t，a

其中a的逆矩阵为b，则a=-1.

t2t

【分析】这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过ab?e进行计算并

注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

1

??t)a11tttt

=e????????????

aa11tttt

=e????????(??)?

aa1ttt

=e???????2a??

a1t

=e?(?1?2a?)???e,

a

112

于是有?1?2a??0，即2a?a?1?0，解得a?,a??1.由于a0,故a=-1.

a2

ab?(e???)(e?

t

（5）设随机变量x和y的相关系数为0.9,若z?x?0.4，则y与z的相关系数为

.

【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为

y,z)?cov(y,x?0.4)?e[(y(x?0.4)]?e(y)e(x?0.4)cov(

=e(xy)?0.4e(y)?e(y)e(x)?0.4e(y)=e(xy)–e(x)e(y)=cov(x,y),且dz?dx.

于是有cov(y,z)=

cov(y,z)dydz

=

cov(x,y)dxdy

??xy?0.9.

【评注】注意以下运算公式：d(x?a)?dx，cov(x,y?a)?cov(x,y).（6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随机样

11n2

本，则当n??时，yn??xi依概率收敛于.

2ni?1

【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：x1,x2,?,xn，

p1n1n

?xi??exi(n??).

ni?1ni?1

22

【详解】这里x12,x2满足大数定律的条件，且,?,xn

111

exi2?dxi?(exi)2=?()2?，因此根据大数定律有

422

1n21n1

yn??xi依概率收敛于?exi2?.

ni?1ni?12

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x)

x

(a)在x=0处左极限不存在.(b)有跳跃间断点x=0.

(c)在x=0处右极限不存在.(d)有可去间断点x=0.[d]【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有limg(x)?lim

x?0

x?0

f(x)f(x)?f(0)

?lim?f?(0)存在，故x=0为可去间断点.x?0xx?0

【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时

g(x)=(a),(b),(c)三项，故应选(d).

【评注2】若f(x)在x?x0处连续，则lim

x?x0

x?1,x?0,

可排除??

x?0,x?0,

f(x)

?a?f(x0)?0,f?(x0)?a..

x?x0

本题事实上相当于考查此结论

（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(a)f(x0,y)在y?y0处的导数等于零.（b）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零.(c)f(x0,y)在y?y0处的导数小于零.(d)f(x0,y)在y?y0处的

导数不存在.[a]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知

fy?(x0,y0)?0，即f(x0,y)在y?y0处的导数等于零,故应选(a).

【评注1】本题考查了偏导数的定义，f(x0,y)在y?y0处的导数即fy?(x0,y0)；而

f(x,y0)在x?x0处的导数即fx?(x0,y0).

【评注2】本题也可用排除法分析，取f(x,y)?x2?y2，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有f(0,y)?y2，可排除(b),(c),(d),故正确选项为(a).

（3）设pn?

?

an?an

2

，qn?

?

an?an

2

?

n

，n?1,2,?，则下列命题正确的是

(a)若

?a

n?1?

n

条件收敛，则

?p

n?1?

与

?q

n?1?

n

都收敛.

(b)若

?a

n?1?

n

绝对收敛，则

?p

n?1?

n

与

?q

n?1?

n

都收敛.

(c)若

?a

n?1?

n

条件收敛，则

?p

n?1?

n

与

?q

n?1?

n

敛散性都不定.

(d)若

?a

n?1

n

绝对收敛，则

?p

n?1

n

与

?q

n?1

n

敛散性都不定.[b]

【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若

?a

n?1

?

n

绝对收敛，即

?a

n?1

?

n

收敛，当然也有级数

?a

n?1?

n

?

n

收敛，再根据

pn?

(b).

an?an

2

，qn?

an?an

2

及收敛级数的运算性质知，

?p

n?1

?

n

与

?q