自动控制原理(下)教学第13章-系统运动的稳定性分析课件

第13

章系统运动的稳定性分析自动控制原理AutomaticControlTheory机械工业出版社第13章系统运动的稳定性分析自动控制原理Autom1第13章系统运动的稳定性分析

13.1内部稳定性与外部稳定性

13.2李雅普诺夫稳定性

13.3李雅普诺夫第一法

13.4李雅普诺夫第二法

13.5线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

13.6非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第13章系统运动的稳定性分析13.1内部稳定性与外部稳2外部稳定性的概念对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入的作用下，所产生的输出也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO(Bounded-InputBounded-Output)稳定。对零初始状态

维输入和

维输出的连续时间线性时变系统，令初始时刻则系统BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限正常数使对一切，中所有元均满足关系式【定理13-1】13.1外部稳定性与内部稳定性外部稳定性的概念对零初始状态维输入和维输出的连续时间3证明：考虑但输入单输出情形充分性：令输入为有界函数，即满足，则由基于脉冲响应的输出关系式，可以得到

由定理13-1可知，系统BIBO稳定必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定，设存在某个

13.1外部稳定性与内部稳定性证明：考虑但输入单输出情形充分性：令输入为有界函数，4则可构造有界输入其对应的输出即输出为无界，与已知系统BIBO稳定的假设矛盾。假设不成立。

13.1外部稳定性与内部稳定性则可构造有界输入其对应的输出13.1外部稳定性与内部稳定性5【定理13-2】对零初始状态

维输入和

维输出的连续时间线性定常系统，令初始时刻则系统BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限正常数使对一切，中所有元均满足关系式等价地，系统BIBO稳定的充要条件是每一个元素的所有极点均具有负实部。13.1外部稳定性与内部稳定性【定理13-2】对零初始状态维输入和维输出的连续时间6

二.内部稳定性的概念如果由时刻任意非零初始状态引起的状态零输入响应

对所有为有界，且满足渐近属性，即

成立，则称连续时间线性时变系统在时刻是内部稳定的。13.1外部稳定性与内部稳定性【定理13-3】对n维连续时间线性时变自治系统系统在时刻

是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为,状态转移矩阵对所有为有界，且满足渐近属性，即下式成立二.内部稳定性的概念13.1外部稳定性与内部稳定性【定7【定理13-4】对

维连续时间线性时不变自治系统系统是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数满足渐近属性13.1外部稳定性与内部稳定性三.外部稳定性与内部稳定性的关系

系统的外部稳定性反映了输出的稳定性，内部稳定性则反映了系统内部状态的稳定性，对于这两者之间的内在关系，对工程应用具有实际意义。【定理13-4】对维连续时间线性时不变自治系统8【定理13-5】对于连续时间线性时不变系统若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定。13.1外部稳定性与内部稳定性证明：对连续时间线性时不变系统，由系统运动分析可知，脉冲响应矩阵的关系式为再知，如果系统为内部稳定，则【定理13-5】对于连续时间线性时不变系统若系统为内部稳定即9从而，系统的脉冲响应矩阵所有元均满足关系式则系统为BIBO稳定，证明完成。13.1外部稳定性与内部稳定性从而，系统的脉冲响应矩阵所有元13.1外部稳定性与10一.李雅普诺夫稳定性的意义李亚普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。13.2李雅普诺夫稳定性一.李雅普诺夫稳定性的意义李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响11二．平衡状态

李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.平衡状态的求法由定义可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对于线性定常系统，其平衡状态为xe应满足代数方程。只有坐标原点处是系统的平衡状态点

13.2李雅普诺夫稳定性二．平衡状态2.平衡状态的求法只有坐标原点处是系统的平衡12对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方程而定。如：该系统存在三个平衡状态：13.2李雅普诺夫稳定性对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方13三．范数的概念范数的定义

维状态空间中，向量

的长度称为向量

的范数，用表示，则：向量的距离长度称为向量

与

的距离，写为：13.2李雅普诺夫稳定性三．范数的概念向量的距离13.2李雅普诺夫稳定性14则称该平衡状态是稳定的，其中是与有关的实数；如果与无关，则称平衡状态是一致稳定的。

定义：对于系统，如果对于任意小的，都存在另一个实数，使当初始状态满足从任意初态出发的解满足

四．李雅普诺夫稳定性定义1．李雅普诺夫意义下的稳定性13.2李雅普诺夫稳定性则称该平衡状态是稳定的，其中是与有关的15几何意义设系统初始状态位于平衡状态为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以为球心，半径为的闭球域内。李雅普诺夫意义下的稳定性是指从也出发的轨线，在的任何时刻都不会离开球域。

表示状态空间中点至点之间的距离，其表达式为13.2李雅普诺夫稳定性几何意义设系统初始状态位于平衡状态为球心、半径为16

2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：如果系统的平衡状态不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量μ>0，总有则称平衡状态

是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。

这时，从出发的轨迹不仅不会超出，且当t→∞时收敛于，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。13.2李雅普诺夫稳定性

2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：这时，从17定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐进稳定性，称这种平衡状态

是大范围渐近稳定的。此时，，。当时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于。3.大范围渐进稳定性

对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。13.2李雅普诺夫稳定性定义：3.大范围渐进稳定性对于严格的线性系统，如果它18定义：如果对于某个实数和任一实数，不管

这个实数多么小，在

内总存在一个状态，使得由这一状态出发的轨迹超出，则称平衡状态是不稳定的。4．不稳定性几何意义：

13.2李雅普诺夫稳定性定义：4．不稳定性几何意义：13.2李雅普诺夫稳定性19

对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。13.2李雅普诺夫稳定性对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了，但并20

从上述三种稳定性定义可见，球域限制着初始状态x0的取值，球域规定了系统自由运动响应的边界。简单地说，1.如果有界，则称稳定；

2.如果不仅有界，而且当时收敛于原点，则称渐进稳定；

3.如果无界，则称不稳定；13.2李雅普诺夫稳定性从上述三种稳定性定义可见，球域限制着初始状态21一．线性定常系统稳定性判定基本思路：线性系统通过判断状态方程的解来判断稳定性；非线性和时变系统要通过平衡点附近的线性化处理，再根据A阵判断系统的稳定性。13.3李雅普诺夫第一法一．线性定常系统稳定性判定基本思路：13.3李雅普诺夫第一22【定理13-7】

（1）平衡状态是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是矩阵A的所些特征值具有非正实部（负或零），且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为的极点具有负实部。13.3李雅普诺夫第一法【定理13-7】13.3李雅普诺夫第一法23[例]

设系统的状态空间表达式为：

试分析系统平衡状态的稳定性与系统的BIBO稳定性。解：系统的特征方程为A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态是不稳定的。系统传递函数传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。13.3李雅普诺夫第一法[例]设系统的状态空间表达式为：试分析系统平衡状24BIBO稳定渐近稳定结论：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的；线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。13.3李雅普诺夫第一法BIBO稳定渐近稳定结论：13.3李雅普诺夫第一法25二．非线性系统的稳定性判定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，从而来研究系统的稳定性。

对于非线性系统，设

为其平衡点。13.3李雅普诺夫第一法二．非线性系统的稳定性判定对于非线性系统26李雅普诺夫给出以下结论：【定理13-8】A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态是渐进稳定的。A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态

是不稳定的。A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态的稳定性,系统处于临界状态。13.3李雅普诺夫第一法李雅普诺夫给出以下结论：【定理13-8】13.3李雅普诺夫27[例13-1]

已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。解：系统有2个平衡状态：=[0,0]和=[1,1]在=[0,0]处线性化，A1阵的特征值为+1，-1。故系统在处是不稳定的。在=[1,1]处线性化，

A2阵的特征值为+j，-j,其实部为0,不能根据A来判断稳定性。13.3李雅普诺夫第一法[例13-1]已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平28李雅普诺夫第二法它是通过构造李雅普诺夫函数来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。

13.4李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与及

有关，记为

或

。

是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第二法利用

和的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。李雅普诺夫第二法13.4李雅普诺夫第二法李雅普诺29一．预备知识1．二次型函数的定义及其表达式①定义：设为

个变量，定义二次型标量函数为：其中，，则称P为实对称阵。13.4李雅普诺夫第二法一．预备知识其中，，则称P为实对称阵。13.430例如：

显然，二次型完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。②二次型的标准型只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：13.4李雅普诺夫第二法例如：显然，二次型完全由矩阵P确定。因此二次312.标量函数V(x)的符号和性质设:,且在处，。对于的任何向量。①，称为正定的。例如：②，称为负定的。例如：③，称为半正定的。例如：④，称为半负定的。例如：13.4李雅普诺夫第二法2.标量函数V(x)的符号和性质13.4李雅普诺夫第二法32设实对称矩阵

P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔维斯特(Sylvester)准则(二次型标量函数定号性判别准则),212222111211222112112111=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL13.4李雅普诺夫第二法设实对称矩阵P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔33矩阵P(或V(x))定号性的充要条件为：（1）（2）（3）（4）13.4李雅普诺夫第二法矩阵P(或V(x))定号性的充要条件为：13.4李雅普诺夫34二．李雅普诺夫第二法的判稳主要定理①系统渐进稳定的判别定理一【定理13-9】设系统状态方程为:,其状态,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数且满足以下条件1.是正定的；2.是负定的；

系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。1，2，3系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。3.当有13.4李雅普诺夫第二法二．李雅普诺夫第二法的判稳主要定理①系统渐进稳定的判别定理35[例13-3]已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。

解：显然，坐标原点（即,)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为则沿任意轨迹，对时间的导数

是负定的。说明沿任意轨迹是连续减小的，因此是一个李雅普诺夫函数。

而且，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的13.4李雅普诺夫第二法[例13-3]已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡36②系统渐进稳定的判别定理二

【定理13-10】设系统状态方程为:,其状态平衡点,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数且满足以下条件1.

是正定的；2.是半负定的；13.4李雅普诺夫第二法②系统渐进稳定的判别定理二1.是正定的；13.37定理的运动分析：以二维空间为例13.4李雅普诺夫第二法定理的运动分析：以二维空间为例13.4李雅普诺夫第二法38[例]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点（即，)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为①

②当13.4李雅普诺夫第二法[例]已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原点39③进一步分析的定号性：如果假设,必然要求，进一步要求。但从状态方程可知，必满足表明只可能在原点（，）处恒等于零。因此可得渐进稳定的结论。而且，当,所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。13.4李雅普诺夫第二法③进一步分析的定号性：如果假设40若在该例中①选取正定标量函数为负定②

而且，当，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的

由以上分析看出，选取不同的，可能使问题分析采用不同的判别定理。13.4李雅普诺夫第二法若在该例中①选取正定标量函数为负定②而且，当41③系统不稳定的判别定理【定理13-11】

设系统状态方程为:,其状态平衡点,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数,且满足以下条件1.在原点附近的某一领域内是正定的；2.在同样地领域内也是正定的；则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。显然，当正定时，表示系统的能量在不断增大，故系统的状态必将发散，远离原点。所以，系统是不稳定的13.4李雅普诺夫第二法③系统不稳定的判别定理【定理13-11】1.42[例13-5]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点（即,)是系统惟一的平衡状

态。选取正定标量函数为①②

系统不稳定13.4李雅普诺夫第二法[例13-5]已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原43一．线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。【定理13-12】设线性定常连续系统为：，则平衡状态为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定实对称矩阵Q，必存在一个惟一正定的实对称矩阵P，且满足李雅普诺夫方程并且是系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。13.5线性系统稳定性分析一．线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。并且44证明：充分性：

由于为正定阵，则负定，负定，故是大范围渐近稳定的平衡状态。必要性：构造矩阵P为：由于系统是渐近稳定的，则矩阵A的所有特征值的实部一定小于零，因此上述积分一定存在，即P为有限对称矩阵。13.5线性系统稳定性分析证明：充分性：13.5线性系统稳定性分析4513.5线性系统稳定性分析由于Q正定，矩阵指数函数可逆，则由上式可知，P为有限正定矩阵。因此，P为正定矩阵。将矩阵P的表达式代入矩阵方程

可得13.5线性系统稳定性分析由于Q正定，矩阵指数函数46定理说明：

1.定理所阐述的条件与系统矩阵所有特征值均具有负实部的条件等价，因此，定理给出的条件是充分必要条件。2.为计算简便，在选取正定实对称矩阵Q时选单位阵I，于是方程简化为：3.有时为了简化求解实对称矩阵的运算，矩阵Q也可取为半正定的。13.5线性系统稳定性分析定理说明：

1.定理所阐述的条件与系统矩阵所有特征值均具有负47[例13-6]设线性定常系统为：试用李雅普诺夫方程判别该系统的稳定性解：为了便于对比，先用特征值判据判断。系统是不稳定的令13.5线性系统稳定性分析[例13-6]设线性定常系统为：解：为了便于对比，先用特征48解得系统非渐近稳定13.5线性系统稳定性分析解得系统非渐近稳定13.5线性系统稳定性分析49[例13-8]试用李雅普诺夫方程确定如图所示系统渐近稳定的k值范围解：由图示状态变量列写状态方程稳定性与输入无关，可令U=0,A为非奇异矩阵，原点为唯一平衡点。13.5线性系统稳定性分析[例13-8]试用李雅普诺夫方程确定如图所示系统渐近稳定的50取Q为正半定矩阵则为负半定令，有，考虑状态方程中，解得考虑到，解得，表明唯有原点存在令13.5线性系统稳定性分析取Q为正半定矩阵则51解得使P矩阵正定的条件为：及。故时，系统渐近稳定。由于是线性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。13.5线性系统稳定性分析解得使P矩阵正定的条件为：及。52以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：状态反馈控制规律为

状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。经过状态反馈后，系统的传递函数为：闭环特征多项式:13.5线性系统稳定性分析以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：状态反馈控制规53对非线性系统的稳定性分析问题，目前切实可行的途径为：针对各类非线性系统的特性，分门别类地构造适宜的李雅普诺夫函数。如通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法、针对特殊函数的变量梯度构造李雅普诺夫函数的变量梯度法等。一．克拉索夫斯基法针对非线性系统，克拉索夫斯基仿照线性系统用构成李雅普诺夫函数的形式，提出了以状态变量的导数来写李雅普诺夫函数。13.6非线性系统稳定性分析对非线性系统的稳定性分析问题，目前切实可行的途径为：针对各类54【定理13-16】

设非线性定常系统状态方程假设原点是平衡状态，即，且对是连续可微，系统的雅可比矩阵为

则该系统在平衡状态原点是渐近稳定的充分条件是，下列矩阵

为负定的矩阵函数13.6非线性系统稳定性分析【定理13-16】为负定的矩阵函数13.6非线性系统稳定性55且为该系统的一个李雅普诺夫函数。当时，有，则平衡状态是大范围渐近稳定的。注意：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件，不是必要条件。若正定，为李雅普诺夫函数，则说明只有当x=0时，才有V(x)

=0，即原点是惟一的平衡状态。13.6非线性系统稳定性分析且为该系统的一个李雅普56二．变量梯度法具体方法参考课本P224步骤（1）按式(6.50)设定式中的待定系数；（2）由梯度向量构造导函数，并由来确定部分待定系数或待定系数间应当满足的关系；（3）由限制条件式(6.51)来确定部分待定系数或待定系数间应当满足的关系；（4）按式(6.53)进行积分求出李雅普诺夫函数，并由来确定其余待定系数；（5）校核是否满足当

时，有的条件或确定使为正定的渐近稳定范围。13.6非线性系统稳定性分析二．变量梯度法步骤（1）按式(6.50)设定式中的待定57第13

章系统运动的稳定性分析自动控制原理AutomaticControlTheory机械工业出版社第13章系统运动的稳定性分析自动控制原理Autom58第13章系统运动的稳定性分析

13.1内部稳定性与外部稳定性

13.2李雅普诺夫稳定性

13.3李雅普诺夫第一法

13.4李雅普诺夫第二法

13.5线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

13.6非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第13章系统运动的稳定性分析13.1内部稳定性与外部稳59外部稳定性的概念对于一个初始条件为零的系统，如果在有界输入的作用下，所产生的输出也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO(Bounded-InputBounded-Output)稳定。对零初始状态

维输入和

维输出的连续时间线性时变系统，令初始时刻则系统BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限正常数使对一切，中所有元均满足关系式【定理13-1】13.1外部稳定性与内部稳定性外部稳定性的概念对零初始状态维输入和维输出的连续时间60证明：考虑但输入单输出情形充分性：令输入为有界函数，即满足，则由基于脉冲响应的输出关系式，可以得到

由定理13-1可知，系统BIBO稳定必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定，设存在某个

13.1外部稳定性与内部稳定性证明：考虑但输入单输出情形充分性：令输入为有界函数，61则可构造有界输入其对应的输出即输出为无界，与已知系统BIBO稳定的假设矛盾。假设不成立。

13.1外部稳定性与内部稳定性则可构造有界输入其对应的输出13.1外部稳定性与内部稳定性62【定理13-2】对零初始状态

维输入和

维输出的连续时间线性定常系统，令初始时刻则系统BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限正常数使对一切，中所有元均满足关系式等价地，系统BIBO稳定的充要条件是每一个元素的所有极点均具有负实部。13.1外部稳定性与内部稳定性【定理13-2】对零初始状态维输入和维输出的连续时间63

二.内部稳定性的概念如果由时刻任意非零初始状态引起的状态零输入响应

对所有为有界，且满足渐近属性，即

成立，则称连续时间线性时变系统在时刻是内部稳定的。13.1外部稳定性与内部稳定性【定理13-3】对n维连续时间线性时变自治系统系统在时刻

是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为,状态转移矩阵对所有为有界，且满足渐近属性，即下式成立二.内部稳定性的概念13.1外部稳定性与内部稳定性【定64【定理13-4】对

维连续时间线性时不变自治系统系统是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数满足渐近属性13.1外部稳定性与内部稳定性三.外部稳定性与内部稳定性的关系

系统的外部稳定性反映了输出的稳定性，内部稳定性则反映了系统内部状态的稳定性，对于这两者之间的内在关系，对工程应用具有实际意义。【定理13-4】对维连续时间线性时不变自治系统65【定理13-5】对于连续时间线性时不变系统若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定。13.1外部稳定性与内部稳定性证明：对连续时间线性时不变系统，由系统运动分析可知，脉冲响应矩阵的关系式为再知，如果系统为内部稳定，则【定理13-5】对于连续时间线性时不变系统若系统为内部稳定即66从而，系统的脉冲响应矩阵所有元均满足关系式则系统为BIBO稳定，证明完成。13.1外部稳定性与内部稳定性从而，系统的脉冲响应矩阵所有元13.1外部稳定性与67一.李雅普诺夫稳定性的意义李亚普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。13.2李雅普诺夫稳定性一.李雅普诺夫稳定性的意义李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响68二．平衡状态

李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.平衡状态的求法由定义可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对于线性定常系统，其平衡状态为xe应满足代数方程。只有坐标原点处是系统的平衡状态点

13.2李雅普诺夫稳定性二．平衡状态2.平衡状态的求法只有坐标原点处是系统的平衡69对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方程而定。如：该系统存在三个平衡状态：13.2李雅普诺夫稳定性对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方70三．范数的概念范数的定义

维状态空间中，向量

的长度称为向量

的范数，用表示，则：向量的距离长度称为向量

与

的距离，写为：13.2李雅普诺夫稳定性三．范数的概念向量的距离13.2李雅普诺夫稳定性71则称该平衡状态是稳定的，其中是与有关的实数；如果与无关，则称平衡状态是一致稳定的。

定义：对于系统，如果对于任意小的，都存在另一个实数，使当初始状态满足从任意初态出发的解满足

四．李雅普诺夫稳定性定义1．李雅普诺夫意义下的稳定性13.2李雅普诺夫稳定性则称该平衡状态是稳定的，其中是与有关的72几何意义设系统初始状态位于平衡状态为球心、半径为的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以为球心，半径为的闭球域内。李雅普诺夫意义下的稳定性是指从也出发的轨线，在的任何时刻都不会离开球域。

表示状态空间中点至点之间的距离，其表达式为13.2李雅普诺夫稳定性几何意义设系统初始状态位于平衡状态为球心、半径为73

2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：如果系统的平衡状态不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量μ>0，总有则称平衡状态

是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。

这时，从出发的轨迹不仅不会超出，且当t→∞时收敛于，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。13.2李雅普诺夫稳定性

2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：这时，从74定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐进稳定性，称这种平衡状态

是大范围渐近稳定的。此时，，。当时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于。3.大范围渐进稳定性

对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。13.2李雅普诺夫稳定性定义：3.大范围渐进稳定性对于严格的线性系统，如果它75定义：如果对于某个实数和任一实数，不管

这个实数多么小，在

内总存在一个状态，使得由这一状态出发的轨迹超出，则称平衡状态是不稳定的。4．不稳定性几何意义：

13.2李雅普诺夫稳定性定义：4．不稳定性几何意义：13.2李雅普诺夫稳定性76

对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。13.2李雅普诺夫稳定性对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了，但并77

从上述三种稳定性定义可见，球域限制着初始状态x0的取值，球域规定了系统自由运动响应的边界。简单地说，1.如果有界，则称稳定；

2.如果不仅有界，而且当时收敛于原点，则称渐进稳定；

3.如果无界，则称不稳定；13.2李雅普诺夫稳定性从上述三种稳定性定义可见，球域限制着初始状态78一．线性定常系统稳定性判定基本思路：线性系统通过判断状态方程的解来判断稳定性；非线性和时变系统要通过平衡点附近的线性化处理，再根据A阵判断系统的稳定性。13.3李雅普诺夫第一法一．线性定常系统稳定性判定基本思路：13.3李雅普诺夫第一79【定理13-7】

（1）平衡状态是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是矩阵A的所些特征值具有非正实部（负或零），且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为的极点具有负实部。13.3李雅普诺夫第一法【定理13-7】13.3李雅普诺夫第一法80[例]

设系统的状态空间表达式为：

试分析系统平衡状态的稳定性与系统的BIBO稳定性。解：系统的特征方程为A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态是不稳定的。系统传递函数传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。13.3李雅普诺夫第一法[例]设系统的状态空间表达式为：试分析系统平衡状81BIBO稳定渐近稳定结论：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的；线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。13.3李雅普诺夫第一法BIBO稳定渐近稳定结论：13.3李雅普诺夫第一法82二．非线性系统的稳定性判定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，从而来研究系统的稳定性。

对于非线性系统，设

为其平衡点。13.3李雅普诺夫第一法二．非线性系统的稳定性判定对于非线性系统83李雅普诺夫给出以下结论：【定理13-8】A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态是渐进稳定的。A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态

是不稳定的。A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态的稳定性,系统处于临界状态。13.3李雅普诺夫第一法李雅普诺夫给出以下结论：【定理13-8】13.3李雅普诺夫84[例13-1]

已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。解：系统有2个平衡状态：=[0,0]和=[1,1]在=[0,0]处线性化，A1阵的特征值为+1，-1。故系统在处是不稳定的。在=[1,1]处线性化，

A2阵的特征值为+j，-j,其实部为0,不能根据A来判断稳定性。13.3李雅普诺夫第一法[例13-1]已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平85李雅普诺夫第二法它是通过构造李雅普诺夫函数来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。

13.4李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与及

有关，记为

或

。

是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第二法利用

和的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。李雅普诺夫第二法13.4李雅普诺夫第二法李雅普诺86一．预备知识1．二次型函数的定义及其表达式①定义：设为

个变量，定义二次型标量函数为：其中，，则称P为实对称阵。13.4李雅普诺夫第二法一．预备知识其中，，则称P为实对称阵。13.487例如：

显然，二次型完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。②二次型的标准型只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：13.4李雅普诺夫第二法例如：显然，二次型完全由矩阵P确定。因此二次882.标量函数V(x)的符号和性质设:,且在处，。对于的任何向量。①，称为正定的。例如：②，称为负定的。例如：③，称为半正定的。例如：④，称为半负定的。例如：13.4李雅普诺夫第二法2.标量函数V(x)的符号和性质13.4李雅普诺夫第二法89设实对称矩阵

P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔维斯特(Sylvester)准则(二次型标量函数定号性判别准则),212222111211222112112111=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL13.4李雅普诺夫第二法设实对称矩阵P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔90矩阵P(或V(x))定号性的充要条件为：（1）（2）（3）（4）13.4李雅普诺夫第二法矩阵P(或V(x))定号性的充要条件为：13.4李雅普诺夫91二．李雅普诺夫第二法的判稳主要定理①系统渐进稳定的判别定理一【定理13-9】设系统状态方程为:,其状态,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数且满足以下条件1.是正定的；2.是负定的；

系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。1，2，3系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。3.当有13.4李雅普诺夫第二法二．李雅普诺夫第二法的判稳主要定理①系统渐进稳定的判别定理92[例13-3]已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性。

解：显然，坐标原点（即,)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为则沿任意轨迹，对时间的导数

是负定的。说明沿任意轨迹是连续减小的，因此是一个李雅普诺夫函数。

而且，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的13.4李雅普诺夫第二法[例13-3]已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡93②系统渐进稳定的判别定理二

【定理13-10】设系统状态方程为:,其状态平衡点,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数且满足以下条件1.

是正定的；2.是半负定的；13.4李雅普诺夫第二法②系统渐进稳定的判别定理二1.是正定的；13.94定理的运动分析：以二维空间为例13.4李雅普诺夫第二法定理的运动分析：以二维空间为例13.4李雅普诺夫第二法95[例]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点（即，)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为①

②当13.4李雅普诺夫第二法[例]已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原点96③进一步分析的定号性：如果假设,必然要求，进一步要求。但从状态方程可知，必满足表明只可能在原点（，）处恒等于零。因此可得渐进稳定的结论。而且，当,所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。13.4李雅普诺夫第二法③进一步分析的定号性：如果假设97若在该例中①选取正定标量函数为负定②

而且，当，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的

由以上分析看出，选取不同的，可能使问题分析采用不同的判别定理。13.4李雅普诺夫第二法若在该例中①选取正定标量函数为负定②而且，当98③系统不稳定的判别定理【定理13-11】

设系统状态方程为:,其状态平衡点,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数,且满足以下条件1.在原点附近的某一领域内是正定的；2.在同样地领域内也是正定的；则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。显然，当正定时，表示系统的能量在不断增大，故系统的状态必将发散，远离原点。所以，系统是不稳定的13.4李雅普诺夫第二法③系统不稳定的判别定理【定理13-11】1.99[例13-5]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点（即,)是系统惟一的平衡状

态。选取正定标量函数为①②

系统不稳定13.4李雅普诺夫第二法[例13-5]已知非线性系统的状态方程为:解：显然，坐标原100一．线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。【定理13-12】设线性定常连续系统为：，则平衡状态为大范围渐进稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定实对称矩阵Q，必存在一个惟一正定的实对称矩阵P，且满足李雅普诺夫方程并且是系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。13.5线性系统稳定性分析一．线性定常系统渐进稳定的判别及V(x)的求法。并且101证明：充分性：

由于为正定阵，则负定，负定，故是大范围渐近稳定的平衡状态。必要性：构造矩阵P为：由于系统是渐近稳定的，则矩阵A的所有特征