曲线运动一轮复习

⑵欲使物快与盘不发生相对滑动，做圆周运动的向心力不大于最大静摩擦力所以：解得点评：物体仅在摩擦力作用下做圆周运动，如果是匀速圆周运动摩擦力完全提供向心力与速度垂直，指向圆心；若是加速转动，摩擦力不再指向圆心，摩擦力垂直速度的分力提供向心力，沿速度方向的分力使物体加速。如果做圆周运动的向心力大于最大静摩擦力时就会滑动，做离心运动。【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）ωωAO★解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．对于B，T=mg对于A，角速度取最大值时：解得：rad/s角速度取最小值时：解得：rad/s所以2.9rad/srad/s【例题】如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？AABO★解析：A、B小球受力如图所示，在竖直方向上A与B处于平衡状态．在水平方向上根据匀速圆周运动规律：TA-TB=mω2OA，TB=mω2OB，OB=2OATTATBmgONAmgNBTB解之得：TA∶TB=3∶2[点评]本题是连接体问题，求解时必须一个一个地研究，对每一个物体列方程，用两个物体物理量间的联系再列方程，联立方程求解．【例题】如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g=10m/sωωAB300450C（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？（2）当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？★解析：（1）当B绳恰好拉直，但TB=0时，细杆的转动角速度为ω1，有：TAcos30°=mg解得：ω1=2．4rad/s当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为ω2，有：解得：ω2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧2.4rad/s≤ω≤3.15rad/s（2）当ω=3rad/s时，两绳都紧．TA=0.27N，TB=1.09N[点评]分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法．类型题：竖直面上圆周运动1、竖直平面内：（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：FG绳FG绳FG①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即（是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。②能过最高点的条件：。此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力③不能过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。（2）图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：GFGF①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度。②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<时，杆对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。当时，N=0；当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。当0<v<时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。当v=时，N=0。当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v临界=。当v=时，小球将脱离轨道做平抛运动注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的【例题】一小球用轻绳悬挂于某固定点。现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球。考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程（AC）（A）小球在水平方向的速度逐渐增大（B）小球在竖直方向的速度逐渐增大（C）到达最低位置时小球线速度最大（D）到达最低位置时绳中的拉力等于小球的重力【例题】如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（AB）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力【例题】如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg．求A、B两球落地点间的距离．CCOBA★解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．对A球：3mg+mg=mvA=对B球：mg－0.75mg=mvB=sA=vAt=vA=4RsB=vBt=vB=R（2分）∴sA－sB=3R[点评]竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题．本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型．【例题】小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。试求d的取值范围。DDdLOmBCA★解析：为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：根据机械能守恒定律可得由以上两式可求得：答案：【例题】[06全国卷II.23]如图所示，一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切。在C放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度g=10m/s★解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有①2R＝gt2②s＝vt③由①②③式并代入数据得s＝1m【例题】AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求⑴小球运动到B点时的动能；⑵小球下滑到距水平轨道的高度为R/2时速度的大小和方向；⑶小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？★解析：⑴EK=mgR⑵v=沿圆弧切线向下，与竖直成30º⑶NB=3mgNC=mg【例题】如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在CAABCv0R【答案】1【例题】游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型。弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开。试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）。★解析：由机械能守恒定律得；mgh＝mg2R＋①在圆轨道最高处：mg＝m②v＝v0③h＝R④【例题】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：(1)小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离s是多少?HHAoRBCs★解析：(1)小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有：mgR＝小球在B点时，根据向心力公式有； (2)小球由B→C过程，水平方向有：s=vB·t竖直方向有：解得【例题】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．BBA★解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题．A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下．若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的．由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程根据牛顿运动定律对于A球，对于B球，又N1=N2解得【例题】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）。已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？VV0R★解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：要使列车能通过圆形轨道，则必有V>0，解得【例题】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。hhR★解析：2.5R≤h≤5R【例题】（重庆市2008届直属重点中学第2次联考）如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光华圆环内侧运动，阻力不计，求⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力★解析：⑴小球在下滑的过程中机械能守恒，设地面为零势能面，小球下落的高度为h，小球能到达环顶端市的速度最小为v2。小球到达环顶端而不离开的临界条件为重力恰好全部提供向心力即小球在开始的机械能为E1=mgh小球在环顶端的机械能为根据机械能守恒E1=E2整理得：h=2.5R，即小球至少从离底端2.5R出滑下才能到达环顶而不离开圆环。⑵当环从h=2.5R处下滑到底部速度为vB，由机械能守恒得即小球在底端受到重力mg和支持力N，小球作圆周运动所需要的向心力由支持力和重力提供，即整理得：N=6mg圆环对小球的支持力与小球对圆环的压力是作用力反作用力，所以小球作用于圆环的压力为6mg类型题：圆周运动中的多解问题由于圆周运动的周期性，往往会导致一个问题的多解【例题】如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为θ，一质点（质量不计）在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径为R．则，圆筒转动的角速度为____________。★解析：由于圆周运动的周期性，圆筒转过的角度可能为（n＝１，2，3，…）。答案：（n＝１，2，3，…）【例题】如图为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘