《机械设计基础》CHAP9齿轮

第9章齿轮传动基本要求：1、了解齿轮机构的特点，理解齿廓啮合基本定理，熟悉渐开线性质，了解共轭齿廓概念2、理解基本参数的概念、掌握齿轮基本尺寸计算，理解齿轮的正确啮合条件、重合度的意义3、了解齿轮加工的原理、根切原因4、掌握斜齿轮传动特点及尺寸计算5、掌握直齿圆柱齿轮传动的失效形式与常用材料、受力分析及强度计算6、熟悉齿轮的结构设计重点：1、齿廓啮合基本定理，渐开线性质，共轭齿廓2、周节、分度圆、模数，啮合过程，正确啮合条件，可分性，重合度的意义3、展成原理，根切原因，变位齿轮的尺寸变化，无侧隙啮合方程4、斜齿轮的端面、法面参数的关系，当量齿数，正确啮合条件，重合度5、失效形式、直齿圆柱齿轮传动受力分析及强度计算难点：学时：课堂教学：12学时；教学方法：课堂讲授，多媒体动画、图解、课件演示、实物演示、模型演示、课堂练习作业：教学内容：齿轮机构用于传递任意两轴之间的运动和动力，它是现代机械中最重要的传动机构之一，也是历史上应用最早的传动机构之一，公元前152年我国就有关于齿轮的记载，那时的齿轮都是木质，制作比较简便，类似于现在计轮在西汉时，我国发明的指南车，记里鼓车中都有着复杂齿轮传动系统，说明西汉时中国齿轮的应用水平已相当高了。齿轮机构的应用范围很广，它传递的功率从百分之几千瓦到10万千瓦，它的直径从若干毫米到25.6M，它的圆周速度从很低到300M/S。这一章是重点，也是难点与机械零件中的齿轮传动联系性很强，希望引起思想上的重视。§9-1齿轮机构的特点和类型一、特点

1.优点：

1)传动比稳定i瞬=常数

2)传动效率高h高达99%。

3)适用范围广：①功率高达10万千瓦；

②直径到25.6M；

③圆周速度300M/§9-2齿廓啮合基本定律一、研究齿廓啮合基本定律目的

研究齿廓形状符合什么条件才能满足i瞬=常数，这一要求是齿轮传动的基本要求之一，否则，当主动轮以等角速度回转时，从动轮的角速度为变量，从而产生惯性力，这种惯性力不仅影响齿轮寿命，而且还引起机器的振动和噪音，影响工作精度。

二、齿廓啮合基本定律

讨论对象：任意一对齿廓曲线，主动轮以转动，从动轮以w2转动。

图中表示了两啮合齿轮的齿廓E1和E2在K点接触。两轮的角速度分别为w1和w2，过K点作两齿廓的公法线nn与连心线O1O2交于c点。

同时：VK1⊥O1K，V2⊥O2K

VK1=O1KZw1

VK2=O2KZw2

那么VK1与VK2之间有什么关系呢？

假设：它们是刚体，二齿廓保持连续接触，VK2是因为有了VK1而产生的。

产生的条件：在一个齿廓推动另一个齿廓的过程中，要始终接触，这就是说：

1)若VK1＜VK2，则齿轮将脱离接触，而不能连续接触；

2)若VK1＞VK2，则齿轮要嵌在一块，接触表面破坏；

3)若VK1=VK2，能否达到？

答案是：不可能。

因为速度是矢量即有方向、又有大小，现在二速度方向不一致，但这又矛盾了，又要接触，VK1≠VK2，怎么办？

如何保持“始终接触”这一条件？

我们沿齿廓啮合点作公切线t—t与公法线n—n

将VK1、VK2沿切线方向分解为：和；VK1、VK2沿切线方向分解为：和；

由速度投影定理可知，同一平面图形上任意两点的速度在该二点连线上的投影彼此相等。

也就是说：“始终接触”这一条可以用数学表达式表示=；

即只要保证=那么“接触便保持”，而≠，则发生二齿面相对滑动，但它与“接触”没有关系。在图示位置，又要接触，又要不打滑是办不到的，我们也没这样来要求。故VK1、VK2应满足条件。VK1ZcosaK1=VK2ZcosaK2

——(a)=VK1=w1Z

VK2=w2Z

——(b)

——(c)过O1、O2分别作N1、N2的垂线O1N1和O2N2

得∠KO1N1=aK1-，∠KO2N2=aK2-

(c)式可写成

——(d)又因为ΔCO1N1∽ΔCO2N2

则(d)式可写成

(4-1)从此式我们可知：

欲保持传动比为一个定值

则比值应为定值

现在二轮轴心连续为定长

欲满足

c点应成为连心线上的定点。因此为使齿轮保持恒定的传动比，二轮齿廓的形状必须符合下列条件：

二轮齿廓无论在什么位置接触，过接触点所作齿廓的公法线均须与二轮的连心线交于一定点——这就是齿廓啮合基本定律。

三、共轭齿廓

定义：凡满足齿廓啮合基本定律而互相啮合的一对齿廓称为共轭齿廓。

我们趣的是，能保持传动比等于常数的共轭齿廓，实际上，能满足传动比为一常数的共轭齿廓是无穷多的。在生产中，齿廓曲线的选择除要求满足齿廓啮合的基本定律之外，还必须考虑制造简便、安装容易、强度好等中方面的要求。目前在机械中采用的齿廓曲线有渐开线，摆线和圆弧等。其中以渐开线齿廓应用最多，故本章只讨论渐开线齿数。

四、节点与节圆

1.定点c称为节点——一对齿轮啮合时才存在；

2.节圆——节点c在轮1的运动平面(与轮1相固连的平面)上的轨迹是以O1为圆心，O1c为半径的圆。同理，c点在轮2运动平面上的轨迹是一以O2为圆心，以O2C为半径的圆，这二个圆分别称为轮1与轮2的带圆。节圆半径r1C，r2C表示，节圆直径d1C，d2C表示。

3.注意几个问题

1)从式(4-1)中可知：

w1ZO1c=w2ZO2c表示一对带圆的圆周速度相等，说明一对齿轮传动时，它的一对节圆作纯滚动。

2)一对外啮合的齿轮中心距等于两节圆半径之和

如果二轮的中心O1-、§9-3渐开线齿廓一、渐开线的形成及其性质

(一)渐开线的形成：在几何里曾叙述过，一直线L与半径为rb的圆相切，当直线沿该圆周作纯滚动时，直线上任一点(k点)的运动轨迹即为该圆的渐开线。

1.基圆：半径为rb的圆称为基圆；

2.发生线，KB——沿基圆作纯滚动的线；

什么是速度瞬心？

一个刚体相对于另一个刚体作平面运动时，其相对运动可看作是绕某一重合点的转动，该重合点称为瞬时回转中心简称瞬心。

(二)渐开线特点

1.当发生线从位置I滚到位置II时，因它与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以；

2.在任一瞬时，可以看作K点绕B点旋转，而B点在基圆上不断移动，当位置II时基圆上为B点，当位置Ⅲ时，基圆上为BC点，所以B，BC点均为直线II、Ⅲ位置时的瞬时回转中心。

(1)因此，渐开线上K点的切线方向t-t，就是发生线上相应K点绕瞬心B回转时速度VK的方向。

(2)又因为曲线上K点的法线必定与该点切线垂直，因而发生线本身就是渐开线上K点法线。这条法线分别与基圆相切，切点为B，因此它也是基圆的切线，同时，KB也是该瞬时渐开线的曲率半径。

发生线——法线——该瞬时渐开线曲率半径——基圆切线

讨论几个问题：

(1)基圆确定，渐开线的形状是否确定？

(2)基圆直径变化时，渐开线是否一样？

(3)基圆无穷大时，渐开线形状如何？

(4)基圆曲率渐开曲率半径与基圆有什么？

(5)基圆以内有否渐开线？

①基圆确定，渐开线形状确定；

②渐开线形状随基圆半径的大小而不同，基圆半径愈小，渐开线愈弯曲；基圆半径愈大，渐开线愈平直；

③当基圆半径无穷大时，渐开线便成为直线，齿条总廓曲线就是变成直线的渐开线；

④从图上可见，发生线与基圆的切点B，即为渐开线上K点的曲率中心，线段为K点的曲率半径，随着K点离基圆愈近，相应的曲率半径愈小；

⑤渐开线是从基圆开始向外逐渐展开的，故基圆以内无渐开线，今后，我们在学习中要经常用到。

引进一个重要概念：压力角

定义：齿廓上K点的法向压力Fn与该点速度VK之间的夹角aK，即为齿廓上K点的压力角。

由图可见：

压力角愈小，则法向压力沿接触点速度方向的分力就愈大，而沿径向(方向的分力就愈小)，所以压力角的大不直接影响齿轮传动时轮子齿的受力情况，如图，齿廓上K点的压力角a也等于∠KOB。

上式说明，渐开线齿廓上各点的压力角aK不相等。它随着rk增大而增大，在基圆上压力角aK=0B。

aK=0B

三、渐开线齿廓符合齿廓啮合的基本定律

了解了渐开线的形成及其性质以后，我们首先需要证明的是用渐开线作为齿廓能否满足定传动比的要求，然后进一步探讨渐开线齿轮传动的其它特点。从而搞清在近代的齿轮传动中，为什么广泛采用渐开线作为齿廓曲线的原因。

设：

1)E1、E2为二齿轮上互相啮合的一对渐开线齿轮廓，E1与E2在任意点K点啮合，轮1以w1转动，轮2以w2转动。

2)基圆半径分别rb1、rb2。过K点作这对齿廓的公法线，根据渐开线性质可知：

此公法线必同时与二齿轮的基圆相切，即为二轮基圆的一条内公切线，它与连心线O1O2相交于c点，同时，由于基圆的大小和位置都是不变的，所以不论这二个齿廓在任何位置啮合，例如在KC点啮合，则从啮合点KC所作二齿廓的公法线都将与N1N2重合。这是什么原因呢？因为二定圆在同一方向只有一条内公切线。这充分说明了，为一条定直线，故其与连心线O1O2的交点C亦必为一定点，所以二轮的传动比为一常数

又由图可知：ΔO1N1c∽ΔO2N2c

即：对渐开线齿轮说二齿轮的传动比不仅与二节圆的半径成反比，同时也与二基圆的半径成反比。

五、渐开线齿廓传动特点

采用渐开线作为齿廓曲线，不仅可以保证定传动比，而且在传动过程中还具有以下二特点：

(一)传动的平稳性

在叙述这个问题之前，先搞清几个概念

1.啮合线

定义：一对齿轮啮合传动时啮合点的轨迹。如何理解：一对渐开线齿廓在任何位置啮合时，接触点的公法线都是同一条直线上，因此线N1N2称为渐开线齿轮传动的啮合线。

2.啮合角

定义：过节点作两节圆的切线与齿廓接触点公法线的夹角。因为，所有的齿廓接触点公法线与重合，故啮合角为定值。啮合角为定值，表示齿廓间压力方向不变。齿廓间的压力沿着接触点的公法线方向作用(不考虑齿廓间的摩擦力影响)，由于渐开线齿廓各接触点的公法线恒与定直线重合，故渐开线齿廓间压力的作用方向恒定不变。因而，当齿轮传递的转矩一定时，齿廓间作用力大小也就不变。传递平稳——传动平稳性。

注意几个问题：

1)啮合角、啮合线只有当一对齿轮啮合时，才存在单个齿轮中没有；

2)节圆上的压力角与啮合角关系：在数值上：啮合角=节圆上的压力角

在概念上：不同

节圆压力角——由压力角概念出发

啮合角——从啮合关系出发

3)一对齿轮啮合时：

啮合线——齿廓间公法线——内公切线——齿廓间压力作用线

4)就单个齿轮：

发生线——法线——切线——齿廓曲率半径

(二)渐开线齿轮的可分性

由前面证明可知：

从而可知：渐开线的传动比取决于二基圆半径的大小。而在齿轮加工完成以后，它的基圆大小已经完全确定。所以即使二齿轮的实际中心距与设计中心距略有偏差(比如，安装齿轮，加工齿轮时引起的)也不会影响二轮的传动比，渐开线齿轮传动这一特性我们称为该传动的可分性。这种传动可分性对渐开线齿轮加工，装配都是有利的。渐开线齿轮除具有上述二个主要优点之外，还有工艺性能好、互换性好等优点。所以在齿轮机构中，广泛采用渐开线作为齿轮的齿廓曲线，这也是其中原因之一。§9-4齿轮各部分名称及渐开线标准直齿齿轮的基本尺寸一、名称、符号

如图所示为直齿圆柱齿轮的一部分，它的每个轮齿的二侧齿廓都是形状相同，方向相反的渐开线曲面。下面主要讨论各部分名称及符号。

1.讨论对象：外齿轮

1)齿数z——正整数；

2)齿顶圆——齿顶所确定的圆称为齿顶圆，用ra、da表示；

3)齿根圆——过所有齿槽底部的圆，用rf、df表示；

4)基圆——db、rb表示；

5)任意圆——rk，dk表示；

6)齿厚——一个轮齿上二侧齿廓间的弧长，称为该圆上的齿厚，任意圆上齿厚用SK表示；

7)齿槽宽——齿槽两侧齿廓之间的弧长称为该圆的齿槽宽，任意圆上的齿槽宽用eK表示，也是一个变值，半径不同，齿槽宽也不同。

8)齿距(有些书上称周节)——相邻二齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的齿距，用PK表示。

同一圆周上PK=eK+SK

pZdk=PKZz

设：——任意圆上的模数，由于p是无理数，也为无理数

dk=mKZz

显然dk↑mK↑(z不变情况下)

当dk↑PK↑，但：mK为无理数，故dk也如此。

9)分度圆：为了研究上的方便，也为了作为计算齿轮各部分尺寸的基准，在齿根圆与齿顶圆之间选定一个基准圆——分度圆用r，d表示

设T规定为标准值，P67表4-1，从表中可见：m值的特点是：小数点后，第二位是0.5进位。但是满足m为标准值的圆不止一个，为确唯一的基准圆，又规定该圆上的a为标准值，即取a=20°，或14.5°，15°。为什么取20°，不取10°，30°。我们知道，同一条渐开线上，位置不同，压力角不一样，基圆上压力角为0°，rK越大，压力角越大。同时知道，a角越大，传力性能不佳，有效力Ft=FZcosa。所以，a↑有效力↓，齿根虽然厚了，但齿顶变尖，传力困难a↓，有效力↑，齿根变得瘦弱，牙齿所能承受力量小了，故经过大量实验，a=20°较合适。

分度圆定义：下面我们来定义分度圆：具有标准模数和标准压力角的圆

d=mZz

以后凡分度圆上的参数均无角标符号

e、s、p、m、a、r、d

注意：由此可见：分度圆是一个人为规定的，用来作为度量几何尺寸基准的，且看不见的圆，

其直径为d=mZz，该圆上具有标准模数和标准压力角。

10)齿顶高：分度圆与齿顶圆之间的径向距离，用ha表示；

11)齿根高：分度圆与齿根之间的径向距离，用hf表示；

12)齿高：齿顶圆与齿根圆之间的径向距离，用h表示；

13)径向间隙(顶隙)：一对齿轮的啮合时，一轮齿顶与另一轮齿根之间的径向间隙，用c表示。

保留顶隙目的：可避免一轮的齿顶与另一轮的齿槽底顶撞，同时也利于贮存润滑油。

①为了把ha，hf，h写m的形式

ha=ha*Zmha*——齿顶高系数

hf=hf*Zmhf*——齿根高系数

=(ha*+c*)Zmc*——径向间隙系数

h=ha+hf=(ha*+hf*)Zm

=(ha*+hf*+c*)Zm

=(2ha*+c*)Zm

②系数值规定

a)正常齿制：m≥1时ha*=1c*=0.25

m＜1时ha*=1c*=0.35

b)短齿制：ha*=0.8c*=0.3

下面我们来定义标准齿轮：

标准齿轮定义：ha，hf都是标准值，分度圆上

二、标准齿轮的几何尺寸计算公式

1.模数制(公制)

①基本参数：m、z、a、ha*、c*

②尺寸：对象——外齿轮

径向尺寸：

齿顶高：ha=ha*Zm

齿根高：hf=(ha*+c*)Zm=hf*Zm

全齿高：h=ha+hf=(2ha*+c*)Zm

4个圆：

分度圆：d=mZz

齿顶圆：da=d+2ha=mZz+2ha*Zm=m(z+2ha*)

齿根圆：df=d－2hf=mZz－2hf*Zm=m(z－2hf*)

基圆：db=dZcosa

周向尺寸：

周节(齿距)P=pZm

齿厚

齿间距

2.径节制(英制)英、美国家采用径节作为齿轮几何尺寸计算的基础。

径节定义：齿数与分度圆直径之比用符号KP表示。

我国的模数制

DP用英寸-1也就是in-1表示

1英寸=25.4mm。

所以

标准径节为1，……

径节制的标准齿轮，其各部分尺寸为

上面符号用于外啮合

下面符号用于内啮合

对于正常齿ha*=1hf*=1.157

对于短齿：ha*=0.8hf*=1

小结：1.一个齿轮参数不少：da、df、d，db、S、e、P、ha、hf、h、z、m、a、b。

这些尺寸中，有些看得见：da、df、h、z、b。

有些看不见：d、db、S、e、P、ha、hf、z、m

有些人为定义：da、df、d、db……

有些自由选取：z、b。

有些已经标准化规定：m、a

主要参数：d、m、a、z

2.单个齿轮：四个圆(d，da，df，db)

一个压力角：分度圆上压力角

3.一对齿轮：

二轮各有一个节圆，有一个啮合角

4.要注意区别

1)分度圆和节圆

分度圆是计算齿轮各部分尺寸的基准，每个齿轮都有一个，也仅仅有一个大小完全确定的分度圆。而节圆是在一对齿轮啮合传动时，以齿轮的轴心为圆心过二齿轮啮合的节点作所作的圆。对单个齿数来说，因无节点，也无节圆。

节圆只有在二齿轮啮合传动时，才存在，而且其大小随二轮中心距的改变而改变。

2)节圆压力角和啮合角：数值上：二角相等上：不同。§9-5渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动一、一对渐开线齿廓正确啮合条件由图知，要使齿轮能正确啮合，必须有pn1=pn2由上节知pn=pb所以，要使齿轮能正确啮合，必须有pb1=pb2又因pb=πmcosα所以πm1cosα1=πm2cosα2故m1cosα1=m2cosα2要满足上式，则应m1=m2=m,α1=α2=α所以，渐开线齿轮正确啮合的条件是：两轮的模数和压力角应分别相等。二、齿轮传动的中心距和啮合角1、外啮合传动1）齿轮正确安装的条件a、齿侧间隙为零齿侧间隙为零，即而标准齿轮有、根据正确啮合条件有：m1=m2所以：由以上分析知，要使齿侧间隙为零，则必须使其分度圆与节圆重合。b、具有标准顶隙c=c*m2）标准中心距当顶隙为标准值时，设两轮的中心距为a，则：a=ra1+c+rf2=r1+h*am+c*m+r2-(h*am+c*m)=r1+r2=m(z1+z2)/2即两轮的中心距a应等于两轮分度圆半径之和，我们把这种中心距称为标准中心距。3）啮合角啮合角——两轮传动时其节点C的圆周速度方向与啮合线N1N2之间所夹的锐角，其值等于节圆压力角。故用α'表示。当两轮实际中心距a'>a时，r'1>r1、r'2>r2及α'>α因为rb1=r1cosα=r'1cosα'、rb2=r2cosα=r'2cosα'所以rb1+rb2=(r1+r2)cosα=acosα=(r'1+r'2)cosα'=a'cosα'故a'cosα'=acosα2、齿轮与齿条啮合传动α'≡α、r'≡r三、渐开线齿轮连续传动条件（图8-28）1、一对齿轮的啮合过程实际啮合线B1B2理论啮合线N1N2啮合极限点N1和N22、渐开线齿轮连续传动条件为了保证连续传动，则通常将用εα表示，称为重合度。于是可得连续传动条件为：实际εα≥[εα]式中：[εα]——许用重合度。§9-6渐开线齿廓的切制一、齿廓切制基本原理1、仿形法2、范成法二、用标准齿条刀具加工标准齿轮1、标准齿条形刀具2、用标准齿条刀具加工标准齿轮§9-7渐开线齿廓的根切一、产生根切的原因结论：在用范成法切齿时，如果刀具的齿顶线超过了啮合线与轮坯基圆的切点（即啮合极限点）N1，则被切齿轮的轮齿必将发生根切现象。二、渐开线标准齿轮不产生根切时的最少齿数如图示，为避免根切，要求刀具的齿顶线在N1点之下，而为此应满足下列不等式：≥(a)而在ΔPN1O1中，有=rsinα=(mzsinα)/2(b)在ΔPBB´中，有=h*am/sinα(c)将式（b）、（c）代入式（a）可得z≥2h*a/sin2α所以，不产生根切的最少齿数为zmin=2h*a/sin2α可见，不产生根切的最少齿数是h*a和α的函数。当h*a=1、α=20°时，zmin=17。三、避免产生根切现象的方法1）减少h*a，但降低。2）增大α，但传力性变差。3）变位修正——变位齿轮。9-8齿轮常用材料及热处理由轮齿失效形式可知，选择齿轮材料时，应考虑以下要求：轮齿的表面应有足够的硬度和耐磨性，在循环载荷和冲击载荷作用下，应有足够的弯曲强度。即齿面要硬，齿芯要韧，并具有良好的加工性和热处理性。制造齿轮的材料主要是各种钢材，其次是铸铁，还有其它非金属材料。一、钢钢材可分为锻钢和铸钢两类，只有尺寸较大（d＞400~600mm）,结构形状复杂的齿轮宜用铸钢外，一般都用锻钢制造齿轮。软齿面齿轮多经调质或正火处理后切齿，常用45、40Cr等。因齿面硬度不高，易制造，成本低，故应用广，常用于对尺寸和重量无严格限制的场合。由于在啮合过程中，小齿轮的轮齿接触次数比大齿轮多。因此，若两齿轮的材料和齿面硬度都相同时，则一般小齿轮的寿命较短。为了使大、小齿轮的寿命接近，应使小齿轮的齿面硬度比大齿轮的高出30~50HBS。对于高速、重载或重要的齿轮传动，可采用硬齿面齿轮组合，齿面硬度可大致相同。二、铸铁由于铸铁的抗弯和耐冲击性能都比较差，因此主要用于制造低速、不重要的开式传动、功率不大的齿轮。常用材料有HT250、HT300等。非金属材料对高速、轻载而又要求低噪音的齿轮传动，也可采用非金属材料，加夹布胶木、尼龙等。常用的齿轮材料，热处理方法、硬度、应用举例见表。表常用的齿轮材料、热处理硬度和应用举例材料牌号热处理方法硬度应用举例齿芯HBS齿面HRC优质碳素钢35正火150~180低速轻载的齿轮或中速中载的大齿轮45162~21750180~22045调质217~255合金钢35SiMn217~26940Cr241~286优质碳素钢35表面淬火180~21040~45高速中载、无剧烈冲击的齿轮。如机床变速箱中的齿轮45217~25540~50合金钢40Cr241~28648~5520Cr渗碳淬火56~62高速中载、承受冲击载荷的齿轮。如汽车、拖拉机中的重要齿轮20CrMnTi56~6238CrMOAlA氮化229>850HV载荷平稳、润滑良好的齿轮铸钢ZG45正火163~197重型机械中的低速齿轮ZG55179~207球墨铸铁QT700-2225~305可用来代替铸钢QT600-2229~302灰铸铁HT250170~241低速中载、不受冲击的齿轮。如机床操纵机构的齿轮HT300187~2559-9齿轮传动的失效形式及计算准则一、齿轮传动的失效形式及计算准则1．轮齿的失效形式①轮齿折断（图形见课件）②齿面点蚀（图形见课件）③齿面胶合（图形见课件）措施：提高齿面硬度；减小齿面粗糙度；增加润滑油粘度；加抗胶合添加剂。④齿面磨损分跑合磨损和磨粒磨损。（图形见课件）SHAPE措施：减小齿面粗糙度；改善润滑条件，清洁环境；提高齿面硬度。⑤齿面塑性变形（图形见课件）2．齿轮的设计准则①保证足够的齿根弯曲疲劳强度，以免发生齿根折断。②保证足够的齿面接触疲劳强度，以免发生齿面点蚀。③对高速重载齿轮传动，除以上两设计准则外，还应按齿面抗胶合能力的准则进行设计。由工程实践得知：闭式软齿面齿轮传动，以保证齿面接触疲劳强度为主；闭式硬齿面或开式齿轮传动，以保证齿根弯曲疲劳强度为主。9-10标准直齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析a)b)图直齿圆柱齿轮传动的受力分析图所示为齿轮啮合传动时主动齿轮的受力情况，不考虑摩擦力时，轮齿所受总作用力Fn将沿着啮合线方向，Fn称为法向力。Fn在分度圆上可分解为切于分度圆的切向力Ft和沿半径方向并指向轮心的径向力Fr。a)b)图直齿圆柱齿轮传动的受力分析圆周力Ft=N径向力Fr=FttgN法向力Fn=N式中:d1为主动轮分度圆直径,mm；为分度圆压力角，标准齿轮=20°。设计时可根据主动轮传递的功率P1（KW）及转速n1(r/min)，由下式求主动轮力矩T1=9.55×106×（Nmm）根据作用力与反作用力原理，Ft1=-Ft2，Ft1是主动轮上的工作阻力，故其方向与主动轮的转向相反，Ft2是从动轮上的驱动力，其方向与从动轮的转向相同。同理，Fr1=-Fr2，其方向指向各自的轮心。二、载荷与载荷系数由上述求得的法向力Fn为理想状况下的名义载荷。由于各种因素的影响，齿轮工作时实际所承受的载荷通常大于名义载荷，因此，在强度计算中，用载荷系数K考虑各种影响载荷的因素，以计算载荷Fnc代替名义载荷Fn。其计算公式为式中：K为载荷系数，见表。表载荷系数k原动机工作机的载荷特性均匀、轻微冲击中等冲击大冲击电动机多缸内燃机单缸内燃机1~1.21.2~1.61.6~1.81.2~1.61.6~1.81.8~2.01.6~1.81.9~2.12.2~2.4图危险截面位置及应力齿根弯曲疲劳强度计算图危险截面位置及应力齿根处的弯曲强度最弱。计算时设全部载荷由一对齿承担，且载荷作用于齿顶，将轮齿看作悬臂梁，其危险截面可用30o切线法确定，即作与轮齿对称中心线成30o夹角并与齿根过渡曲线相切的两条直线，连接两切点的截面即为齿根的危险截面，如图所示。运用材料力学的方法，可得轮齿弯曲强度校核的公式为=≤或σF=≤或由上式得计算模数m的设计公式m≥式中:=b/d1称齿宽系数（b为大齿轮宽度），由表查取；称为齿形系数，由图查取；[]为弯曲许用应力，由式计算。三、齿面接触疲劳强度计算齿面接触疲劳强度计算是为了防止齿间发生疲劳点蚀的一种计算方法，它的实质是使齿面节线处所产生的最大接触应力小于齿轮的许用接触应力，齿面接触应力的计算公式是以弹性力学中的赫兹公式为依据的，对于渐开线标准直齿圆柱齿轮传动，其齿面接触疲劳强度的校核公式为≤或≤将上式变换得齿面接触疲劳强度的设计公式d1≥式中：“±”分别用于外啮合、内啮合齿轮；ZE为齿轮材料弹性系数，见表；ZH为节点区域系数，标准直齿轮正确安装时ZH=2.5；[σH]为两齿轮中较小的许用接触应力，；u为齿数比，即大齿轮齿数与小齿轮齿数之比。五、设计参数的选择及许用应力1.主要参数的选择(1)齿数z。对于软齿面的闭式传动，在满足弯曲疲劳强度的条件下，宜采用较多齿数，一般取z1=20~40。因为当中心距确定后，齿数多，则重合度大，可提高传动的平稳性。对于硬齿面的闭式传动，首先应具有足够大的模数以保证齿根弯曲强度，为减小传动尺寸，宜取较少齿数，但要避免发生根切，一般取z1=17~20。(2)模数m。模数影响轮齿的抗弯强度，一般在满足轮齿弯曲疲劳强度条件下，宜取较小模数，以增大齿数，减少切齿量。(3)齿宽系数Ψd。齿宽系数是大齿轮齿宽b和小齿轮分度圆直径d1之比，增大齿宽系数，可减小齿轮传动装置的径向尺寸，降低齿轮的圆周速度。但是齿宽越大，载荷分布越不均匀。为便于装配和调整，常将小齿轮齿宽加大5~10mm，但设计计算时按大齿轮齿宽计算。2.许用应力一般的齿轮传动，其弯曲疲劳许用应力为[σF]=YN接触疲劳许用应力为[σH]=ZN式中：σFlim为齿轮单向受载时的弯曲疲劳极限，查图；σHlim为接触疲劳极限，查图，由于实验齿轮的材质、热处理等性能的差异，实验值有一定的离散性，故图示数据为中间值；受对称循环变应力的齿轮（如惰轮，行星轮），应将图中查得数值乘以0.7；SF、SH为疲劳强度的最小安全系数，通常SF=1、SH=1，对于损坏后会引起严重后果的，可取SF=1.5、SH=1.25~1.35；YN、ZN为寿命系数，用以考虑当齿轮应力循环次数N<N0时，许用应力的提高系数，其值分别查图，图中横坐标为应力循环次数N，按下式计算：式中：n为齿轮转速（r/min）；j为齿轮每转一周，同一侧齿面啮合的次数；为齿轮在设计期限内的总工作时数，h。例9-1设计一带式运输机减速器的直齿圆柱齿轮传动，已知i=4,n1=750r/min,传递功率P=5KW，工作平稳，单向传动，单班工作制，每班8h，工作期限10年。§9-12平行轴斜齿圆柱齿轮传动一、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点1、斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成由图所示，发生面上的直线KK与基圆柱轴线的夹角称为基圆柱上的螺旋角，用表示，而其与分度圆柱轴线的夹角称为分度柱上的螺旋角，简称为螺旋角，用表示。齿轮螺旋角有左、右旋之分。2、齿圆柱齿轮的啮合特点二、斜齿轮的基本参数1、法面模数mn与端面模数mt由图，可得：pn=ptcosβ因为：所以：mn=mtcosβ2、法面压力角n与端面压力角t由图得：在Δa´b´c中，在Δabc中，在Δaa´c中，因为：所以：tgαn==tgtcosβ三、斜齿轮传动的几何尺寸1、齿顶高ha和齿根高hfha=h*anmnhf=(h*an+cn*)mn式中：h*an——法面齿顶高系数，为标准值，h*an=1。cn*——法面顶隙系数，为标准值，c*n=0.25。2、分度圆直径d=zmt=zmn/cosβ3、中心距a=(d1+d2)/2=mn(z1+z2)/2cosβ由上式知，在设计斜齿轮传动时，可用改变螺旋角β大办法来调整中心距的大小，以满足对中心距的要求，而不一定用变位的办法。四、一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件mn1=mn2，n1=n2，五、斜齿轮传动的重合度如图所示，斜齿轮传动的重合度为：=其中：——轴面重合度。因为：所以：式中：l——螺旋线的导程。所以：=(Bsinβ/cosβ)/(pn/cosβ)=Bsinβ/πmn——端面重合度。由式(8-27)，得六、斜齿圆柱齿轮的当量齿数如图知，椭圆的长半轴，短半轴，而C点的曲率半径为：现以、mn、αn分别为半径、模数、压力角作一假想的直齿圆柱齿轮，该齿轮即为斜齿轮的当量齿轮，其齿数称为当量齿数，即：zv=2/mn=d/mncos2β=zmt/mncos2β=z/cos3β所以，斜齿圆柱齿轮不产生根切的最少齿数为zmin=zvmincos3β七、斜齿轮传动的主要特点1、啮合性能好。2、重合度大。3、结构紧凑。4、斜齿轮的主要缺点是运转时产生附加轴向推力，如图8-55所示，其轴向推力为：Fa=Fttanβ当Ft一定时，Fa随β的增大而增大，因此一般取β=8°~20°。为消除附加轴向力，可采用人字齿轮。例9-2：已知：z1=26、i12=5、m=3mm、ha*=1、c*=0.25、α=20°、β≤20°、εr≥3，在其它条件不变的情况下，将直齿轮改为斜齿轮时。求该斜齿轮的z1´、z2´、mn、B。解：1、确定中心距aa=mz1(1+i12)/2=3×26×(1+5)/2=2342、改为斜齿轮，a不变，则：a=mnz1´(1+i12)/2cos=234mm当β=20°时，z1´=2acos/mn(1+i12)=2×234cos20°/3(1+5)=24.43若β≤20°，取z1´=25，则z2´=z1´i12=25×5=125所以：3、确定B，根据其中：´t=arctg(tgαn/cosβ)=arctg(tg20°/cos15.9425°)=20.733°at1=arccos(db1/da1)=arccos[z1´cosαt/(z1´+2cosβ)]=arccos[25×cos20.733°/(25+2×cos15.9425°)]=29.722°at1=arccos[z2´cosαt/(z2´+2cosβ)]=arccos[125×cos20.733°/(125+2×cos15.9425°)]=22.917°所以：εα=[25×(tg29.722°-tg20.733°)+125×(tg22.917°-tg20.733°)]/2π=1.646为了保证εr≥3，则：≥3-1.646=1.354于是，根据式（8-48），得：≥π×3×1.354/sin15.9425°=46.46mm§9-13标准斜齿圆柱齿轮传动的强度计算一、轮齿的受力分析斜齿圆柱齿轮传动的受力情况，当主动齿轮上作用转矩T1时，若忽略接触面的摩擦力，齿轮上的法向力Fn作用在垂直于齿面的法向平面，将Fn在分度圆上分解为相互垂直的三个分力，即圆周力Ft、径向力Fr和轴向力Fa、各力的大小为：式中：为分度圆螺旋角；为法向压力角，标准齿轮=20°。圆周力和径向力方向的判断与直齿圆柱齿轮相同。轴向力Fa的方向取决于齿轮的回转方向和轮齿的旋向，可用“主动轮左、右手定则”来判断。即当主动轮是右旋时所受轴向力的方向用右手判断，四指沿齿轮旋转方向握轴，伸直大拇指，大拇指所指即为主动轮所受轴向力的方向。从动轮所受轴向力与主动轮的大小相等、方向相反。二、齿根弯曲疲劳强度计算斜齿轮的强度计算与直齿轮相似，但斜齿轮齿面上的接触线是倾斜的，故轮齿往往是局部折断，其计算按法平面当量直齿轮进行、以法向参数为依据。另外，斜齿圆柱齿轮接触线较长、重合度增大，故其计算公式与直齿轮的公式有所不同。具体如下：=≤或≥式中：YFS为齿形系数，应根据当量齿数zv查图；其中zv=z/cos3；为斜齿轮螺旋角，一般=8~20°；其他符号代表的意义、单位及确定方法均与直齿圆柱齿轮相同。三、齿面接触疲劳强度计算斜齿圆柱齿轮传动的齿面接触疲劳强度，也按齿轮上的法平面当量直齿圆柱齿轮计算。一对钢制斜齿圆柱齿轮传动的计算公式如下：σH=≤或d1≥式中:为螺旋角系数，考虑螺旋角造成接触线倾斜而对接触强度产生的影响，；其余各符号所代表的意义、单位及确定方法均与直齿圆柱齿轮相同。§9-14圆锥齿轮传动一、圆锥齿轮传动的应用、特点和分类在圆锥齿轮传动中，以大端参数为标准值，大端压力角一般为20°。二、直齿圆锥齿轮的背锥及当量齿数由图知：又知：故得：对任一圆锥齿轮有：三、直齿圆锥齿轮传动的几何参数和尺寸计算1、分度圆直径d1=2Rsinδ1d2=2Rsinδ2式中：R——锥距，分度圆锥顶到大端的距离。δ1、δ2——分度圆锥角（简称分锥角）。2、传动比i12=ω1/ω2=z2/z1=d2/d1=sinδ2/sinδ1当Σ=90°时，即δ1+δ2=Σ=90°，故上式可写为：i12=ω1/ω2=z2/z1=d2/d1=ctgδ1=tgδ2圆锥齿轮传动的主