2021-2022学年新教材高中数学第二章等式与不等式测评【含答案】

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高一期中)某学校高一3班为该班男生分配宿舍,如果每个宿舍安排3人,就会有6名男生没有宿舍住,如果每个宿舍安排5人,有一间宿舍不到5名男生,那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A.3或4 B.4或5C.3或5 D.4或6答案B解析设房间数量为x,由题意可得5(x-1)+1≤3x+6<5x,解得3<x≤5,∵x为正整数,∴x=4或5,故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5.故选B.2.(2021黑龙江八校高一期中)下列不等式正确的是()A.若x<0,则x+1x≤B.若x∈R,则x2+3C.若x∈R,则1x2D.若x>0,则(1+x)1+1x答案D解析由于x<0,所以-x>0,故(-x)+-1x≥2,则x+1x≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A错误;x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2当x=0时,1x2+1=1,故C错误;所以(1+x)1+1x=2+x+1x≥4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.3.(2021湖北高一期末)已知a<0<c<b,则下列各式一定成立的是()A.a2b2B.aBb2≤b2C.bbcD.b-DbcD1b>c-答案D解析因为a<0<c<b,a2,b2的大小无法确定,A,B均不正确;取b=1.2,c=1.1,得b+c=2.3>bc=1.32,所以C不正确;可得0>-1b>-1c,所以b-1b>c-1c,故D正确4.不等式2x+2<x+1的解集是(A.{x|-3<x<-2或x>0} B.{x|x<-3,或-2<x<0}C.{x|-3<x<0} D.{x|x<-3,或x>0}答案A解析不等式2x+2<x+1等价于x(x+3)x+2>0,即等价于x(x+3)(x+2)>0,得它的解集为{5.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是()A.[0,10] B.[2,10]C.[0,12] D.[2,12]答案B解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.6.(2021河南焦作高二期末)已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是()A.[2,4] B.(0,2]∪[4,+∞)C.[4,16] D.(0,4]∪[16,+∞)答案D解析因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6ab+8,当且仅当a=b时等号成立.即(ab-2)(ab-4)≥0,所以0<ab≤2或ab≥4,所以0<ab≤4或ab≥16.ab的取值范围是{ab|0<ab≤4,或ab≥16}.故选D.7.(2021安徽合肥高一期末)已知x>0,y>0,且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立,则实数m的取值范围是(A.-32,1 B.-32,1C.(-2,1) D.-∞,-32∪(1,+∞)答案A解析因为x>0,y>0,且x+y=1,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-x+y22=34,又不等式x2+y2+xy>12m2+14m所以只需34>12m2+14m,即2m2+m-3<0,解得-328.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为()A.4 B.92 C.5 D.答案A解析∵正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+x+2y22-8≥0,当且仅当x=2y时取等号设x+2y=t>0,∴t+14t2-8≥0,∴t2+4t-32≥0,即(t+8)(t-4)≥0,∴t≥4,故x+2y的最小值为4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列命题中,不正确的是()A.若ac>bc,则a>bB.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a<b,答案ABC解析取a=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc,但a<b,故A错;取a=3,b=-1,c=5,d=0,则a>b,c>d,但a-c=-2,b-d=-1,a-c<b-d,故B错;取a=3,b=-1,c=0,d=-2,则a>b,c>d,但ac=0,bd=2,ac<bd,故C错;因为0≤a<b,故(a)2<(b)2,即a<b,故D10.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则()A.a<v<abB.v=BaC.ab<v<a+b答案AD解析设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa∴v=2s∵b>a>0,由基本不等式可得ab<∴v=2ab另一方面v=2aba+b<2a∴v>a,则a<v<ab.11.已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),则()A.x1x2=2B.xBx1x2<-3C.x2-x1>4D.-D1<x1<x2<3答案ABC解析∵不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.∴x1+x2=2,x1x2=1-3aa=1a-3<-3,x2-x1=由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的.故选ABC.12.(2021福建厦门高一期末)关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数,则实数a的值可以是()A.2 B.4 C.6 D.8答案BC解析设f(x)=x2-2x-a,图像开口向上,对称轴为x=1,若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数.根据二次函数的对称轴以及对称性,则这5个整数应为-1,0,1,2,3,则f(-1)≤0,f(-2)>0,三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知a>0,b>1,且a(b-1)=4,则a+b的最小值为.

答案5解析∵a>0,b>1,且a(b-1)=4,∴a=4b-1∴a+b=4b-1+(b-1)+1≥24+1=5,当且仅当a=2,b=3时14.(2020河南高二期末)已知x,y均为正实数,且满足1x+1y+3xy=答案6解析由1x+1y+3又因为xy≤x+y22,所以即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.又∵x,y均为正实数,∴x+y≥6(当且仅当x=y=3时,等号成立),即x+y的最小值为6.15.(2020宁夏高一期中)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15x-k+4500xL,其中k为常数.若汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为.

答案{x|60≤x≤100}解析由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4500x-20L,依题意15x+4500x-20≤9,解得45≤x≤100,依题意60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].16.(2021陕西西安交大附中高一期中)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,则实数m的取值范围为.

答案{m|2-10<m≤-1或5≤m<2+10}解析∵关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,∴Δ即m解得2-10<m≤-1,或5≤m<2+10,则实数m的取值范围为(2-10,-1]∪[5,2+10).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.解(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.18.(12分)(2021江苏淮安六校联盟高一联考)(1)已知a,b均为正数,且a≠b,比较aa+bb与ab+ba的大小;(2)a,b都为正数,a+b=2,求1a+解(1)∵a,b均为正数,且a≠b,∴aa+bb-(ab+ba)=a(a-b)+b(b-a)=(a-b)(a-b)=(a-b)2(∴aa+bb>ab+ba.(2)∵a,b都为正数,且a+b=2,∴1a+当且仅当a=b=1时,等号成立,即1a+119.(12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+1.(1)当m=5时,求不等式y>0的解集;(2)若不等式y>0的解集为R,求实数m的取值范围.解(1)当m=5时,y=6x2-5x+1,不等式y>0即为6x2-5x+1>0,解得该不等式的解集为xx(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.当m=-1时,该不等式的解集为{x|x>-1},不符合题意,舍去;当m<-1时,不符合题意,舍去;当m>-1时,Δ=(-m)2-4(m+1)<0,解得2-22<m<2+22.综上所述,实数m的取值范围是(2-22,2+22).20.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值(2)当0≤x≤2时,不等式y≤a成立,试求a的取值范围.解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4.因为x>0,所以x+1x≥2.当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.所以yx≥(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“当0≤x≤2时,不等式y≤a成立”只要“当0≤x≤2时,不等式x2-2ax-1≤0恒成立”.不妨设z=x2-2ax-1,则只要当0≤x≤2时,不等式z≤0恒成立.所以0解得a≥34所以a的取值范围是34,+∞.21.(12分)(2021山东临沂部分高中高一期中)已知函数y=x2+2ax-b.(1)若b=8a2,求不等式y≤0的解集;(2)若a>0,b>0,且函数在x=b时的函数值为b2+b+a,求a+b的最小值.解(1)因为b=8a2,所以y=x2+2ax-8a2,由y≤0,得x2+2ax-8a2≤0,即(x+4a)(x-2a)≤0,当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0};当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a};当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.综上所述,不等式y≤0的解集为:当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0},当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a},当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.(2)因为在x=b时的函数值为b2+2ab-b,由题知b2+2ab-b=b2+b+a,即2ab=a+2b,所以1a+1由a+b=(a+b)×1=(a+b)1a+12b=1+当且仅当a=2b,即a=1+22,b=1+22时所以a+b的最小值为3222.(12分)某厂生产某种商品,经调查测算,该商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件