用高斯消元法求解线性代数方程组.(优选)

/7用高斯消元法求解线性代数方程组TOC\o"1-5"\h\z1115-2823-2103-2(X*是方程组的精确解)-4_3x1x2「13「11X*=丁14x315117x191—141——1--1高斯消去法1.1基本思想及计算过程高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。‘2x+3x+4x=6(I)123<3x+5x+2x二5(II)1234x1+3x2+30x二323(III)把方程⑴乘（—3）后加到方程（II）上去，把方程⑴乘（—4）后加到方程（III）上22去，即可消去方程（II）、（III）中的"，得同解方程组TOC\o"1-5"\h\zx+3x+4x=6（I）123'丿{0.5x-4x=—4（II）23-3x+22x=20（III）23将方程（II）乘（2）后加于方程（hi）,得同解方程组：0.52x+3x+4x=6123(I)0.5x-4x=-423(II)-2x=-43(III)由回代公式（3.5）得x3=2，x2=8，x1=-13。下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b写成a.+1，=1,2,・n。ii,n+1

ax+ax+axHFax=a1111221331nn1,n+1ax+ax+ax++ax=av2112222332nn2,n+1ax+axax+axn11n22+ax++axn33nnn=an,n+1其中a(1)=1jj=1,…，n+1(记a(o)ij从其它n-1其中a(1)=1jj=1,…，n+1(记a(o)ij从其它n-1个方程中消x「使它变成如下形式+a(1)x+…+a(1)x1221nna(1)x+…+a(1)x2222nn=a(1)n+1

a(1)n+11-2)其中a(1)=aijij—m-a(1)i1ij由方程（1-1）到（1-2）的过程中，a(1)x+…+a(1)xn22nna(1)n,n+1=2,…,n，m=i1a(1)/

儿‘a11j=2,3,…,n+1元素an起着重要的作用’特别地,把an称为主元素。如果a11丰0,将第一个方程中x1的系数化为1,得x+a（1）x++a（1）x=a⑴11221nn1,n+1a,i=1,2,...,n;j=1,2,...,n+1)ij如果（1-2）中網厂0，则以a22）为主元素’又可以把方程组（1-2）化为:x+x+a⑴x+…+a(1)x=a(1)11221nn1,n+1x+a(2)x+…+a(2)x=a(2)22332nn2,n+1va(2)x+…+a(2)x=a(3):3333nn3,n+1a(2)x+…+a(2)x=a(2)n33nnnn,n+11-3)针对（1-3）继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是:x+x+a（2）xH—2233Ha（2）x=a（2）2nn2,nH1x+a⑴x+a⑴xH—1n1nn1,nH1+a（k-i）xH卜a（k-i）x=a（k-1）k-k-ik-ikknnk-1,nH1a（ka（k-i）xHHa（k-i）xkkknnn=a（k-1）k,nH1a（k-i）xHHa（k-i）x=a（k-i）nkknnnnkknnnn,nH1设a(k-1)工0，第k步先使上述方程组中第k个方程中xk的系数化为1：kkkx+a（k）xH——a（k）x=a（k）kk,kH1kknnk,nH1然后再从其它（n-k）个方程中消xk，消元公式为：a（k-1）a（k）=——j=k,k+1,…,n+1ka（k-1）kkva（k）=a（k-1）一a（k-1）・a（k）（1-4）ijijikkjj=k+1,…,n+1i=k+1,…n按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式:Ha（1）xHa（1）xH…Ha（1）x=a（1）11221331nn1,nH1xHa（2）xH…Ha（2）x=a（2）22332nn2,nH1xHa（n-1）x=a（n-1）n-1nnnn-1,nH1x=a（n）nn,nH1回代公式为：x=x=a（n）nn,n+1vx=a（k）-Fa（k）xk=n-1,…,1kk,nH1kjjj=kH11-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。由于计算时不涉及xz„i=1,2,・n・”所以在存贮时可将方程组AX=b,写成增广矩阵(A,b)存贮。面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在(1-4)第一个式子中，每执行一次需要n-(n-k)次除法，在(1-5)第二个式子中，每执行一次需要[n-(k-1)]x(n-k)次除法。因此在消元过程中，共需要工l(n-k+1)x(n-k)+(n-k+1)]k=1=工(n-k+1)2=1n(n+1)(2n+1)6k=1次乘作法。此外，回代过程共有£(n-k)=—(n-1)2k=1次乘法。汇总在一起，高斯消去法的计算量为：nn3n(n2+3n一1)=+n—一33次乘除法。1.2基于VC的C语言程序#include<stdio.h>#definen4/*n为方程组系数矩阵的阶数*/intGauss(floata[n][n],floatb[n]){inti,j,k,flag=1;floatt;for(i=0;i<n-1;i++){if(a[i][i]==0){flag=0;break;}else{for(j=i+1;j<n;j++)/*消元过程*/{t=-a[j][i]/a[i][i];b[j]=b[j]+t*b[i];for(k=i;k<n;k++)a[j][k]=a[j][k]+t*a[i][k];}}}return(flag);}voidzg_matric(floata[n][n],floatb[n])/*输出增广矩阵*/{inti,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%10f",a[i][j]);printf("%10f",b[i]);printf("\n");}printf("\n");}voidmain(){staticfloata[n][n]={{11,1,5,-4},{-2,8,2,3},{3,-2,10,4},{1,3,-2,17}};floatb[n]={13,11,15,19};floatx[n]={0,0,0,0};inti,j,flag;zg_matric(a,b);flag=Gauss(a,b);zg_matric(a,b);if(flag==0)/*无解*/printf("Gaussmethoddosenotrun.");else/*回带过程开始*/{x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){x[i]=b[i];for(j=i+1;j