一阶直线双倒立摆系统的可控性研究讲义课件

一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一、引言

二、系统建模2.1一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立2.2系统数学模型的线性化三、仿真实验

3.1精确模型的验证3.2线性化之后的模型的验证四、仿真实验

五、结论一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一、引言1一、引言

可控性从直观上讲，如果系统的每一个状态变量的运动都可以由输入来影响和控制，而由任意的始点到达原点，那么系统就是可控的，否则系统不完全可控。能否实现在保持两个摆杆不倒的前提下，实现小车的位置伺服控制。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统所要研究的问题：经验和直觉能不能实现分析与计算失效有效可控性研究一、引言可控性从直观上讲，如果系统的每一个状态变量的运动2二、系统建模

一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

一阶直线双倒立摆系统——小车的质量——小车的位置——拖动力——两个摆杆的质量——两个摆杆的长度——两个摆杆的转动惯量——两个摆杆与竖直向上方向的夹角忽略空气阻力以及摩擦力，可将一阶直线双倒立摆系统抽象成小车和两个匀质刚性杆组成的系统二、系统建模一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线3一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

对小车和摆杆分别进行受力分析，应用牛顿定律建立系统的动力学方程。小车的受力情况摆杆的受力情况(以左杆为例)和分别为左右两个摆杆对小车作用力的水平分量根据牛顿第二定律有：左右两个摆杆的受力情况大致相同，下面以左边的摆杆为例进行分析(用下标1、2来区分左、右摆杆)，受力情况如上图所示：和分别为小车对摆杆作用力的水平分量和竖直分量一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数4一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

摆杆的受力情况(以左杆为例)摆杆的质心B点相对于A点转动，相对线速度的大小为A点本身随小车以速度运动B点相对于地面的速度在x轴方向的分量为：B点在x轴方向的加速度为：B点相对于地面的速度在y轴方向的分量为：B点在y轴方向的加速度为：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数5一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

摆杆的受力情况(以左杆为例)摆杆的惯量：在、的作用下摆杆绕B点的转动方程：同理，对于右边的摆杆可得方程组：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数6一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

对上述7个方程进行整理，消去中间变量，整理成只含有和F以及、、x及其导数的形式，即得到其模型：基本模型2.系统数学模型的线性化

当时，有近似关系：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数7一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化

将近似关系代入原始模型过行整理有：反解出状态变量二次导数（加速度）：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化8一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化

将其整理成为状态空间表达式有：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化9一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1．精确模型的验证

三、模型验证Simulink模型库进入Simulink工作空间在命令窗口中输入simulink后回车单击MATLAB工具栏中的simulink图标或在File菜单中选择new/model，打开一个新的空白窗口，命名为“shuangbai.mdl”一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1．精确模型的验证三、模型10一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在simulink下编辑的双摆系统的精确模型积分器模块输入模块输出模块函数计算模块聚合模块以它为例一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在sim11一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型二合一聚合模块Fcn1实现的函数如下所示：以和为输入，计算的值。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型二合一F12一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型可否也这样实现呢？模型中的另一个方程代数环存在的充分必要条件是：存在一个闭合路径，该闭合路径中的每一个模块都是直通模块。上式与前式构成一个代数环，Simulink无法正常计算。代数环(AlgebraicLoop)一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型可否也这13一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在选项中启用代数环错误检查：simulation/parameters菜单窗口一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在选项中14一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型解决代数环问题：存在双向直接反馈代数环路无双向直接反馈代数环路一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型解决代数15一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型模型封装：选中系统的所有模块，在菜单栏选择Edit/CreateSubsystem，即可建立一个子系统。用鼠标选中该子系统，再选择Edit/MaskSubsystem，弹出模块封装设计界面：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型模型封装16一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型注意：封装时参数名必须和步骤2中表达式里的参数名相同，另外，simulink对参数名不区分大小写。封装好后的模块双击一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型17一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的仿真框图示波器阶跃信号一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的仿真框图18一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的阶跃响应曲线(初始摆角为180度)可见，位移曲线加速增长，而两个摆角的响应曲线重合，在某个大于180度的角度附近作等幅振荡。这是两个摆杆的参数相同，而又不计空气阻力所造成的结果(相当于两个相同的一阶倒立摆)。在考虑空气阻力的情况下，摆角应该做减幅振荡，最终稳定在某个大于180度(3.14弧度)的角度。从图中可以读出摆角的最大值和最小值分别为约3.64弧度和3.14弧度，平均值为3.39弧度。而利用牛顿定律可以求出在这一特殊条件下，稳态时摆杆的摆角约为3.391367弧度，这说明前面所建立的精确模型是可信的。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的阶跃响应曲19一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究20一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究21一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究22一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

精确模型的阶跃响应曲线(初始摆角为0度)线性化之后的模型的阶跃响应曲线(初始摆角为0度)从图中可知在摆角变化不大(摆角〈10度时)，精确模型和线性化之后的模型的阶跃响应基本相同，但角度越大，后者的误差就越大。但是，两者都反映出当初始摆角为0度时，该系统是不稳定的。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证23一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究24一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究25一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究26一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

上述仿真图形的文字标注不是通过语句来完成的，而是通过MATLAB绘图窗口上的工具按钮来实现的，这样标注较方便、灵活些。这些结果可以用simulink仿真得到，但是利用该程序还可以精确的求出系统的极点和系统的能控矩阵的秩，从而分析系统的可控性，程序的执行结果如下：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证27一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

系统的极点为p=0，0，4.4272，3.5000，-4.4272，-3.5000，可见有两个不稳定的极点。系统的能控矩阵的秩f=4〈6，说明此系统状态不完全能控。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证28一阶直线双倒立摆系统的可控性研究四、仿真试验执行仿真程序，得到结果：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究四、仿真试验执行仿真程序，得29一阶直线双倒立摆系统的可控性研究系统的极点p=0，0，4.2866，3.3466，-4.2866，-3.3466。系统的能控矩阵的秩f=6，说明此系统状态完全能控。改变和的值，通过大量仿真试验，发现：只要，系统的能控矩阵的秩f=6，系统状态完全能控；而时，f<6，系统状态不完全能控，改变其它参数时不影响这一结论。虽然这只是有限次的仿真结果，但该结论在理论上是可以证明的，由于篇幅所限，我们不进一步探讨了。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究系统的极点p30一阶直线双倒立摆系统的可控性研究五、结论(1)本节所建立的模型在一定的条件下可以较精确的描述一阶直线双倒立摆系统。其中，线性化之前的模型精度较高些，它仅忽略了空气阻力和摩擦力，对于大范围的摆角变化都适用，和实际情况更接近些。但是，它是非线性的，分析起来不太方便。线性化之后的模型仅在摆角变化不大时才适用，通过它可以近似的分析系统的性能（如：稳定性、能控性），便于利用较成熟的线性系统理论设计控制器。设计好的控制律可以再用精确模型进行仿真(已经封装成模块，便于随时调用)，进一步调整。(2)一阶直线双倒立摆系统显然是自不稳定的，从线性化之后的模型得到的仿真结果看，它有两个不稳定的极点。(3)系统的能控性只与两个摆的摆长有关，只要，系统的能控矩阵的秩f=6，系统状态完全能控；而时，f<6，系统状态不完全能控。虽然这是用软件仿真得到的结果，而不是严格的证明，但它比理论上的推导更方便，可以快速得到结论，因此对于系统设计仍然具有很大的指导意义。(4)对于形状不规则的“摆杆”而言，、应理解为“摆杆”的质心到转动轴的距离，则上述能控性的结论仍是适用的。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究五、结论(1)本节所建立的31一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一、引言

二、系统建模2.1一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立2.2系统数学模型的线性化三、仿真实验

3.1精确模型的验证3.2线性化之后的模型的验证四、仿真实验

五、结论一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一、引言32一、引言

可控性从直观上讲，如果系统的每一个状态变量的运动都可以由输入来影响和控制，而由任意的始点到达原点，那么系统就是可控的，否则系统不完全可控。能否实现在保持两个摆杆不倒的前提下，实现小车的位置伺服控制。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统所要研究的问题：经验和直觉能不能实现分析与计算失效有效可控性研究一、引言可控性从直观上讲，如果系统的每一个状态变量的运动33二、系统建模

一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

一阶直线双倒立摆系统——小车的质量——小车的位置——拖动力——两个摆杆的质量——两个摆杆的长度——两个摆杆的转动惯量——两个摆杆与竖直向上方向的夹角忽略空气阻力以及摩擦力，可将一阶直线双倒立摆系统抽象成小车和两个匀质刚性杆组成的系统二、系统建模一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线34一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

对小车和摆杆分别进行受力分析，应用牛顿定律建立系统的动力学方程。小车的受力情况摆杆的受力情况(以左杆为例)和分别为左右两个摆杆对小车作用力的水平分量根据牛顿第二定律有：左右两个摆杆的受力情况大致相同，下面以左边的摆杆为例进行分析(用下标1、2来区分左、右摆杆)，受力情况如上图所示：和分别为小车对摆杆作用力的水平分量和竖直分量一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数35一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

摆杆的受力情况(以左杆为例)摆杆的质心B点相对于A点转动，相对线速度的大小为A点本身随小车以速度运动B点相对于地面的速度在x轴方向的分量为：B点在x轴方向的加速度为：B点相对于地面的速度在y轴方向的分量为：B点在y轴方向的加速度为：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数36一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

摆杆的受力情况(以左杆为例)摆杆的惯量：在、的作用下摆杆绕B点的转动方程：同理，对于右边的摆杆可得方程组：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数37一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数学模型的建立

对上述7个方程进行整理，消去中间变量，整理成只含有和F以及、、x及其导数的形式，即得到其模型：基本模型2.系统数学模型的线性化

当时，有近似关系：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1.一阶直线双倒立摆系统数38一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化

将近似关系代入原始模型过行整理有：反解出状态变量二次导数（加速度）：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化39一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化

将其整理成为状态空间表达式有：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2.系统数学模型的线性化40一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1．精确模型的验证

三、模型验证Simulink模型库进入Simulink工作空间在命令窗口中输入simulink后回车单击MATLAB工具栏中的simulink图标或在File菜单中选择new/model，打开一个新的空白窗口，命名为“shuangbai.mdl”一阶直线双倒立摆系统的可控性研究1．精确模型的验证三、模型41一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在simulink下编辑的双摆系统的精确模型积分器模块输入模块输出模块函数计算模块聚合模块以它为例一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在sim42一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型二合一聚合模块Fcn1实现的函数如下所示：以和为输入，计算的值。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型二合一F43一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型可否也这样实现呢？模型中的另一个方程代数环存在的充分必要条件是：存在一个闭合路径，该闭合路径中的每一个模块都是直通模块。上式与前式构成一个代数环，Simulink无法正常计算。代数环(AlgebraicLoop)一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型可否也这44一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在选项中启用代数环错误检查：simulation/parameters菜单窗口一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型在选项中45一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型解决代数环问题：存在双向直接反馈代数环路无双向直接反馈代数环路一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型解决代数46一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型模型封装：选中系统的所有模块，在菜单栏选择Edit/CreateSubsystem，即可建立一个子系统。用鼠标选中该子系统，再选择Edit/MaskSubsystem，弹出模块封装设计界面：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型模型封装47一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型注意：封装时参数名必须和步骤2中表达式里的参数名相同，另外，simulink对参数名不区分大小写。封装好后的模块双击一阶直线双倒立摆系统的可控性研究编辑双摆系统的模型48一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的仿真框图示波器阶跃信号一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的仿真框图49一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的阶跃响应曲线(初始摆角为180度)可见，位移曲线加速增长，而两个摆角的响应曲线重合，在某个大于180度的角度附近作等幅振荡。这是两个摆杆的参数相同，而又不计空气阻力所造成的结果(相当于两个相同的一阶倒立摆)。在考虑空气阻力的情况下，摆角应该做减幅振荡，最终稳定在某个大于180度(3.14弧度)的角度。从图中可以读出摆角的最大值和最小值分别为约3.64弧度和3.14弧度，平均值为3.39弧度。而利用牛顿定律可以求出在这一特殊条件下，稳态时摆杆的摆角约为3.391367弧度，这说明前面所建立的精确模型是可信的。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究仿真验证精确模型的阶跃响应曲50一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究51一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究52一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究53一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

精确模型的阶跃响应曲线(初始摆角为0度)线性化之后的模型的阶跃响应曲线(初始摆角为0度)从图中可知在摆角变化不大(摆角〈10度时)，精确模型和线性化之后的模型的阶跃响应基本相同，但角度越大，后者的误差就越大。但是，两者都反映出当初始摆角为0度时，该系统是不稳定的。一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证54一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究55一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究56一阶直线双倒立摆系统的可控性研究一阶直线双倒立摆系统的可控性研究57一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

上述仿真图形的文字标注不是通过语句来完成的，而是通过MATLAB绘图窗口上的工具按钮来实现的，这样标注较方便、灵活些。这些结果可以用simulink仿真得到，但是利用该程序还可以精确的求出系统的极点和系统的能控矩阵的秩，从而分析系统的可控性，程序的执行结果如下：一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证58一阶直线双倒立摆系统的可控性研究2．线性化之后的模型的验证

系统的极点为p=0，0，4.4272，3.5000，-4.4272，-3.5000，