量子力学基础课件

作业:

15-T12,15-T13,15-T14,

15-T15,15-T16,

作业:

15-T12,15-T13,15-T14,

11广义的巴尔末公式：玻尔原子量子论的基本假设：定态跃迁轨道角动量量子化氢原子的轨道半径氢原子的能量=电子动能+电势能广义的巴尔末公式：玻尔原子量子论的基本假设：定态跃迁轨道角动254321n-13.6+13.06=-0.54例：处于基态的氢原子吸收13.06eV的能量后可激发到n=？的能级,当它跃迁回到基态时,可能辐射的光谱线有几条？-13.6=-0.54n2n=55-13.6+13.06=-0.54例：处于基态的氢原子吸收3例：按照玻尔理论求氢原子中电子在第n轨道上运动的磁矩。并证明电子在任何一个轨道上运动时的磁矩与角动量之比为一个常数。解：电子在圆周轨道的运动会构成环形电流。其中电子轨道角动量例：按照玻尔理论求氢原子中电子在第n轨道上运动的磁矩。并证明4第六篇

量子物理量子力学基础第六篇

量子物理量子力学基础5光波动性+粒子性第1节微观粒子的波粒二象性

Wave-ParticleDuality一、德布罗意波——物质波德布罗意方程实物粒子（电子、质子）波动的性质？我认为:微观粒子与光子一样，既具有粒子性，也具有波动性，即都是波粒二象性粒子——波粒子。光波动性+粒子性第1节微观粒子的波粒二象性6（1）一个质量为m的实物粒子具有波动性，其对应的波称为“物质波”(德布罗意波)假设的要点：（2）一个沿x轴正向运动、能量为E、动量为p的自由粒子对应沿x轴正向传播的单色平面物质波

以速度v运动，静止质量为mo的自由粒子，德布罗意波波长为：德布罗意公式（1）一个质量为m的实物粒子具有波动性，其对应的波称为“物质7例

（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波长。子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！（2）电子质量m0=9.110-31kg，Ek=100eV的电子的物质波波长：此波长的数量级与X射线波长的数量级相当.例（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波8如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——玻尔轨道角动量量子化条件例德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。两端固定的弦长，等于波长整数倍则可形成稳定的驻波.如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——9量子围栏镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧穿显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。量子围栏镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧穿显10实验原理：二、电子衍射实验电子束垂直投射到镍单晶表面，用探测器在不同方向上测量散射电子束的强度。实验结果：由德布罗意公式和上面衍射公式分别计算电子束的波长，两者十分吻合。实验原理：二、电子衍射实验电子束垂直投射到镍单晶表面11电子不仅在反射时有衍射现象，英国的汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。X射线衍射图样电子束衍射图样戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金电子不仅在反射时有衍射现象，英国的汤姆逊实验12第一级最大的条件是：按德布罗意公式：解：

例电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角为，铝的晶格常量d为4.05×10-10m，试估算电子速度。dd问题：为何不考虑相对论效应？第一级最大的条件是：按德布罗意公式：解：13第2节不确定关系

UncertaintyRelation经典粒子(质点)：微观粒子(如电子)？质点的运动时，其坐标和动量是可以同时被测定的（波粒二象性）以电子的单缝衍射为例说明（a为缝宽）对落在中央明纹范围内的电子：坐标不确定量a动量不确定量第2节不确定关系经典粒子(质点)：微观粒子(如电子)？质14考虑到落在中央明纹以外区域的电子：故有：三维情形：不确定关系也可写为：海森伯“不确定关系”的数学表达式考虑到落在中央明纹以外区域的电子：故有：三维情形：不确定关系152.当时，可作为经典粒子处理。1.对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。因此，微观粒子：(1)没有“轨道”，(2)不可能静止（对任何惯性系）。说明3.能量和时间的不确定关系：为原子激发态的能级宽度为原子处于该激发态的平均寿命2.当16例.试比较电子和质量为10g的子弹的位置的不确定量。假定都在x方向以v=200m/s的速度运动，速度的误差在0.01%以内。根据测不准关系：子弹的波动性可忽略

对子弹：解：电子线度约1015无法确定令：对电子有：例.试比较电子和质量为10g的子弹的位置的根据测不准关系：子17例估算禁闭在原子核中的电子动能。理论证明，具有这样大的动能电子足以把原子核击碎，所以电子不可能禁闭在原子核中。原子核线度的数量级为解：由于电子动量不可能小于其不确定度例估算禁闭在原子核中的电子动能。理论证明，具有这样大的动能18一、波粒二象性的统计解释波粒子不是经典的粒子有确定位置和运动轨道波粒子不是经典的波某实际的物理量振动在空间的传播1926年玻恩提出德布罗意波是概率波.

概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.第3节波函数

WaveFunctions一、波粒二象性的统计解释波粒子不是经典的粒子有确定位置和运动19电子双缝干涉实验约恩孙(C.Jonsson)1961年I大数目多机会大大量电子运动的统计规律

从统计上可以解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.电子在空间的位置是不确定的，但有一定的几率分布。电子双缝干涉实验约恩孙(C.Jonsson)1961年I大20

由经典物理知,频率为、波长为、沿x方向传播的波可表示为：其复数形式为：对于与自由粒子对应的平面波,还具有微粒性德布罗意方程式:代入上式——自由粒子德布罗意波的波函数得：二、波函数由经典物理知,频率为、波长为、沿x方21波函数模的平方代表t时刻，在处粒子出现的几率密度。t时刻粒子出现在附近dV体积内的几率为：波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。三、波函数的统计意义在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.波函数模的平方代表t时刻22四、波函数满足的条件2.波函数的归一化条件

粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小,粒子在整个空间出现的几率为:波函数必须满足：单值、有限和连续1.波函数的标准化条件四、波函数满足的条件2.波函数的归一化条件23xxxx问题：下面四种曲线哪种可能是表示波函数？xxxx问题：下面四种曲线哪种可能是表示波函数？24试求：（1）常数A；（2）粒子在0到a/2区域出现的概率；

（3）粒子在何处出现的概率最大？解:（1）由归一化条件得:（2）粒子的概率密度为:例作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。已知其波函数为

试求：（1）常数A；解:（1）由归一化条件得:（2）粒子的25在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为（3）概率最大的位置应满足因0<x<a,故得粒子出现的概率最大。在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为（3）概率最大的位置26实物粒子的波粒二象性宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：微观粒子运动状态的描述：运动规律的描述：波函数Y薛定谔方程有确定的轨道、坐标和动量同时确定没有轨道自由粒子的波函数Y2波函数模的平方代表t时刻，在处粒子出现的几率密度。实物粒子的波粒二象性宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：27例如：第4节薛定谔方程

Schrödinger’s

Equation

一、算符若，则称为算符。微分算符，劈形算符拉普拉斯算符例如：第4节薛定谔方程一、算符若28位矢算符动量算符动能算符哈密顿算符位矢算符动量算符动能算符哈密顿算符29若算符作用在某函数j上的效果同j和某一常量的乘积相当，即则F称为的本征值，j称为F的本征函数,它所描述的状态称为F的本征态，相应的方程称为本征方程。若算符作用在某函数j上的效果同j和某一常量的乘积相当，即30由波函数：对低速自由运动粒子：代入上式可得：二、薛定谔方程一维自由粒子波函数满足的方程由波函数：对低速自由运动粒子：代入上式可得：二、薛定谔方程一31波函数满足的方程为：上式扩展到三维空间即为薛定谔方程：粒子在保守势场V中运动，则粒子能量：哈密顿算符波函数满足的方程为：上式扩展到三维空间即为薛定谔方程：粒子在32三、定态薛定谔方程

当粒子所在的力场不随时间变化时，V(r)与时间无关。薛定谔方程可化简,设波函数为：带入方程:得：三、定态薛定谔方程当粒子所在的力场不随时间变化时，33满足上式方程组的解：定态薛定谔方程定态波函数粒子出现在空间的概率密度：粒子出现在空间的概率与时间无关——定态。y满足上式方程组的解：定态薛定谔方程定态波函数粒子出现在空间的34第5节一维无限深势阱中的粒子运动ParticlesinOne-DimensionalInfinitePotentialWell设粒子处在势阱V(x)中(定态问题)在阱外：在阱内,粒子的定态薛定谔方程为：其通解为：0其他不可能出现xxx第5节一维无限深势阱中的粒子运动设粒子处在势阱V35边界条件（连续）由(1)可得：由(2)可得：则：归一化条件：势阱中电子的波函数：边界条件（连续）由(1)可得：由(2)可得：则：归一化条件：36

n称为量子数,能量由n决定,只能取一系列分立的值——能级。对不同的n可得粒子的能级图:粒子的能量量子化能量本征值n称为量子数,对不同的n可得粒子的能级图:粒子的能量量子化37（3）当时可看成能级连续分布，即此时与经典力学等价！不存在此状态！讨论：（1）n=0时,（2）n=1时,能量最小，称为零点能（基态能）阱越窄，粒子运动越剧烈粒子质量越小，粒子运动越剧烈（3）当时可看成能级连续分布，38（4）粒子出现的概率不均匀on+1个节点问题：n？（4）粒子出现的概率不均匀on+1个节点问题：n？39（5）粒子的物质波在阱内形成驻波波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。由ka=n,满足驻波条件：（5）粒子的物质波在阱内形成驻波波函数为频率相同、40（6）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。经典理论无法解释，实验得到证实。（6）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱41例

一质量为m的粒子处在宽为L的一维无限深势阱中，求：(1)粒子在区间内出现的概率，并在n=1和n=分别求出概率值；(1)粒子的定态波函数为解：例一质量为m的粒子处在宽为L的一维42解：粒子在L/4处的概率密度为

其极大值对应(2)哪些量子态在L/4处出现的概率最大？解：粒子在L/4处的概率密度为其极大值对应(2)哪些量子43解：

n=2时粒子的概率密度分布为

其极大值对应(3)n=2

时何处发现粒子的概率最大？解：n=2时粒子的概率密度分布为其极大值对应(3)44一维方势垒（potentialbarrier）按照经典力学：当E>U0时，粒子可以进入x>0的Ⅱ区；当E<U0时，粒子不可能进入x>0的Ⅱ区，在垒壁处粒子被反弹回x<0区。对于从Ⅰ区沿x方向运动的粒子，ⅠⅡⅢ第7节一维势垒

One-DimensionalPotentialBarrier一维方势垒（potentialbarrier）按照经典力学45量子力学结果如何？(E<U0时)定态薛定谔方程令ⅠⅡⅢ量子力学结果如何？(E<U0时)定态薛定谔方程令Ⅰ46解为ⅠⅡⅢ解为ⅠⅡⅢ47Ⅲ区无反射波，其他待定常数由边界条件确定。xU=U0U=0Oa(x）在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒，称为隧道效应（tunneleffect）。贯穿系数Ⅲ区无反射波，其他待定常数由边界条件确定。xU=U0U=048贯穿系数可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率T越大。例如：电子

a=2×10-10

m,(U0﹣E)

=1

eV→T≈0.51a=5×10-10

m,(U0﹣E)

=1

eV→T≈0.024贯穿系数可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率491.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流I越大。扫描隧穿显微镜（STM）扫描隧穿显微镜(ScanningTunnelingMicroscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。扫描隧穿显微镜原理图1.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之50硅晶体表面的STM扫描图像STM扫描图像0509030(nm)70硅晶体表面的STM扫描图像STM扫描图像0509030(nm51一维谐振子的势能：定态薛定谔方程：其能量本征值为能级间隔均匀能量是量子化的第6节简谐振子HarmonicOscillators一维谐振子的势能：定态薛定谔方程：其能量本征值为能级间隔均52基态能(零点能)不为零E0E1E2E3U(x)EOx微观粒子不可能静止！基态能(零点能)不为零E0E1E2E3U(x)EOx微观粒子53高能态（n→∞）的概率分布过度到经典概率分布。线性谐振子位置几率密度:n=0高能态（n→∞）的概率分布过度到经典概率分布。线性谐振子位54复习薛定谔方程定态薛定谔方程：势场不随时间变化而变化粒子出现在空间的概率与时间无关——定态。复习薛定谔方程定态薛定谔方程：势场不随时间变化而变化粒子出现55sin(x)分区讨论复习确定势场一维无限深势阱解偏微分方程确定常数（利用波函数条件）能量本征值

2napf(x)=a0其他sin(x)分区讨论复习确定势场一维无限深势阱解56一、氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程采用球坐标（r、、）第8节氢原子的量子力学处理QuantumMechanicsoftheHydrogenAtom一、氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程采57设波函数定态薛定谔方程变为采用分离变量法可得到三个常微分方程。设波函数定态薛定谔方程变为采用分离变量法可得到三个常微分方程58三个常微分方程：解三个方程，考虑到波函数应满足的标准化条件，可得波函数(r,,)，并很自然地得到氢原子的量子化特征。三个常微分方程：解三个方程，考虑到波函数应满足的标准化条件，59二、量子化条件和量子数1.能量量子化——主量子数n得到氢原子能量必须满足量子化条件：称为主量子数。须满足标准化条件，当时，En连续值。同玻尔得到的氢原子的能量公式一致；eV6.1312n-=1822204nhme-=e132222024nmeEn-=ehpK、L、M…常表示为：二、量子化条件和量子数1.能量量子化——主量子数n得到氢602.电子轨道角动量(大小)的量子化——角量子数l

s、p、d、f,…玻尔理论：

l受n

限制常表示为：1s2s、2p称为角量子数电子轨道角动量大小必须满足量子化：无确定轨道、非经典n个2.电子轨道角动量(大小)的量子化——角量子数ls、p613.电子轨道角动量的空间量子化——磁量子数ml角动量在空间的取向也是量子化的。对于一定的角量子数l，磁量子数ml可取(2l+1)个值，角动量在空间z方向的取向只有(2l+1)种可能。(2l+1)个电子轨道角动量在空间某一特定方向（例如外磁场方向）

z轴上的投影须满足量子化：3.电子轨道角动量的空间量子化——磁量子数ml角动量在空620-2Lz=2-z例角动量空间量子化的示意图例已知n，则氢原子一共有多少个量子态解：

n=2l=0，1ml=0，1，-1200相同能量的不同量子态——简并态hh2,,0±±=zLh6=L2=l21021121-10-2Lz=2-z例角动量空间量子化的示意图例63例

设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向。解：

角动量的大小：

l=1，ml的可能值是-1,0,+1，2p：

n=2,

l=1氢原子的能量：角动量方向与外磁场的夹角可能值为

l例设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角64例

氢原子中电子的主量子数为n=5，则其角量子数l可取__________,若l=3，则轨道角动量在空间磁场方向的分量的取值可能________________。0,1,2,3,40,±h,±2h,±3h例氢原子中电子的主量子数为n=5，则其角量子数l可取_652.角量子数：

l=0,1,2,3,…,n-13.轨道磁量子数：三个量子数（n，l，ml）给出相应定态波函数1.主量子数：n=1,2,3,…l总结：2.角量子数：3.轨道磁量子数：三个量子数（n，l，66三、氢原子中电子的概率分布电子的定态波函数：称为径向波函数；称为角向波函数。电子出现在空间（r,,）处附近小体积元dV中的概率为三、氢原子中电子的概率分布电子的定态波函数：称为径向波函数；67……其中a0=0h2/me2

为玻尔半径。…………其中a0=0h2/me2为玻尔半径。……68电子径向概率分布电子沿径向的概率分布是连续的——不同于经典的轨道概念。在基态，电子在r=a0处出现的概率最大，与经典轨道对应。结论：量子力学认为电子在玻尔轨道上的那些点出现的概率最大，但是也有可能出现在别处。

电子在（角度任意）半径为r，径向厚度为r→dr的球壳内的出现的概率1drr电子径向概率分布电子沿径向的概率分布是连续的——不同于经典的69电子角向概率分布电子在（半径任意）（q→q+dq,

j→j

+dj）内即（q，j

）方向附近立体角元出现的概率三维概率分布概率云(电子云)电子角向概率分布电子在（半径任意）（q→q+dq,70例证明:氢原子2p态径向概率密度的最大值分别位于距核4ao处。其中2p态波函数径向部分为式中ao

为玻尔半径。解：在半径为rr+dr的

球壳空间内2p电子出现的概率为:例证明:氢原子2p态径向概率密度的最大值分别位于距核71令解出

故r=4ao处为一概率密度极大值。令解出故r=4ao处为一概率密度极大值。72一、施特恩－格拉赫实验实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂为两束。实验目的：验证电子轨道角动量的空间取向量子化第9节电子的自旋四个量子数

ElectronSpintheFourQuantumNumbers一、施特恩－格拉赫实验实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂73电子有确定角动量，就有确定的磁矩实验原理：电子所受外磁场的力可见，磁矩（角动量）与外磁场方向不同，力不同穿过非均匀磁场过程中会发生偏转如果取向非量子化，任意取值，F任意如果取向量子化，只能有几个确定方向的F从而验证电子轨道角动量的空间取向量子化电子有确定角动量，就有确定的磁矩实验原理：电子所受外74但实验结果说明银原子有磁矩，而且沿外磁场方向有两个分量（银原子分裂为两束）。对应的“角动量”在外磁场方向上的分量取2x+1=2种，或x=1/2。实验用的银原子大部分处在基态（l=0），无磁矩，银原子不应该受到磁力的偏转。实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂为两束。但实验结果说明银原子有磁矩，而且沿外磁场方向有两个分量（银原75二、电子的自旋

1925年，乌伦贝克(G.E.Uhlenbeck)和哥德斯密特(S.A.Goudsmit)在分析上述实验的基础上提出电子自旋的假说：电子除了“轨道”运动还有一种内秉的运动，称为自旋。相应地有自旋角动量S和自旋磁矩Ms。自旋“量子数”取电子的自旋角动量的描述和轨道角动量的描述相同称为自旋量子数

二、电子的自旋1925年，乌伦贝克(G.E.Uhlenb76仿照电子的轨道运动，电子自旋角动量在z方向(外磁场方向)的分量也是量子化的：称为自旋磁量子数

仿照电子的轨道运动，电子自旋角动量在z方向(外磁场方向)的77自旋与轨道磁矩的相互耦合，的能级产生分裂。由电子自旋可以解释光谱线分裂的双线现象：例：在钠光谱中，主线系第一条谱线（钠黄线）是由之间的跃迁所产生的，它其实由两条谱线组成。波长是。试用电子自旋解释双线产生的原因。自旋向上自旋向下自旋与轨道磁矩的相互耦合，的能级产生分裂。由782.角量子数：

l=0,1,2,3,…,n-13.轨道磁量子数：三、四个量子数电子的运动状态由四个量子数决定1.主量子数：n=1,2,3,…4.自旋磁量子数2.角量子数：3.轨道磁量子数：三、四个量子数电子的79第10节多电子原子壳层结构

Many-ElectronAtomsShells

在含有多个电子的原子中,每个电子在受到核的作用的同时还受到其他电子的作用(复杂运动）。电子的状态仍由四个量子数决定，但电子能量不仅与n有关，还与l有关。一、电子状态描述二、原子的壳层结构1.主壳层：n相同的电子分布在同一主壳层上。n1234567KLMNOPQ第10节多电子原子壳层结构在含有802.支壳层：n相同，而l不同的电子分布在同一主壳层的不同支壳层上。l0123456spdfghin=1，l=0ml=0ms=1/2，-1/2K壳层——s次壳层：两个电子n=2，l=0ml=0ms=1/2，-1/2L壳层——s次壳层：两个电子n=2，l=1ml=-1，0，1，ms=1/2，-1/2L壳层——p次壳层：六个电子L壳层共有八个电子。2.支壳层：n相同，而l不同的电子分布在同一主壳层的不同支壳81三、电子的分布准则及规律泡利在1925年提出，在原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态。也就是说，原子中任何两个电子的量子数（n,l,ml,ms）不可能完全相同。(1)泡利不相容原理例：对于某一支壳层，对应的量子数为n和l，可容纳的电子数为例：对于某一主壳层n上可容纳的电子数为三、电子的分布准则及规律82

0123456Znspdfghi1,K2──────22,L26─────83,M2610────184,N261014───325,O26101418──506,P2610141822─727,Q26101418222698原子壳层和次壳层上最多可能态数

ln原子壳层和次壳层上最多可能电子数目

0123456Znspdfghi1,K2──────283

当原子处于正常状态时，原子中的电子尽可能地占据未被填充的最低能级，这一结论叫做能量最小原理。(2)能量最小原理主量子数n越大，能级越高。当n一定时，轨道量子数l越大，能级越高。能级判断法则：值较大者相应的能级较高。例：4s态3d态

84原子结构示意图价电子：最外层的电子，它决定原子的化学性质.原子结构示意图价电子：最外层的电子，它决定85作业:

15-T12,15-T13,15-T14,

15-T15,15-T16,

作业:

15-T12,15-T13,15-T14,

186广义的巴尔末公式：玻尔原子量子论的基本假设：定态跃迁轨道角动量量子化氢原子的轨道半径氢原子的能量=电子动能+电势能广义的巴尔末公式：玻尔原子量子论的基本假设：定态跃迁轨道角动8754321n-13.6+13.06=-0.54例：处于基态的氢原子吸收13.06eV的能量后可激发到n=？的能级,当它跃迁回到基态时,可能辐射的光谱线有几条？-13.6=-0.54n2n=55-13.6+13.06=-0.54例：处于基态的氢原子吸收88例：按照玻尔理论求氢原子中电子在第n轨道上运动的磁矩。并证明电子在任何一个轨道上运动时的磁矩与角动量之比为一个常数。解：电子在圆周轨道的运动会构成环形电流。其中电子轨道角动量例：按照玻尔理论求氢原子中电子在第n轨道上运动的磁矩。并证明89第六篇

量子物理量子力学基础第六篇

量子物理量子力学基础90光波动性+粒子性第1节微观粒子的波粒二象性

Wave-ParticleDuality一、德布罗意波——物质波德布罗意方程实物粒子（电子、质子）波动的性质？我认为:微观粒子与光子一样，既具有粒子性，也具有波动性，即都是波粒二象性粒子——波粒子。光波动性+粒子性第1节微观粒子的波粒二象性91（1）一个质量为m的实物粒子具有波动性，其对应的波称为“物质波”(德布罗意波)假设的要点：（2）一个沿x轴正向运动、能量为E、动量为p的自由粒子对应沿x轴正向传播的单色平面物质波

以速度v运动，静止质量为mo的自由粒子，德布罗意波波长为：德布罗意公式（1）一个质量为m的实物粒子具有波动性，其对应的波称为“物质92例

（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波长。子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！（2）电子质量m0=9.110-31kg，Ek=100eV的电子的物质波波长：此波长的数量级与X射线波长的数量级相当.例（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波93如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——玻尔轨道角动量量子化条件例德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。两端固定的弦长，等于波长整数倍则可形成稳定的驻波.如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——94量子围栏镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧穿显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。量子围栏镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧穿显95实验原理：二、电子衍射实验电子束垂直投射到镍单晶表面，用探测器在不同方向上测量散射电子束的强度。实验结果：由德布罗意公式和上面衍射公式分别计算电子束的波长，两者十分吻合。实验原理：二、电子衍射实验电子束垂直投射到镍单晶表面96电子不仅在反射时有衍射现象，英国的汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。X射线衍射图样电子束衍射图样戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金电子不仅在反射时有衍射现象，英国的汤姆逊实验97第一级最大的条件是：按德布罗意公式：解：

例电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角为，铝的晶格常量d为4.05×10-10m，试估算电子速度。dd问题：为何不考虑相对论效应？第一级最大的条件是：按德布罗意公式：解：98第2节不确定关系

UncertaintyRelation经典粒子(质点)：微观粒子(如电子)？质点的运动时，其坐标和动量是可以同时被测定的（波粒二象性）以电子的单缝衍射为例说明（a为缝宽）对落在中央明纹范围内的电子：坐标不确定量a动量不确定量第2节不确定关系经典粒子(质点)：微观粒子(如电子)？质99考虑到落在中央明纹以外区域的电子：故有：三维情形：不确定关系也可写为：海森伯“不确定关系”的数学表达式考虑到落在中央明纹以外区域的电子：故有：三维情形：不确定关系1002.当时，可作为经典粒子处理。1.对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。因此，微观粒子：(1)没有“轨道”，(2)不可能静止（对任何惯性系）。说明3.能量和时间的不确定关系：为原子激发态的能级宽度为原子处于该激发态的平均寿命2.当101例.试比较电子和质量为10g的子弹的位置的不确定量。假定都在x方向以v=200m/s的速度运动，速度的误差在0.01%以内。根据测不准关系：子弹的波动性可忽略

对子弹：解：电子线度约1015无法确定令：对电子有：例.试比较电子和质量为10g的子弹的位置的根据测不准关系：子102例估算禁闭在原子核中的电子动能。理论证明，具有这样大的动能电子足以把原子核击碎，所以电子不可能禁闭在原子核中。原子核线度的数量级为解：由于电子动量不可能小于其不确定度例估算禁闭在原子核中的电子动能。理论证明，具有这样大的动能103一、波粒二象性的统计解释波粒子不是经典的粒子有确定位置和运动轨道波粒子不是经典的波某实际的物理量振动在空间的传播1926年玻恩提出德布罗意波是概率波.

概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.第3节波函数

WaveFunctions一、波粒二象性的统计解释波粒子不是经典的粒子有确定位置和运动104电子双缝干涉实验约恩孙(C.Jonsson)1961年I大数目多机会大大量电子运动的统计规律

从统计上可以解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.电子在空间的位置是不确定的，但有一定的几率分布。电子双缝干涉实验约恩孙(C.Jonsson)1961年I大105

由经典物理知,频率为、波长为、沿x方向传播的波可表示为：其复数形式为：对于与自由粒子对应的平面波,还具有微粒性德布罗意方程式:代入上式——自由粒子德布罗意波的波函数得：二、波函数由经典物理知,频率为、波长为、沿x方106波函数模的平方代表t时刻，在处粒子出现的几率密度。t时刻粒子出现在附近dV体积内的几率为：波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。三、波函数的统计意义在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.波函数模的平方代表t时刻107四、波函数满足的条件2.波函数的归一化条件

粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小,粒子在整个空间出现的几率为:波函数必须满足：单值、有限和连续1.波函数的标准化条件四、波函数满足的条件2.波函数的归一化条件108xxxx问题：下面四种曲线哪种可能是表示波函数？xxxx问题：下面四种曲线哪种可能是表示波函数？109试求：（1）常数A；（2）粒子在0到a/2区域出现的概率；

（3）粒子在何处出现的概率最大？解:（1）由归一化条件得:（2）粒子的概率密度为:例作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。已知其波函数为

试求：（1）常数A；解:（1）由归一化条件得:（2）粒子的110在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为（3）概率最大的位置应满足因0<x<a,故得粒子出现的概率最大。在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为（3）概率最大的位置111实物粒子的波粒二象性宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：微观粒子运动状态的描述：运动规律的描述：波函数Y薛定谔方程有确定的轨道、坐标和动量同时确定没有轨道自由粒子的波函数Y2波函数模的平方代表t时刻，在处粒子出现的几率密度。实物粒子的波粒二象性宏观物体运动状态的描述：运动规律的描述：112例如：第4节薛定谔方程

Schrödinger’s

Equation

一、算符若，则称为算符。微分算符，劈形算符拉普拉斯算符例如：第4节薛定谔方程一、算符若113位矢算符动量算符动能算符哈密顿算符位矢算符动量算符动能算符哈密顿算符114若算符作用在某函数j上的效果同j和某一常量的乘积相当，即则F称为的本征值，j称为F的本征函数,它所描述的状态称为F的本征态，相应的方程称为本征方程。若算符作用在某函数j上的效果同j和某一常量的乘积相当，即115由波函数：对低速自由运动粒子：代入上式可得：二、薛定谔方程一维自由粒子波函数满足的方程由波函数：对低速自由运动粒子：代入上式可得：二、薛定谔方程一116波函数满足的方程为：上式扩展到三维空间即为薛定谔方程：粒子在保守势场V中运动，则粒子能量：哈密顿算符波函数满足的方程为：上式扩展到三维空间即为薛定谔方程：粒子在117三、定态薛定谔方程

当粒子所在的力场不随时间变化时，V(r)与时间无关。薛定谔方程可化简,设波函数为：带入方程:得：三、定态薛定谔方程当粒子所在的力场不随时间变化时，118满足上式方程组的解：定态薛定谔方程定态波函数粒子出现在空间的概率密度：粒子出现在空间的概率与时间无关——定态。y满足上式方程组的解：定态薛定谔方程定态波函数粒子出现在空间的119第5节一维无限深势阱中的粒子运动ParticlesinOne-DimensionalInfinitePotentialWell设粒子处在势阱V(x)中(定态问题)在阱外：在阱内,粒子的定态薛定谔方程为：其通解为：0其他不可能出现xxx第5节一维无限深势阱中的粒子运动设粒子处在势阱V120边界条件（连续）由(1)可得：由(2)可得：则：归一化条件：势阱中电子的波函数：边界条件（连续）由(1)可得：由(2)可得：则：归一化条件：121

n称为量子数,能量由n决定,只能取一系列分立的值——能级。对不同的n可得粒子的能级图:粒子的能量量子化能量本征值n称为量子数,对不同的n可得粒子的能级图:粒子的能量量子化122（3）当时可看成能级连续分布，即此时与经典力学等价！不存在此状态！讨论：（1）n=0时,（2）n=1时,能量最小，称为零点能（基态能）阱越窄，粒子运动越剧烈粒子质量越小，粒子运动越剧烈（3）当时可看成能级连续分布，123（4）粒子出现的概率不均匀on+1个节点问题：n？（4）粒子出现的概率不均匀on+1个节点问题：n？124（5）粒子的物质波在阱内形成驻波波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。由ka=n,满足驻波条件：（5）粒子的物质波在阱内形成驻波波函数为频率相同、125（6）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。经典理论无法解释，实验得到证实。（6）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱126例

一质量为m的粒子处在宽为L的一维无限深势阱中，求：(1)粒子在区间内出现的概率，并在n=1和n=分别求出概率值；(1)粒子的定态波函数为解：例一质量为m的粒子处在宽为L的一维127解：粒子在L/4处的概率密度为

其极大值对应(2)哪些量子态在L/4处出现的概率最大？解：粒子在L/4处的概率密度为其极大值对应(2)哪些量子128解：

n=2时粒子的概率密度分布为

其极大值对应(3)n=2

时何处发现粒子的概率最大？解：n=2时粒子的概率密度分布为其极大值对应(3)129一维方势垒（potentialbarrier）按照经典力学：当E>U0时，粒子可以进入x>0的Ⅱ区；当E<U0时，粒子不可能进入x>0的Ⅱ区，在垒壁处粒子被反弹回x<0区。对于从Ⅰ区沿x方向运动的粒子，ⅠⅡⅢ第7节一维势垒

One-DimensionalPotentialBarrier一维方势垒（potentialbarrier）按照经典力学130量子力学结果如何？(E<U0时)定态薛定谔方程令ⅠⅡⅢ量子力学结果如何？(E<U0时)定态薛定谔方程令Ⅰ131解为ⅠⅡⅢ解为ⅠⅡⅢ132Ⅲ区无反射波，其他待定常数由边界条件确定。xU=U0U=0Oa(x）在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒，称为隧道效应（tunneleffect）。贯穿系数Ⅲ区无反射波，其他待定常数由边界条件确定。xU=U0U=0133贯穿系数可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率T越大。例如：电子

a=2×10-10

m,(U0﹣E)

=1

eV→T≈0.51a=5×10-10

m,(U0﹣E)

=1

eV→T≈0.024贯穿系数可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率1341.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流I越大。扫描隧穿显微镜（STM）扫描隧穿显微镜(ScanningTunnelingMicroscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。扫描隧穿显微镜原理图1.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之135硅晶体表面的STM扫描图像STM扫描图像0509030(nm)70硅晶体表面的STM扫描图像STM扫描图像0509030(nm136一维谐振子的势能：定态薛定谔方程：其能量本征值为能级间隔均匀能量是量子化的第6节简谐振子HarmonicOscillators一维谐振子的势能：定态薛定谔方程：其能量本征值为能级间隔均137基态能(零点能)不为零E0E1E2E3U(x)EOx微观粒子不可能静止！基态能(零点能)不为零E0E1E2E3U(x)EOx微观粒子138高能态（n→∞）的概率分布过度到经典概率分布。线性谐振子位置几率密度:n=0高能态（n→∞）的概率分布过度到经典概率分布。线性谐振子位139复习薛定谔方程定态薛定谔方程：势场不随时间变化而变化粒子出现在空间的概率与时间无关——定态。复习薛定谔方程定态薛定谔方程：势场不随时间变化而变化粒子出现140sin(x)分区讨论复习确定势场一维无限深势阱解偏微分方程确定常数（利用波函数条件）能量本征值

2napf(x)=a0其他sin(x)分区讨论复习确定势场一维无限深势阱解141一、氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程采用球坐标（r、、）第8节氢原子的量子力学处理QuantumMechanicsoftheHydrogenAtom一、氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程采142设波函数定态薛定谔方程变为采用分离变量法可得到三个常微分方程。设波函数定态薛定谔方程变为采用分离变量法可得到三个常微分方程143三个常微分方程：解三个方程，考虑到波函数应满足的标准化条件，可得波函数(r,,)，并很自然地得到氢原子的量子化特征。三个常微分方程：解三个方程，考虑到波函数应满足的标准化条件，144二、量子化条件和量子数1.能量量子化——主量子数n得到氢原子能量必须满足量子化条件：称为主量子数。须满足标准化条件，当时，En连续值。同玻尔得到的氢原子的能量公式一致；eV6.1312n-=1822204nhme-=e132222024nmeEn-=ehpK、L、M…常表示为：二、量子化条件和量子数1.能量量子化——主量子数n得到氢1452.电子轨道角动量(大小)的量子化——角量子数l

s、p、d、f,…玻尔理论：

l受n

限制常表示为：1s2s、2p称为角量子数电子轨道角动量大小必须满足量子化：无确定轨道、非经典n个2.电子轨道角动量(大小)的量子化——角量子数ls、p1463.电子轨道角动量的空间量子化——磁量子数ml角动量在空间的取向也是量子化的。对于一定的角量子数l，磁量子数ml可取(2l+1)个值，角动量在空间z方向的取向只有(2l+1)种可能。(2l+1)个电子轨道角动量在空间某一特定方向（例如外磁场方向）

z轴上的投影须满足量子化：3.电子轨道角动量的空间量子化——磁量子数ml角动量在空1470-2Lz=2-z例角动量空间量子化的示意图例已知n，则氢原子一共有多少个量子态解：

n=2l=0，1ml=0，1，-1200相同能量的不同量子态——简并态hh2,,0±±=zLh6=L2=l21021121-10-2Lz=2-z例角动量空间量子化的示意图例148例

设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向。解：

角动量的大小：

l=1，ml的可能值是-1,0,+1，2p：

n=2,

l=1氢原子的能量：角动量方向与外磁场的夹角可能值为

l例设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角149例

氢原子中电子的主量子数为n=5，则其角量子数l可取__________,若l=3，则轨道角动量在空间磁场方向的分量的取值可能________________。0,1,2,3,40,±h,±2h,±3h例氢原子中电子的主量子数为n=5，则其角量子数l可取_1502.角量子数：

l=0,1,2,3,…,n-13.轨道磁量子数：三个量子数（n，l，ml）给出相应定态波函数1.主量子数：n=1,2,3,…l总结：2.角量子数：3.轨道磁量子数：三个量子数（n，l，151三、氢原子中电子的概率分布电子的定态波函数：称为径向波函数；称为角向波函数。电子出现在空间（r,,）处附近小体积元dV中的概率为三、氢原子中电子的概率分布电子的定态波函数：称为径向波函数；152……其中a0=0h2/me2

为玻尔半径。…………其中a0=0h2/me2为玻尔半径。……153电子径向概率分布电子沿径向的概率分布是连续的——不同于经典的轨道概念。在基态，电子在r=a0处出现的概率最大，与经典轨道对应。结论：量子力学认为电子在玻尔轨道上的那些点出现的概率最大，但是也有可能出现在别处。

电子在（角度任意）半径为r，径向厚度为r→dr的球壳内的出现的概率1drr电子径向概率分布电子沿径向的概率分布是连续的——不同于经典的154电子角向概率分布电子在（半径任意）（q→q+dq,

j→j

+dj）内即（q，j

）方向附近立体角元出现的概率三维概率分布概率云(电子云)电子角向概率分布电子在（半径任意）（q→q+dq,155例证明:氢原子2p态径向概率密度的最大值分别位于距核4ao处。其中2p态波函数径向部分为式中ao

为玻尔半径。解：在半径为rr+dr的

球壳空间内2p电子出现的概率为:例证明:氢原子2p态径向概率密度的最大值分别位于距核156令解出

故r=4ao处为一概率密度极大值。令解出故r=4ao处为一概率密度极大值。157一、施特恩－格拉赫实验实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后分裂为两束。实验目的：验证电子轨道角动量的空间取向量子化第9节电子的自旋四个量子数

ElectronSpintheFourQuantumNumbers一、施特恩－格拉赫实验实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后