空间向量及其运算（课时训练） 【含答案】 高二数学上学期对点训练（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量及其运算A组基础巩固1．（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，为棱的中点，若，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：．故选：B2．（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断.【详解】如图，，所以A错误；，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误；故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．【详解】由题意和空间向量的共面定理，结合向量（）+（）＝2，得与是共面向量，同理与是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．4．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.【详解】，故，，，即故选：.5．（2022·全国·高二课时练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，所以，因为D是PG上的一点，且，所以，因为，所以,因为，所以，所以为，故选：B6．（2022·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（

）A．、、共线 B．、共线C．、共线 D．O、A、B、C四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理判断．【详解】由空间向量基本定理，对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则是共面向量，因此四点四点共面，故选：D．7．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【详解】，故选：C.8．（2021·辽宁·高二阶段练习）在三棱锥中，若，点为线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用基底分别表示向量、，再利用空间向量的减法可得结果.【详解】因为，则，因为为线段的中点，则，因此，.故选：B.9．（2022·全国·高二专题练习）如图，在长方体中，是线段中点，若，则（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.【详解】连接、，因为，因为是线段的中点，则，因此，因此，.故选：C.10．（2022·全国·高二课时练习）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.【详解】如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点，)=,.因为所以=3(),∴

.则，∴

，，，故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（

）A．－1 B． C． D．【答案】D【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值.【详解】因为，，所以，，因为与互相垂直，所以，解得，故选：D12．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）已知，且，则（

）A． B．C． D．x=1，y=-1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量，则，，因，于是得，解得，所以.故选：B13．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，且与互相垂直，则k的值为（

）A．－2 B．－ C． D．2【答案】A【分析】由题意，由空间向量的数量积运算可得答案.【详解】由与互相垂直，则，解得故选：A14．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.15．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若，则实数x的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】解方程即得解.【详解】解：因为，所以.故选：D16．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求出，再由夹角公式求解即可.【详解】由，解得，所以，，所以，因为，所以.故选：C17．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由数量投影的公式求解即可.【详解】由题意知：在的方向上的数量投影为.故选：C.18．（2022·全国·高二课时练习）设、，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.19．（2021·安徽省潜山第二中学高二阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出与的坐标，依题意，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，所以，，因为与垂直，所以，解得；故选：C20．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）的相等向量是______；（2）的相反向量是______；（3）的共线向量（平行向量）为______；（4）模为的向量是______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.【答案】

，，

，，，

，，，；

，，，，，，，

不共面【分析】（1）利用相等向量的定义直接判断；（2）利用相反向量的定义直接判断；（3）利用共线向量的定义直接判断；（4）求出长方体左、右两侧的面的对角线，直接判断；（5）利用共面向量的定义判断.【详解】（1）与相等的向量有，，.（2）的相反向量为，，.（3）的共线向量（平行向量）为，，，.（4）由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.（5）因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面.故答案为：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.21．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．【答案】##【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，所以，，所以，，因为，即，所以，，因为，即，所以，，可得，解得.故答案为：.22．（2022·全国·高二专题练习）已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则__．【答案】2【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出的值．【详解】因为，且，所以，解得故答案为：2．23．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.【答案】【分析】设，然后整理解方程组即可.【详解】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.故答案为：24．（2022·全国·高一）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）【答案】【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.【详解】根据题意，.故答案为：.25．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.【答案】【分析】由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.26．（2022·全国·高二课时练习）正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.【答案】【分析】根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.【详解】，，，，.故答案为：.27．（2022·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）①，，；

②，，；③，，；

④，，．【答案】③【分析】根据空间向量基本定理判断可得；【详解】解：由空间向量基本定理得：对于①，，所以，，三个向量共面；对于②，，所以，，三个向量共面；对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，且与、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；对于④，，所以，，三个向量共面，故答案为：③．28．（2021·辽宁实验中学高二期中）已如向量，，可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则___________.【答案】2【分析】根据题意得，再结合求解即可.【详解】解在基底下满足，所以，因为，所以，解得，所以故答案为：29．（2022·全国·高二课时练习）已知，，则_______.【答案】6【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由，，得，，..故答案为：.30．（2022·四川成都·高二期中（理））已知向量，，若与互相垂直，则___________.【答案】【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由题设可知：，因为与互相垂直，所以，即：，解得：，故答案为：31．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，若点P在直线OA上移动，则点P坐标可设为___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据向量共线设出点的坐标.【详解】由于在直线上移动，所以.故答案为：32．（2022·全国·高二单元测试）若、，P是AB上一点且，则点P的坐标为______．【答案】【分析】根据空间向量的共线定理，得出，再由向量坐标表示的运算性质求解即可．【详解】设，由题意得，，，即，解得：故答案为：．33．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知向量，，．若，则______．【答案】【分析】通过向量坐标的线性运算求出，再结合垂直关系的坐标表示即可得结果.【详解】因为，，，所以，又因为，所以，解得，故答案为：.

B组能力提升34．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）以下关于向量的说法正确的有（

）A．若＝，则＝B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C．若＝－且＝－，则=D．若与共线，与共线，则与共线【答案】AC【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.故选：AC.35．（2022·山东威海·高二期末）（多选题）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体的棱长为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，计算所需线段长度，即可计算相关向量的模长，和，内积.【详解】如下图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则，，，对于A：由于，所以，故A错误；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：因为底面BCD，底面BCD，所以，所以，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD36．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断.方法二：根据共面定理的推论可得.【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得，则，整理可得，对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误；对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确；对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确；对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误.故选：BC.方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面，则对于空间中任意一点，有，且满足，则由选项可得只有BC满足.故选：BC.37．（2022·全国·高二单元测试）(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A．AC1=6B．AC1⊥DBC．向量与的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为【答案】AB【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可.【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·=·=·=6×6×cos60°=18，(++)2=+++2·+2·+2·=36+36+36+3×2×18=216，则||=|++|=6，所以A正确；·=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0，所以B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D=60°.因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；因为=+-=+，所以||==6，||==6，·=(+-)·(+)=36，所以cos<>===，所以D不正确.故选:AB.38．（2022·广东梅州·高二期末）（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹长度为B．满足的点的轨迹长度为C．存在唯一的点满足D．存在点满足【答案】AC【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设，且，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，,且，故B错误；对于C，显然，只有时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误.故选：AC39．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为【答案】BD【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.40．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）（多选题）已知直线、的方向向量分别是，若且，则的值可以是（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】BC【分析】根据向量的垂直和模，列出方程，解方程可得答案.【详解】由得：，即，①由得：，②①②联立解得：，或故x+y的值可以是1或-1，故选：BC41．（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知空间向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据空间向量，可由，解得答案.【详解】由可得：，即，解得，又|b故选：AC.42．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）（多选题）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若非零向量，，满足，，则有B．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则C．空间向量，夹角的余弦值为D．已知，，若与垂直，则【答案】BCD【分析】对于A：与的位置关系不确定，根据空间向量基本定理判断B，根据空间向量夹角的坐标运算判断C，求出与的坐标，再根据得到方程，解得即可；【详解】解：对于A，若非零向量满足，则与的位置关系不确定，也有可能平行，故A错误；对于B，若向量与空间任意向量都不能构成基底，则只能两个向量是共线向量，故，故B正确；对于C：因为，，所以，，，设与的夹角为，则，故C正确；对于D：因为，，所以，，因为与垂直，所以，即，解得，故D正确；故选：BCD43．（2021·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选题）已知点，，向量，则下列选项正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】AC【分析】由题知，再依次求模可判断A，B选项，根据向量垂直的坐标表示解方程即可判断CD选项.【详解】解：因为点，，所以，所以，故A正确，B错误；若，则，得，故C正确，D错误．故选：AC44．（2022·全国·高二课时练习）已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．【答案】(1)25(2)或【分析】（1）根据空间向量的坐标线性运算与数量积公式求解即可；（2）根据垂直的数量积表示，结合向量的坐标公式求解即可（1）因为，，故，，故（2），，，因为，故，即，故，即，故或45．（2022·全国·高二课时练习）设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹