湖师范大学附属中学2022年高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。12560x1

152

163

184

20，x 22，x 24，x 25，则图中空白框中应填入（ ）5 6 7i6，SS7

i 6SS7

C．i6，S7S D．i 6，S7S 函数ycos2x 3sin2xx0,2的单调递增区间是（ ）A．0,

B．0,

C． ,

D． ,6

3

6 2

3 2ABCAB

CA

2CBACBC

所成的角的余弦值为（ ）1 1 1 1 1 1 54．(xx31)5展开项中的常数项为

C．2 5 D．35 5A．1 B．11 C．-19 D．51在中，“cosAcosB”是“sinAsinB的（ ）C．充分必要条件

必要而不充分条件D公元前51000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米当阿基里斯跑完下一个100米时乌龟先他10米当阿基里斯跑完个10米时乌龟先他1米 所以阿基里斯永远追不上乌按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）1051A． 米9001049C． 米900

1059B． 米901041D． 米90幻方500年的春秋时期《大戴礼》中．n阶幻方3,nN*”是由前n2个正整数组成的个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）“3阶幻方15（图所示．则“5的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．458．“b2是函数fx1x（为常数）为幂函的（ ）C．充要条件f(xsin(3x3

必要不充分条件D)的导函数f(x)的图像，只需将f(x)的图像（ ）向右平移3

3倍1个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍6 3向左平移

1个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍3 33倍6已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数则实数a等于( )3 4A． B．4 3

4C．-3

3D．-411ay

x2a在区间2,内单调递增的概率是（）xA．4 B．3 C．2 D．15 5 5 5f（x）＝sin2x+sin2（x3

，则（）的最小值为（ ）1 1A． B．2 442二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知抛物线C:y2

4xFF1的直线与抛物线CBABE上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(2,t)，则实数t的取值范围．fx

xlogx的定义域为 ．2如图，在平面四边形ABCD 中，点A，C是椭圆x2y2

1

在椭圆上，4 3，BADBCD，记ABC和ADC的面积分别为S S，，1 2

1 .SSS2ABCDABC

中，已知点P

上运动，则下列四个命题中：①三棱锥DC

BP的体积不1 1 1 1 1 1变②DPDC③当P为AB中点时二面角PAC C 的余弦值为

DPBP1 1 1 1 3的最小值为84 2；其中说法正确的（写出所有说法正确的编号三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知x,x,

0,xx

3xx

x

x

x

3.1 2 3

1 2 3

123

12 23 3118（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1

xacosybsin

ab0

为参数，在以O为极点，xC

2上的点M1, 对应的2

1 2参数

，射线4

与曲线C3

交于点D1, ．3 3求曲线CC1 2

的直角坐标方程；A，B为曲线

1 1上的两个点且OAOB，求 +

的值．1 |OA|OB19（12分）已知圆O经过椭圆：x2y21ab0)的两个焦点以及两个顶点，且点b,1在椭圆C上．a aa2 b2 1求椭圆C的方程；2若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且MN4，求直线l的倾斜角．320（12分）阶梯式电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不200度的部分按0.5元度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（I）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100的频率分布直方图，若这1001月份用电费用不超过260元的占80%，求ab的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100据用该组区间的中点代替，记Y1月份的用电费用，求Y.21（12分）已知函数f(x)ax(a1)lnx1，aR．x（1）当a1f(x的单调性；（2）a1x[1,2]F(xf(x412

F(x的最小值．x x2 x322（10分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时应抽查男生与女生各多少人？100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：时间（小时）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]频率0.050.200.300.250.150.05男女总生生计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计若在样本数据中有38男女总生生计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：K2

n(adbc)2P（K2≥k0）k0bcdcP（K2≥k0）k00.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879参考答案125601．A【解析】S

1x

202

202

202.7 1 2 7 【详解】7个数的方差，即输出的S1x

202

202

202，观察程序框图可知，应填入i6，SS，7A.【点睛】

7 1 2 7 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.2．D【解析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为ycos2x 3sin2x2sin(2x)2sin(2x)，由2k≤2x≤

2kkZ，解得6 6 2 6 2kx

kkZ，即函数的增区间为[

k,

kkZ，所以当k0时，增区间的一个子集为3 6 3 6 [ , ]3 2故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.3．A【解析】设CACC

2CB2A

DA

BD，连B,CD，可证

//BD，得到CBD（或补角）1 11

1 1 1 1 1 1为所求的角，分别求出BC

ABCD，解

BD即可.1 1 1 1【详解】设CACC

2CB2A

DA

BD，1 11 1 1 1连B,CD，在直三棱柱ABCABC中，AB//AB,ABAB，1 1 1 1

1 1 1 1AB//BDABBD

为平行四边形，1 1 1

//BD，CBD（或补角）

所成的角，1在Rt△BCC1

1BC1

1 1 CC2BC2 5，12Rt△ABC111

中，AB AC2BC211 1 1 1 1

5,cosBAC ，11 1 5在AC1 1

D中，CD2AC2AD22AC

ADcosBAC

420168，1 1 1 1

1 1 1

1 1 1Rt△AA

AA2AB2BD

3，1 1

1 11 1BCD

BC2BD2CD2 598 5在 中，cosCBD 1 1 .1故选：A.

1 2BC1

BD

6 5 5【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.4．B【解析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）51，即T1；（2）x，两个括号出(11，即TC2x2C2(1)2130；x 5 3 x（3）x，一个括号出(11，即TC1xC1(1120；x所以展开项中的常数项为T1302011B.【点睛】

5 4 x本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.5．C【解析】由余弦函数的单调性找出cosAcosBAB，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出cosAcosB是sinAsinB”的充分必要条件.【详解】ycosx在区间上单调递减，且0A0B，由cosAcosBAB，ab，由正弦定理可得sinAsinB.因此，cosAcosB”是sinAsinB的充分必要条件.C.【点睛】属于中等题.6．D【解析】根据题意，是一个等比数列模型，设a1再求和.

100,q

1,a10

，由an

100

1n10 10

，解得

n4，【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设a1

100,q

1,a0.1，10 n1n1所以a 0.1100 ，nn4，

10 1 a1q4所以

1001 10 1041.S 1

4故选：D

1q

1 1 9010【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.7．B【解析】计算12【详解】

25的和，然后除以5，得到“5阶幻方的幻和.12525依题意“5阶幻方的幻和为12 25 2 65，故选B.5 5【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n项和公式，属于基础题.8．A【解析】根据幂函数定义，求得b的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数fxb2bxa为幂函数时，2b2b11，解得b21，2∴“b2”是函数fxb2bxa为幂函数.故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.9．D【解析】先求得f'x，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】3x3cos3x3cos3x53sin3x3sin3x362663

，所以由f(x)sin(3x3

)向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到f'x的图像.6故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.10．A【解析】zaizz3a4，是实数得4a30，从而得解.2 1 2详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,zai.2zzi3a4，是实数，1 24a30，即a3.4故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.11．B【解析】函数y

x2a在区间y1ax x2

x2ax2

0ax2在恒成立，a4，

ay

x2a在区间2,413，x 61 5故选B.12．A【解析】fx11cos2x，再求最值. 32 3【详解】f（x）＝sin2x+sin2（x

，3=1cos2x

1cos2x

，，32 3sin2x13sin2x21 2

11

= 2 2

cos2x ，23 23 ，因为cos2x 3 3

1,11所以f（x）的最小值为2.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.452013[1,3]【解析】由题意求出以线段AB为直径的圆ED恒在圆EEP,QDPDQDPDQE相切时，此时PDQ2

，由此列出不等式，即可求解。【详解】

xy1ABxy1，联立方程组y24x

，可得y24y40，设Ax,yBx,y，则yy 4，y

4，1 1 2 2 1 2 12设Ex,yE E

，则yE

yy 1 22，xy2

y 13，E又ABxx1 2

2y1

1y2

128，所以圆E是以3,2为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外．2EP,QPQD2,tEP,Q，使得DPDQD点的两EP',Q点，2要满足题意，则

P'DQ'

4EP'DEEP'DE3222t22

2 ，77整理得t24t30，解得2 t2 ，77故实数t的取值范围为2 7,2 7 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆EEP,QPQD2,tEP,QDPDQ是解答的14【解析】根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【详解】

x0 解要使函数有意义则 x 0即0x1.则定义域为:故答案为:0,1【点睛】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.415．3【解析】Dx轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进SD

|xB|x

||计算比值即可.2 D【详解】因为BADBCD90，所以A、B、C、D四点共圆，直径为BD，又A、C关于x轴对称，ExE为(t,0)，则圆的方程为(xt)2

y2

t2

3x2y214 3yx20xB的横坐标为、DED的横坐标为6t，1故S |1S |x

|4.| 32 D4故答案为：.3【点睛】D.16．①②④【解析】①∵

//

，∴

//DBC

上任意一点到平面DBC的距离相等，所以判断命题①；1 1 1 1 1 1PDCCD1 1

DC1

上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；PAB1

中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系Dxyz，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角PAC1 1

C的余弦值，可判断命题③；

ABMA

MDABM对称的点G，使得点GABB

内，根据对称1 1 1 1 1 1 1PP1

DPB1

DPBP取得最小值GB.可判断命题④.【详解】①∵

//

，∴

//DBC

上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥D

BP的体积1 1 1 1 1 1 1不变，所以①正确；PAB1

PDCCD1 1

DC1

DPDCCD1 1

DC1

上，又DCCD1

，所以DPDC，所以②正确；1PAB1

中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系Dxyz，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:A(2,0,0),B(2,2,2),P(2,1,1)A(2,0,2),C(0,2,2),C(0,2,0)，所以1 1 11AC ()11 1

(0,1,1),CC1

(0,0,2)，mAC 0

2x2y0设面ACP的法向量为m(x,y,z)，则 1 1

，即yz0

，令x1，则y1,zm(1,1,1，1 1

PA0 nn(1,1,0)，nAC 0

2x2y 0设面ACC的法向量为n(x,y,z)， 1 1

，即1 1 nCC616

2z 0cosn> mn

2 由图示可知二面角PAC C是锐二面角所以二面角PAC Cm|n|

3 2 3 1 1 1 16的余弦值为63

，所以③不正确；

ABMA

MDABM对称的点G，使得点GABBA内，1 1 1 1 1 1 1DPGPDAGADGAB1

DP+BPGP+BPPP1

时，D,P,B在一条直线上，1取得最小值GB.2，所以设点G的坐标为G2,mnDG2,mnAB1

0,2,2，所以DGAB1

2m+2n0，所以mn，又DAGA2,所以m 2，所以 ， ，GBG 2, 2B所以 ， ，GB

222 222+

220 8+4 2，故④正确2故答案为：①②④.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．证明见解析【解析】将xx

x3xxx

化简可得1

1

3，由柯西不等式可得证明.1 2

123

xx xx xx【详解】

23 31 12xx

0,，xxx

3xxx，

1 2 3 1

3，

1 2 3

123xx xx xx23 31 12 1

1 1 又(xx xxxx)

(119，12 23 31 xx xx xx23 31 12所以xxxxxx

3，当且仅当xx x 1时取等号.12 23 31

1 2 3【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.x218（） y21x2

x

y2

1（）32 2【解析】先求解a,b，消去参数，即得曲线C1的直角坐标方程；再求解R线C2的直角坐标方程；由于OAOBA,B，代入曲线C1 2 2 1 1

,的关系，转化1 1

1

cos2

sin2sin2

cos2 .2 |OA|2 |OB|2 2 22

，可得解 1 2【详解】22 22

xacos将M1, 及对应的参数

4ybsin acos4得

a2，即 ，2 2bsin

b12 4C

x 2cos 所以曲线1的方程为ysin

，为参数，所以曲线C1

的直角坐标方程为 y21．x22x2设圆CR，由题意，圆C的极坐标方程为2 22Rcos（或xR2y2R2，D1,2Rcos，得12Rcos

R1， 3 3 所以曲线C的极坐标方程为2cos，2所以曲线C的直角坐标方程为x2y21．2由于OAOBA,B

,1 2 2代入曲线C21

直角坐标方程，2cos2可得12

2sin211

2sin222

2cos21，2所以 1 1 11|OA|2 |OB|2 2 21 2cos2 sin2 3 sin2 2

cos2 ．2 2【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.x2 19（）

2y21（）4或4【解析】(1)先由题意得出bc ,可得出b与a的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C的方程，可求出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；(2)对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l的斜率不存在时，可求出MN，然后进行检验；当直线llykxm,Mx

,Nx,y

，先由直线l与圆O相切得出m与1 1 2 24k之间的关系再将直线l的方程与椭圆C的方程联立由韦达定理利用弦长公式并结合条件MN从而求出直线l的倾斜角.【详解】由题可知圆O只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得a22b2，

得出k的值，3 又点b1在椭圆Cb2 a

1 1，解得a2

2,b2

1， a2

a2b2x2即椭圆C的方程为 y21.x2222圆Ox2y2

1，当直线lMN

，不符合题意；当直线l

存在斜率时，设其方程为

ykx

，因为直线l

与圆O

相切，所以

1m21k2.mk21将直线lmk2112k2 x24kmx2m220，xx24xx1 2 128m28xx24xx1 2 12Mx,

Nx,

x

4km

,x

=2m22,x

x ，8k8k2

1 2 12k

12 12k2 1 21k211k21k28k2

12k2xxxx2yy21 2 1 2k，所以直线l的倾斜角为

或 .

xx 1 2

，12k2 34 4【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出a,b,，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.0.5x,0x20020（）y{0.x60,200x400）a0.0015，b0.0020（）见解析.x140,x140【解析】试题分析:（1）y260代入（1）x400，即Px4000.80，根据频率分布直方图可分别得到关于ab的方程即可得abx取每段中点值作为代表的用电量y值即可得到Y的概率分布列然后求出Y的期望.试题解析当0x200y0.5x；200x400y0.52000.8x2000.8x60；x400y0.52000.82001.0x400x140yx之间的函数解析式为0.5x,0x200y{0.8x60,200x400.x140,x140（2）由（1）y260x400Px4000.80，结合频率分布直方图可知0.12100b0.30.8{ ，∴a0.0015，b0.0020100a0.050.2（3）X50，150，250，350，450，550，x50y0.55025Py250.1，x150y0.515075Py750.2，x250y0.52000.850140Py1400.3，x350y0.52000.8150220Py2200.2，x450y0.52000.82001.050310Py3100.15，x550y0.52000.82001.0150410Py4100.05，故Y的概率分布列为Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量X的数学期望EY250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.521（）见解析（）F(x)的最小值为F(2)72ln22【解析】（1）由题可得函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)aa1

1ax2(a1)x1(x1)(ax1)(x0)，x x210，令当a10，令

x2 x2f(x0x1f(x0，可得0x1，f(x在(0,1)上单调递增，在上单调递减；当0a1f(x0，可得1x1f(x0，可得0x1x1，a af(x在(0,1)(1上单调递增，在(1,1上单调递减；a aa1f(x)0f(x)在(0,上单调递增．综上，当a0f(x在(0,1)0a1f(x在(0,1)，(1a上单调递增，在(1,1上单调递减；当a1f(x)在(0,上单调递增．a（2）a1F(xf(x412

x2lnx312

，x[1,2]，x x2g(xx2lnxx[1,2]g(x12

x3 x x2 x3x20，x xg(x在[1,2]g(x